Συμπαγές υποσύνολο μετρικού χώρου

[pito]

Καλησπέρα .

Στην πρόταση "κάθε συμπαγές υποσύνολο ενός μετρικού χώρου είναι κλειστό", έχω απόδειξη που χρησιμοποιεί τις πεπερασμένες υποκαλύψεις λόγω της συμπάγειας.

Μπορεί η πρόταση να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας την ακολουθιακή συμπάγεια;

Ευχαριστώ.

[Mihalis_Lambrou]

Καλησπέρα .

Στην πρόταση "κάθε συμπαγές υποσύνολο ενός μετρικού χώρου είναι κλειστό", έχω απόδειξη που χρησιμοποιεί τις πεπερασμένες υποκαλύψεις λόγω της συμπάγειας.

Μπορεί η πρόταση να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας την ακολουθιακή συμπάγεια;

Έστω ένα σημείο συσσώρευσης του ακολουθιακά συμπαγούς και έστω μία ακολουθία στοιχείων του που συγκλίνουν στο σημείο αυτό. Από ακολουθιακή συμπάγεια υπάρχει υπακολουθία που συγκλίνει σε στοιχείο του χώρου. Η ίδια υπακολουθία συγκλίνει και στο σημείο συσσώρευσης. Αφού τα όρια είναι μοναδικά, τελειώσαμε.

Μ.

[pito]

Κύριε Μιχάλη σας ευχαριστώ πολύ για τη βοήθειά σας.

[drs75]

Καλησπέρα .

Στην πρόταση "κάθε συμπαγές υποσύνολο ενός μετρικού χώρου είναι κλειστό", έχω απόδειξη που χρησιμοποιεί τις πεπερασμένες υποκαλύψεις λόγω της συμπάγειας.

Μπορεί η πρόταση να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας την ακολουθιακή συμπάγεια;

Έστω ένα σημείο συσσώρευσης του ακολουθιακά συμπαγούς και έστω μία ακολουθία στοιχείων του που συγκλίνουν στο σημείο αυτό. Από ακολουθιακή συμπάγεια υπάρχει υπακολουθία που συγκλίνει σε στοιχείο του χώρου. Η ίδια υπακολουθία συγκλίνει και στο σημείο συσσώρευσης. Αφού τα όρια είναι μοναδικά, τελειώσαμε.

Μ.

Μήπως τα έγραψες ανάποδα;
Αν και τα έχω ψιλοξεχάσει,δεν πρέπει η συκλίνουσα ακολουθία του συμπαγούς υποσυνόλου να συγκλίνει στο χώρο και η υπακολουθία να συγκλίνει μέσα στο υποσύνολο;... και μετά να πούμε για τη μοναδικότητα;

[Mihalis_Lambrou]

Μήπως τα έγραψες ανάποδα;
Αν και τα έχω ψιλοξεχάσει,δεν πρέπει η συκλίνουσα ακολουθία του συμπαγούς υποσυνόλου να συγκλίνει στο χώρο και η υπακολουθία να συγκλίνει μέσα στο υποσύνολο;... και μετά να πούμε για τη μοναδικότητα;

Σωστά τα έγραψα. Κάτι ξέχασες ή κάτι σε μπερδεύει.

Υπόψη ότι στους μετρικούς χώρους τα όρια συγκλινουσών ακολουθιών είναι μοναδικά για σχεδόν τετριμμένο λόγο. Επίσης, μία υπακολουθία συγκλίνουσας συγκλίνει αυτόματα (για τετριμμένο λόγο) και μάλιστα στο ίδιο όριο.

Μ.

[drs75]

Μισό λεπτό να το ξαναδούμε παρέα να δω πού κάνω λάθος:
Κατ'αρχήν όσον αφορά τον ορισμό του κλειστού συνόλου: έστω ένα υποσύνολο ενός μ.χ .Το είναι κλειστό στο όταν για κάθε συγκλίνουσα ακολουθία στοιχείων του ,συμβαίνει το όριό της να ανήκει στο .Σωστά μέχρι εδώ;
Εγώ ξεκινάω την απόδειξη θεωρώντας μια ακολουθία στοιχείων του που συγκλίνει σε κάποιο που ανήκει στο και θα δείξω οτι αυτό το ανήκει τελικά στο .
(Αν κατάλαβα καλά εσύ εδώ θεώρησες συγκλίνουσα ακολουθία που το όριο μπορεί να ανήκει και στο ,ενώ αυτό είναι που θέλουμε να δείξουμε)
Επειτα λόγω της συμπάγειας του υπάρχει υπακολουθία που συγκλίνει σε κάποιο ας πούμε ,το οποίο όμως λόγω της συμπάγειας του ανήκει στο .
Τέλος λόγω της μοναδικότητας του ορίου έχουμε ότι και άρα το ανήκει τελικά στο και άρα το είναι κλειστό.

[Mihalis_Lambrou]

Μισό λεπτό να το ξαναδούμε παρέα να δω πού κάνω λάθος:

Το λάθος είναι στο σημείο

(Αν κατάλαβα καλά εσύ εδώ θεώρησες συγκλίνουσα ακολουθία που το όριο μπορεί να ανήκει και στο ,ενώ αυτό είναι που θέλουμε να δείξουμε)

Αν διαβάσεις με προσοχή δεν είπα αυτό που ισχυρίζεσαι ότι είπα αλλά

Έστω ένα σημείο συσσώρευσης του ακολουθιακά συμπαγούς και έστω μία ακολουθία στοιχείων του που συγκλίνουν στο σημείο αυτό.

Με απλά λόγια. Πήρα σημείο συσσώρευσης του ακολουθιακά συμπαγούς (*) και ΜΕΤΑ έδειξα ότι ανήκει σε αυτό, όπως θέλαμε να δείξουμε.

Μ.

(*) αδιάφορα αν ανήκει ή όχι στο ακολουθιακά συμπαγές. Το μόνο που ξέρουμε είναι ότι πρόκειται για σημείο συσσώρευσης του συνόλου (μέσα ή έξω δεν το ξέρουμε σε αυτό το στάδιο).

[drs75]

Νομίζω πως το σημείο συσσώρευσης ενός συνόλου μπορεί να μην ανήκει στο σύνολο,αλλά μπορεί και να ανήκει.
Εσύ πώς εξασφαλίζεις ότι δέν ανήκει;(αφου είναι τυχαίο)
Γιατί εάν ανήκει,νομίζω ότι κάνεις μια τρύπα στο νερό.
Θαρρώ πως εκεί υπάρχει ασάφεια.Θα ήσουν εντάξει αν έλεγες για σ.σ που δεν ανήκει στο συμπαγές υποσύνολο.

[Antonis Loutraris]

Καλησπέρα και απο μένα.

Μία πιο αναλυτική απόδειξη με κάποια σχόλια της αρχικής πρότασης.

Έστω A συμπαγές υποσύνολο ενός μετρικού χώρου (Χ,d) και
τέτοια ώστε Αφού το Α συμπαγές υπάρχει υπακολουθία και
με Επομένως η συγκλίνει και στο και στο Aπο μοναδικότητα ορίου
έχουμε x=y άρα επομένως το Α κλειστό.

Με ένα εύκολο επιχείρημα παίρνουμε και ότι το Α είναι φραγμένο.

Να πούμε ότι το αντίστροφο δεν ισχύει εν γένει.
Για παράδειγμα το [0,1] με τη διακριτή μετρική δεν είναι συμπαγές υποσύνολο του

[drs75]

Αντώνη έτσι ακριβώς απλά νομίζω οτι πρέπει να τονιστεί οτι το δεν ανήκει στο αρχικά αλλά στο .
Αλλιώς δεν έχει νόημα η απόδειξη.
Αυτό προσπαθώ να πω και στον Μιχάλη.

[Antonis Loutraris]

drs75 το λέει ξεκάθαρα νομίζω στα παραπάνω σχόλια ο κ.Λάμπρου.

Απλά θεωρεί ότι το x είναι σημείο συσσώρευσης χωρίς να λέει ότι βρίσκεται μέσα
στο Α εξ αρχής και το αποδεικνύει μετά.

[drs75]

Οκ.
Απλά αυτό που θέλω να τονίσω είναι οτι αυτό που "τραβάει" το όριο μέσα στο συμπαγές υποσύνολο είναι η υπακολουθία.
Γι'αυτό κατά τη ταπεινή μου άποψη πρέπει να τονιστεί στην αρχή της απόδειξης οτι .

[Mihalis_Lambrou]

Αντώνη έτσι ακριβώς απλά νομίζω οτι πρέπει να τονιστεί οτι το δεν ανήκει στο αρχικά αλλά στο .
Αλλιώς δεν έχει νόημα η απόδειξη.
Αυτό προσπαθώ να πω και στον Μιχάλη.

Όχι ΔΕΝ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΕΙΠΩΘΕΙ αν το ανήκει ή όχι στο συμπαγές. Ξαναδιάβασε την τελευταία παράγραφο στο προηγούμενο ποστ μου. Προφανώς αυτό το σημείο σε μπερδεύει.

Με απλά λόγια: Παίρνουμε ένα σημείο συσσώρευσης ΑΔΙΑΦΟΡΑ ΑΝ ΞΕΡΟΥΜΕ ΟΤΙ ΑΝΗΚΕΙ 'Η ΟΧΙ στο συμπαγές. Μετά, με κάποιο συλλογισμό, δείχνουμε ότι ανήκει. Αυτό είναι όλο και δεν υπάρχει λόγος να μπερδευόμαστε σε απλά θέματα.

Ας το πω ακόμη πιο απλά: Δεν έχει νόημα να πούμε "παίρνουμε το οποίο ανήκει στο σύνολο αναφοράς αλλά ΟΧΙ στο συμπαγές". Γιατί σε αυτή την περίπτωση τι δείχνουμε; Ότι αυτό που δεν ανήκει στο συμπαγές έπεται με κάποιο συλλογισμό ότι τελικά ανήκει; Όχι βέβαια!

Μ.

[drs75]

Αντιγράφω απο σημειώσεις που αλίευσα απο την eclass του uoa στο μάθημα της πραγματικής ανάλυσης (οι σημειώσεις είναι του Α.Κατάβολου).

"Πρόταση: Εστω () μ.χ και .To είναι κλειστό κάθε συγκλίνουσα ακολουθία στοιχείων του συγκλίνει σε στοιχείο του .
Δηλαδή για κάθε ακολουθία () στο με έπεται οτι ."

Αυτό το εννοούσα αλλά δε διατυπώνω σωστά τον προβληματισμό μου.
Μάλλον τελικά λέμε το ίδιο πράγμα.Εξ'άλλου όπως είπα και στην αρχή τα έχω ψιλοξεχάσει όλα αυτά μετά από τόσα χρόνια και γι'αυτό μπήκα στη κουβέντα για να τα φρεσκάρω.
.......και σόρυ που σας μπερδεύω χωρίς λόγο σε απλά θέματα.