Βαίνει μειούμενο

KARKAR · #1

: Βαίνει μειούμενο.png (13.28 KiB) Προβλήθηκε 1012 φορές

Σε κύκλο ακτίνας

περιγράφουμε τρίγωνο , με την απαίτηση η μία βάση ( η οριζόντια ) , να είναι

.

Στην $1\eta$ εικόνα το σημείο επαφής χωρίζει τη βάση σε τμήματα

και

, ενώ στη δεύτερη σε

και

.

1) Υπολογίστε τα εμβαδά των δύο τριγώνων . ...2) Βρείτε το τρίγωνο με το ελάχιστο εμβαδόν

margavare · #2

1)
1η περίπτωση

$\begin{gathered} C{B^2} = A{B^2} + B{C^2} \Leftrightarrow {\left( {x + 4} \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^2} + {5^2} \Leftrightarrow \hfill \\ \hfill \\ {x^2} + 8x + 16 = {x^2} + 2x + 1 + 25 \Leftrightarrow 6x = 10 \Leftrightarrow x = \frac{5}{3} \hfill \\ E = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \left( {1 + \frac{5}{3}} \right) = \frac{{5 \cdot 8}}{6} = \frac{{20}}{3} \hfill \\ \end{gathered}$

2η περίπτωση

$\displaystyle{\begin{gathered} \eta \mu \frac{B}{2} = \frac{1}{{\sqrt 5 }},\quad \sigma \upsilon \nu \frac{B}{2} = \frac{2}{{\sqrt 5 }} \hfill \\ \hfill \\ \eta \mu B = 2\eta \mu \frac{B}{2} \cdot \sigma \upsilon \nu \frac{B}{2} = 2\frac{1}{{\sqrt 5 }} \cdot \frac{2}{{\sqrt 5 }} = \frac{4}{5} \hfill \\ \hfill \\ E' = \frac{1}{2}BD \cdot BE \cdot \eta \mu B \Leftrightarrow \tau \cdot \rho = \frac{1}{2}BD \cdot BE \cdot \eta \mu B \Leftrightarrow \hfill \\ \hfill \\ \frac{{2 + y + y + 3 + 3 + 2}}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \left( {2 + y} \right) \cdot \frac{4}{5} \Leftrightarrow \hfill \\ \hfill \\ 5 + y = 2\left( {2 + y} \right) \Leftrightarrow 5 + y = 4 + 2y \Leftrightarrow y = 1 \hfill \\ \hfill \\ E' = \frac{{2 + y + y + 3 + 3 + 2}}{2} \cdot 1 = 5 + y = 6 \hfill \\ \end{gathered} }$

kostas_zervos · #3

KARKAR έγραψε:
Το συνημμένο Βαίνει μειούμενο.png δεν είναι πλέον διαθέσιμο
Σε κύκλο ακτίνας περιγράφουμε τρίγωνο , με την απαίτηση η μία βάση ( η οριζόντια ) , να είναι .

Στην $1\eta$ εικόνα το σημείο επαφής χωρίζει τη βάση σε τμήματα και , ενώ στη δεύτερη σε και .

1) Υπολογίστε τα εμβαδά των δύο τριγώνων . ...2) Βρείτε το τρίγωνο με το ελάχιστο εμβαδόν

: ask218.png (32.74 KiB) Προβλήθηκε 992 φορές

Για τυχαίο τρίγωνο , από το παραπάνω σχήμα έχουμε $\tau=5+y$ , άρα $E=\tau\rho=5+y$ .

Επίσης $E=\sqrt{\tau(\tau-\alpha)(\tau-\beta)(\tau-\gamma)}=\sqrt{(5+y)y(5-x)x}$ .

Άρα $\sqrt{(5+y)y(5-x)x}=5+y\iff 5+y=xy(5-x)\iff y=-\dfrac{5}{x^2-5x+1}$ .

Άρα $E=5-\dfrac{5}{x^2-5x+1}=\dfrac{5x^2-25x}{x^2-5x+1}=f(x)\;,\;x\in(0,5)$ .

1)Για το 1ο τρίγωνο είναι $E=f(1)=\dfrac{20}{3}$ .
Για το 2ο τρίγωνο είναι E=f(2)=6

.

2)Με διάφορους τρόπους(*) βρίσκουμε ότι η

έχει ελάχιστο το $f\left(\dfrac{5}{2}\right)=\dfrac{125}{21}$ .

(*)
Ένας από αυτούς....

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

S.E.Louridas · #4

Ας επιχειρήσουμε μία ευρύτερη Γεωμετρική μελέτη του θέματος.

Στο σχήμα 1 όταν ένας κύκλος έχει σταθερή ακτίνα έστω $\rho$ , τότε βλέπουμε με στοιχειώδη και εύκολο τρόπο ότι όσο η γωνία

αυξάνει το μήκος

μειώνεται.

Αν τώρα μεταβούμε στο σχήμα 2 και θεωρήσουμε την βάση

του τριγώνου ABC

σταθερή αλλά και το μήκος της ακτίνας $\rho$ του εγγεγραμμένου στο τρίγωνο κύκλου σταθερό, παίρνουμε $\left( {ABC} \right) = \tau \rho = \left( {BC + AN} \right)\rho \Rightarrow \left( {ABC} \right)_{\min } = \left( {BC + AN_{\min } } \right)\rho ,$ με το ελάχιστο του

να επιτυγχάνεται όταν μεγιστοποιείται κατά την συγκεκριμένη κίνηση η γωνία $\angle A$ , σύμφωνα με την προηγηθείσα μελέτη της περίπτωσης με βάση το σχήμα 1.
Όμως το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου κινείται σε σταθερή ευθεία

παράλληλη προς την ευθεία

απέχουσα από αυτή απόσταση $\rho$ και που οδηγεί στο ότι η μεγιστοποίηση της γωνίας $\angle A$ άρα και η ελαχιστοποίηση του εμβαδού (ABC)

, επιτυγχάνεται όταν το κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου συμπέσει με την τομή της μεσοκάθετης του

με την

.
Λήφθηκε βέβαια υπ’ όψη ότι: $\displaystyle{\angle BDC = 90^ \circ + \frac{{\angle A}}{2}.}$

Βαίνει μειούμενο

Βαίνει μειούμενο

Re: Βαίνει μειούμενο

Re: Βαίνει μειούμενο

Re: Βαίνει μειούμενο

Μέλη σε σύνδεση