ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1973 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

parmenides51 · #1

1. Να βρεθεί το εμβαδόν κανονικού δεκαγώνου συναρτήσει της πλευράς του $\displaystyle{ \alpha}$ .

2. Σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ η προβολή $\displaystyle{\Delta}$ της κορυφής $\displaystyle{A}$ βρίσκεται μεταξύ των $\displaystyle{B}$ και $\displaystyle{\Gamma}$ .
Εαν $\displaystyle{(A\Delta)^2=(B\Delta)(\Delta\Gamma)}$ , να δειχθεί οτι το τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι ορθογώνιο.

3. Να υπολογισθεί ο όγκος κανονικού τετραέδρου ακμής $\displaystyle{\alpha}$

#2

parmenides51 έγραψε:
2. Σε τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ η προβολή $\displaystyle{\Delta}$ της κορυφής $\displaystyle{A}$ βρίσκεται μεταξύ των $\displaystyle{B}$ και $\displaystyle{\Gamma}$ .
Εαν $\displaystyle{(A\Delta)^2=(B\Delta)(\Delta\Gamma)}$ , να δειχθεί οτι το τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ είναι ορθογώνιο.

ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑ!!!

: Ευελπίδων 1973.png (9.75 KiB) Προβλήθηκε 856 φορές

Είναι $\displaystyle{{\rm A}{\Delta ^2} = {\rm B}\Delta \cdot \Delta \Gamma \Leftrightarrow \frac{{{\rm A}\Delta }}{{{\rm B}\Delta }} = \frac{{\Delta \Gamma }}{{{\rm A}\Delta }}}$ , οπότε τα ορθογώνια τρίγωνα $\displaystyle{{\rm A}{\rm B}\Delta ,{\rm A}\Delta \Gamma }$ είναι όμοια.

$\displaystyle{\widehat {\rm B} = \omega ,\widehat \Gamma = \varphi \Rightarrow \widehat {\rm B} + \widehat \Gamma = \omega + \varphi = \widehat {\rm A} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{180^0} - \widehat {\rm A} = \widehat {\rm A} \Leftrightarrow \widehat {\rm A} = {90^0}}$

konstantogeo · #3

parmenides51 έγραψε:3. Να υπολογισθεί ο όγκος κανονικού τετραέδρου ακμής $\displaystyle{\alpha}$

Το κανονικό τετράεδρο ακμής α αποτελείται από 4 ισόπλευρα τρίγωνα πλευράς α.
Καθένα από αυτά έχει εμβαδό $\frac{\alpha ^2\sqrt{3}}{4}$
Ο όγκος του κανονικού τετραέδρου είναι $V=\frac{1}{3}\cdot E_{\beta}\cdot \upsilon$ με $E_{\beta}=\left(B\Gamma \Delta \right)=\frac{\alpha ^2\sqrt{3}}{4}$ .
Φέρουμε το ύψος

του τετραέδρου,οπότε το

είναι το βαρύκεντρο του $B\Gamma \Delta$ και η

τέμνει τη $\Gamma \Delta$ στο μέσο της Μ.
Άρα $BK=\frac{2}{3}BM=\frac{2}{3}\cdot\frac{\alpha \sqrt{3}}{2}=\frac{\alpha \sqrt{3}}{3}$
και $\upsilon ^2=\alpha ^2-BK^2=\alpha ^2-\frac{\alpha ^2}{3}=\frac{2\alpha ^2}{3}$ ,δηλαδή $\upsilon =\alpha \sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\alpha \sqrt{6}}{3}$
Οπότε $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{\alpha ^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{\alpha \sqrt{6}}{3}=\frac{\alpha ^3\sqrt{2}}{12}$

konstantogeo · #4

parmenides51 έγραψε:1. Να βρεθεί το εμβαδόν κανονικού δεκαγώνου συναρτήσει της πλευράς του $\displaystyle{ \alpha}$ .

Έστω $AB=\alpha$ η πλευρά κανονικού δεκαγώνου,εγγεγραμμένου σε κύκλο $\left(O,R \right)$
Η κεντρική γωνία $\widehat{AOB}$ είναι $\displaystyle\frac{360^0}{10^0}=36^0$ και οι γωνίες της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου AOB

είναι $\widehat{A}=\widehat{B}=72^0$ .
Φέρνουμε τη διχοτόμο $A\Delta$ της γωνίας $\widehat{OAB}$ .
Τα τρίγωνα $\Delta OA$ και $AB\Delta$ είναι ισοσκελή, αφού
$\widehat{\Delta AO}=\widehat{AOB}=36^0$ και $\widehat{A\Delta B}=72^0=\widehat{B}$
Επομένως $O\Delta=A\Delta =AB=\alpha$ και $B\Delta =R-\alpha$
Με θεώρημα διχοτόμου στο τρίγωνο OAB

έχουμε:
$\displaystyle\frac{AB}{AO}=\frac{\Delta B}{\Delta O }\Leftrightarrow \frac{\alpha }{R}=\frac{R-\alpha }{\alpha }\Leftrightarrow \alpha ^2=R\left(R-\alpha \right)\Leftrightarrow R^2-\alpha R-\alpha ^2=0$ (1)
η (1) είναι δευτεροβάθμια ως προς

με $\displaystyle R=\frac{\alpha \left(1+\sqrt{5} \right)}{2}$
Εφαρμόζωντας πυθαγόρειο στο τρίγωνο OKB

:
$\displaystyle OK^2=R^2-\frac{\alpha ^2}{4}=\frac{\alpha ^2\left(1+\sqrt{5} \right)^2}{4}-\frac{\alpha ^2}{4}=\frac{\alpha ^2}{4}\left(5+2\sqrt{5} \right)$
$\displaystyle OK=\frac{\alpha \sqrt{2\sqrt{5}+5}}{2}$
Οπότε το εμβαδό του κανονικού δεκαγώνου είναι $\displaystyle10\cdot \left(OAB \right)=10\cdot \alpha\cdot\frac{\alpha \sqrt{2\sqrt{5}+5}}{2}=5\cdot \alpha ^2\cdot \sqrt{2\sqrt{5}+5}$

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1973 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1973 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1973 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1973 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Re: ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ 1973 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Μέλη σε σύνδεση