NΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1972 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Δίνεται η παράσταση $\displaystyle{A=\varepsilon\phi x- \varepsilon\phi y-\varepsilon\phi {\color{red}\phi}+\varepsilon\phi \omega}$ .
Να υπολογίσετε την τιμή της $\displaystyle{A}$ για $\displaystyle{x=9^o, y=27^o,\phi=63^o,\omega=81^o}$

2. Να δειχθεί η αλήθεια της ταυτότητας
$\displaystyle{\varepsilon\phi x+\varepsilon\phi y+\varepsilon\phi {\color{red}\phi}-\varepsilon\phi x \varepsilon\phi y\varepsilon\phi {\color{red}\phi}=\frac{\eta\mu(x+y+\phi)}{\sigma\upsilon\nu x \sigma\upsilon\nu y \sigma\upsilon\nu \phi}}$ για κάθε $\displaystyle{x,y,\phi \ne \nu \pi+\frac{\pi}{2}}$

3. Γνωρίζοντας το ανάπτυγμα του $\displaystyle{ \sigma\upsilon\nu (\alpha+\beta)}$ , να βρεθεί το ανάπτυγμα του $\displaystyle{\eta\mu (\alpha+\beta)}$

4. Να υπολογισθεί το $\displaystyle{ \sigma\upsilon\nu x}$ εαν δίνεται οτι $\displaystyle{x=\frac{5\pi}{12}}$

edit
διόρθωση τυπογραφικού στο 1ο και 2ο θέμα, είχα γράφει $\displaystyle{x\phi}$ αντί του ορθού $\displaystyle{\phi}$ , ευχαριστώ τον Γιώργο Βισβίκη που το πρόσεξε

kostas136 · #2

parmenides51 έγραψε: 4. Να υπολογισθεί το $\displaystyle{ \sigma\upsilon\nu x}$ εαν δίνεται οτι $\displaystyle{x=\frac{5\pi}{12}}$

Μια ιδέα. Ισχύει $\displaystyle \cos\frac{5\pi}{12}=\sin\frac{\pi}{12}=\sin(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4})=.\ .\ .$

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #3

parmenides51 έγραψε:1. Δίνεται η παράσταση $\displaystyle{A=\varepsilon\phi x- \varepsilon\phi y-\varepsilon\phi x\phi+\varepsilon\phi \omega}$ .
Να υπολογίσετε την τιμή της $\displaystyle{A}$ για $\displaystyle{x=9^o, y=27^o,\phi=63^o,\omega=81^o}$

Βλέποντας το θέμα αυτό , σκέφτηκα πόσο εύκολο είναι σήμερα να βρεθεί η τιμή της παράστασης με ένα επιστημονικό κομπιουτεράκι.
Ας πάμε όμως στη λύση.....

Θα βασιστούμε στην ταυτότητα
$\varepsilon \varphi A-\varepsilon \varphi B=\frac{\eta \mu \left(A-B \right)}{\sigma \upsilon \nu A\sigma \upsilon \nu B}$

Η απόδειξη είναι νομίζω απλή.

Έχουμε λοιπόν

$\varepsilon\varphi 9^{\circ} -\varepsilon\varphi 27^{\circ}+\varepsilon \varphi 81^{\circ} -\varepsilon \varphi 63^{\circ}=$

$\frac{\eta \mu \left(9^{\circ} -27^{\circ} \right)}{\sigma \upsilon \nu 9^{\circ} \sigma \upsilon \nu 27^{\circ} }+\frac{\eta\mu\left(81^{\circ}- 63^{\circ} \right) }{\sigma \upsilon\nu 81^{\circ}\sigma \upsilon\nu 63^{\circ} }=$

$\frac{\eta \mu \left(-18^{\circ} \right)}{\sigma \upsilon \nu 9^{\circ} \sigma \upsilon \nu 27^{\circ} }+\frac{\eta\mu\left18^{\circ} }{\sigma \upsilon\nu 81^{\circ}\sigma \upsilon\nu 63^{\circ} }=$

$\frac{\eta \mu \left(-18^{\circ} \right)}{\sigma \upsilon \nu 9^{\circ} \sigma \upsilon \nu 27^{\circ} }+\frac{\eta\mu\left18^{\circ} }{\eta \mu 9^{\circ} \eta \mu 27^{\circ} }=$

$-\frac{\eta \mu 18^{\circ} }{\sigma \upsilon \nu 9^{\circ} \sigma \upsilon \nu 27^{\circ} }+\frac{\eta\mu\left18^{\circ} }{\eta \mu 9^{\circ} \eta \mu 27^{\circ} }=$

$\eta \mu 18^{\circ} \frac{\sigma \upsilon \nu 9^{\circ} \sigma \upsilon \nu 27^{\circ} -\eta \mu 9^{\circ} \eta \mu 27^{\circ} }{\eta \mu 9^{\circ} \sigma \upsilon \nu 9^{\circ} \eta \mu 27^{\circ} \eta \mu 27^{\circ} }=$

$\eta \mu 18^{\circ} \frac{4 \sigma \upsilon \nu \left(9^{\circ} +27^{\circ} \right)}{2\eta \mu 9^{\circ} \sigma \upsilon \nu 9^{\circ} 2\eta \mu 27^{\circ} \sigma \upsilon \nu 27^{\circ} }=$

$\eta \mu 18^{\circ} \frac{4 \sigma \upsilon \nu 36^{\circ} }{\eta \mu 18^{\circ} \eta \mu 54^{\circ} }=$

$4\frac{\sigma\upsilon \nu 36^{\circ} }{\sigma\upsilon\nu 36^{\circ} }=4$

#4

parmenides51 έγραψε: 2. Να δειχθεί η αλήθεια της ταυτότητας
$\displaystyle{\varepsilon\phi x+\varepsilon\phi y+\varepsilon\phi \phi-\varepsilon\phi x \varepsilon\phi y\varepsilon\phi \phi=\frac{\eta\mu(x+y+\phi)}{\sigma\upsilon\nu x \sigma\upsilon\nu y \sigma\upsilon\nu \phi}}$ για κάθε $\displaystyle{x,y,\phi \ne \nu \pi+\frac{\pi}{2}}$

$\displaystyle{\varepsilon \varphi (x + y) = \frac{{\varepsilon \varphi x + \varepsilon \varphi y}}{{1 - \varepsilon \varphi x\varepsilon \varphi y}} \Leftrightarrow \varepsilon \varphi x + \varepsilon \varphi y = (1 - \varepsilon \varphi x\varepsilon \varphi y)\varepsilon \varphi (x + y)}$ , $\displaystyle{x + y \ne k\pi + \frac{\pi }{2},k \in Z}$

Ισχύει ακόμα ότι $\displaystyle{\varepsilon \varphi \alpha + \varepsilon \varphi \beta = \frac{{\eta \mu (\alpha + \beta )}}{{\sigma \upsilon \nu \alpha \sigma \upsilon \nu \beta }}}$

$\displaystyle{\varepsilon \varphi x + \varepsilon \varphi y + \varepsilon \varphi \varphi - \varepsilon \varphi x\varepsilon \varphi y\varepsilon \varphi \varphi = (1 - \varepsilon \varphi x\varepsilon \varphi y)\varepsilon \varphi (x + y) + \varepsilon \varphi \varphi (1 - \varepsilon \varphi x\varepsilon \varphi y)}$

$\displaystyle{ = \left( {1 - \frac{{\eta \mu x\eta \mu y}}{{\sigma \upsilon \nu x\sigma \upsilon \nu y}}} \right)[\varepsilon \varphi (x + y) + \varepsilon \varphi \varphi ]}$

$\displaystyle{ = \frac{{\sigma \upsilon \nu x\sigma \upsilon \nu y - \eta \mu x\eta \mu y}}{{\sigma \upsilon \nu x\sigma \upsilon \nu y}} \cdot \frac{{\eta \mu (x + y + \varphi )}}{{\sigma \upsilon \nu (x + y)\sigma \upsilon \nu \varphi }}}$

$\displaystyle{ = \frac{{\sigma \upsilon \nu (x + y)}}{{\sigma \upsilon \nu x\sigma \upsilon \nu y}} \cdot \frac{{\eta \mu (x + y + \varphi )}}{{\sigma \upsilon \nu (x + y)\sigma \upsilon \nu \varphi }} = \frac{{\eta \mu (x + y + \varphi )}}{{\sigma \upsilon \nu x\sigma \upsilon \nu y\sigma \upsilon \nu \varphi }}}$

Αν $\displaystyle{x + y = k\pi + \frac{\pi }{2},k \in Z}$ τότε $\displaystyle{1 - \varepsilon \varphi x\varepsilon \varphi y = 0}$ :
Το πρώτο μέλος είναι ίσο με

$\displaystyle{\varepsilon \varphi x + \varepsilon \varphi y = \frac{{\eta \mu (x + y)}}{{\sigma \upsilon \nu x\sigma \upsilon \nu y}} = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu x\sigma \upsilon \nu y}},k = 2n\\ - \frac{1}{{\sigma \upsilon \nu x\sigma \upsilon \nu y}},k = 2n + 1 \end{array} \right.}$

Επίσης $\displaystyle{\eta \mu (x + y + \varphi ) = \left\{ \begin{array}{l} \sigma \upsilon \nu \varphi ,k = 2n\\ - \sigma \upsilon \nu \varphi ,k = 2n + 1 \end{array} \right.}$

οπότε και πάλι αληθεύει η αποδεικτέα σχέση.

NΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1972 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

NΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1972 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: NΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1972 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: NΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1972 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Re: NΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ 1972 - ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση