Εκθετικοί πίνακες

#1

Αν

είναι ένας πίνακας τότε με e^A

ορίζουμε τον πίνακα

$\displaystyle{e^A = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} A^n}$

Να εξεταστεί αν για κάθε δυο πίνακες A,B

ισχύει ότι $e^A e^B = e^{A+B}$ .

#2

Ξέρω την απάντηση γι αυτό δεν την γράφω. Θέλω όμως να προσθέσω ένα ερώτημα.

Το βάζω σε hide γιατί προδίδει την απάντηση στο ερώτημα του Δημήτρη. Καλό είναι να δείτε το ερώτημά μου αφού απαντήσετε στην αρχική ερώτηση του Δημήτρη. (*)

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

(*) θα το έργαφα αργότερα για να μην μπείτε στον πειρασμό, αλλά δεν είμαι βἐβαιος ότι η σύνδεση ιντερνέτ από το σπίτι μου λειτουργεί σωστά. Τις τελευταίες μέρες με παιδεύει.

nonlinear · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Βρείτε ικανή και αναγκαία συνθήκη που πρέπει να ικανοποιούν οι Α, Β ώστε να ισχύει η $e^Ae^B=e^{A+B}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

KapioPulsar · #4

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#5

Επαναφορά. (Να προσθέσω ότι η εικασία που έγραψε ο nonlinear είναι λανθασμένη. Η συνθήκη είναι ικανή αλλά όχι αναγκαία.)

vzf · #6

Επαναφορά.

Γ.-Σ. Σμυρλής · #7

Ἕνας ἰσοδύναμος τρόπος ὁρισμοῦ τῆς ἐκθετικῆς τοῦ πίνακα $A\in\mathbb R^{n\times n}$ (δηλαδή τῆς συναρτήσεως $\mathrm{e}^{tA}$ ) εἶναι ὡς ἡ μοναδική καί καθολικῶς ὁρισμένη λύση τοῦ προβλήματος ἀρχικῶν τιμῶν
$\displaystyle{ \left\{ \begin{array}{c} X'=AX, \\ X(0)=I, \end{array} \right. }$
ὅπου

εἶναι ὁ μοναδιαῖος πίνακας καί $X\in\mathbb R^{n\times n}$ . (Βλἐπε, Γ.-Σ. Σμυρλής, ΣΔΕ, 2013.) Στό ἴδιο σύγγραμμα ἀποδεικνύεται, χρησιμοποιῶντας θεωρία ΣΔΕ ὅτι:

$\displaystyle{ \mathrm{e}^{t(A+B)}=\mathrm{e}^{tA}\mathrm{e}^{tB}, }$

διά κάθε $t\in\mathbb R$ ἄν καί μόνον ἄν AB=BA

.

Βεβαίως, γιά νά ἰσχύει ὅτι $\mathrm{e}^{A+B}=\mathrm{e}^{A}\mathrm{e}^{B}$ , ἡ άντιμετάθεση τῶν

καί

δέν γνωρίζω ἄν ἀποτελεῖ καί ἀναγκαία συνθήκη.

Γ.-Σ. Σμυρλής · #8

Παρεμπιπτόντως, ἐν τέλει ὑπάρχει παράδειγμα πινάκων A,B

οἱ ὁποῖοι δέν ἀντιμετατίθενται ἀλλά ἱσχύει ὅτι $\mathrm{e}^A\mathrm{e}^B=\mathrm{e}^{A+B}$ .

Βλέπε: 1. Clément de Seguins Pazzis, On commuting matrices and exponentials, Proc. Amer. Math. Soc. 141 (2013), 763-774.
2. C.W. Huﬀ, On pairs of matrices (of order two) A, B satisfying the condition $\mathrm{e}^{A+B}=\mathrm{e}^A\mathrm{e}^B\ne\mathrm{e}^B\mathrm{e}^A$ , Rend. Circ. Math. Palermo 2 (1953).

#9

Απολογούμαι για την απουσία αλλά είμαι αρκετά απασχολημένος αυτόν τον καιρό.

Πράγματι εν γένει δεν ισχύει ότι $e^{A+B} =e^Ae^B$ . Ισχύει όμως πάντα αν οι A,B

αντιμετατίθενται ενώ υπάρχουν και παραδείγματα όπου ισχύει χωρίς οι A,B

να αντιμετατίθενται.

kozmas · #10

Demetres έγραψε:Αν είναι ένας πίνακας τότε με ορίζουμε τον πίνακα

$\displaystyle{e^A = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} A^n}$

Να εξεταστεί αν για κάθε δυο πίνακες ισχύει ότι $e^A e^B = e^{A+B}$ .

Ένα άλλο ερώτημα: Για τον ίδιο πίνακα e^A

να βρεθεί ο αντίστροφός του.

Κώστας Δ · #11

Θα μπορούσε κάποιος να θυμίσει την απόδειξη της πρότασης: ο αντίστροφος ενός εκθετικού πίνακα e^A

είναι ο $e^{-A}$ ;

Tolaso J Kos · #12

Demetres έγραψε: Πράγματι εν γένει δεν ισχύει ότι $e^{A+B} =e^Ae^B$ . Ισχύει όμως πάντα αν οι αντιμετατίθενται ενώ υπάρχουν και παραδείγματα όπου ισχύει χωρίς οι να αντιμετατίθενται.

κ. Δημήτρη, μπορείτε να δώσετε ένα παράδειγμα;; σε κάθε περίπτωση;; Μπερδεύτηκα λίγο η αλήθεια είναι... !!
Σας ευχαριστώ.

#13

Κώστας Δ έγραψε:Θα μπορούσε κάποιος να θυμίσει την απόδειξη της πρότασης: ο αντίστροφος ενός εκθετικού πίνακα είναι ο $e^{-A}$ ;

Επειδή ο

και o

αντιμετατίθενται, σύμφωνα με τα παραπάνω ισχύει $e^Ae^{-A} = e^O$ . Τώρα, από τον ορισμό του e^O

(βλέπε το πρώτο ποστ παραπάνω) είναι e^O=I

.
H απόδειξη του $e^Ae^{B} = e^{A+B}$ όταν οι A, B

αντιμετατίθενται χρησιμοποιεί το αντίστοιχο του αναπτύγματος του διωνύμου $\displaystyle{(A+B)^n = \sum \frac {n!}{k!(n-k)!} A^kB^{n-k}}$ . Το τελευταίο αποδεικνύεται επαγωγικά ακριβώς όπως στους πραγματικούς αριθμούς.

Μ.

Εκθετικοί πίνακες

Εκθετικοί πίνακες

Re: Εκθετικοί πίνακες

Re: Εκθετικοί πίνακες

Re: Εκθετικοί πίνακες

Re: Εκθετικοί πίνακες

Re: Εκθετικοί πίνακες

Re: Εκθετικοί πίνακες

Re: Εκθετικοί πίνακες

Re: Εκθετικοί πίνακες

Re: Εκθετικοί πίνακες

Re: Εκθετικοί πίνακες

Re: Εκθετικοί πίνακες

Re: Εκθετικοί πίνακες

Μέλη σε σύνδεση