KATEΕ 1979 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

parmenides51 · #1

1. Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών το σύστημα $\displaystyle{ \begin{cases} y^2+xy+{\color{red}y}=24 \\ y^2+xy+x=21 \end{cases}}$

2. Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών την ανίσωση $\displaystyle{\frac{2x^2-5x+3}{4x^2-5x+1}<1}$

3. Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών την εξίσωση $\displaystyle{5\cdot 4^{\log x}-17\cdot 2^{\log x}=12}$

edit
διόρθωση τυπογραφικού στο 1ο, ευχαριστώ τον Σπύρο Καρδαμίτση που το πρόσεξε

BAGGP93 · #2

parmenides51 έγραψε:

2. Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών την ανίσωση $\displaystyle{\frac{2x^2-5x+3}{4x^2-5x+1}<1}$

Για $\displaystyle{x\in\mathbb{R}-\left\{x\in\mathbb{R}:4\,x^2-5\,x+1=0\right\}=\mathbb{R}-\left\{\frac{1}{4},1\right\}}$ έχουμε

$\displaystyle{\begin{aligned} \frac{2\,x^2-5\,x+3}{4\,x^2-5\,x+1}<1&\Leftrightarrow \frac{2\,x^2-5\,x+3-4\,x^2+5\,x-1}{4\,x^2-5\,x+1}<0\\&\Leftrightarrow \frac{-2\,x^2+2}{4\,x^2-5\,x+1}<0\\&\Leftrightarrow \frac{x^2-1}{4\,x^2-5\,x+1}>0\\&\Leftrightarrow \left[x^2-1>0\,\land\,4\,x^2-5\,x+1>0\right]\,\lor\,\left[x^2-1<0\,\land\,4\,x^2-5\,x+1<0\right]\\&\Leftrightarrow \left[\left(x-1\right)\left(x+1\right)>0\,\land \left(4\,x-1\right)\left(x-1\right)>0\right]\,\lor \left[\left(x-1\right)\left(x+1\right)<0\,\land\,\left(4\,x-1\right)\left(x-1\right)<0\right]\\&\Leftrightarrow \left[x\in\left(-\infty-1\right)\cup\left(1,+\infty\right)\,\land\,x\in\left(-\infty,\frac{1}{4}\right)\cup\left(1,+\infty\right)\right]\,\lor\,\left[x\in\left(-1,1\right)\,\land\,x\in\left(\frac{1}{4},1\right)\right]\\&\Leftrightarrow x\in\left(-\infty,-1\right)\cup\left(1,+\infty\right)\,\lor x\in\left(\frac{1}{4},1\right)\\&\Leftrightarrow x\in\left(-\infty,-1\right)\cup\left(\frac{1}{4},1\right)\cup\left(1,+\infty\right)\end{aligned}}$

3. Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών την εξίσωση $\displaystyle{5\cdot 4^{\log x}-17\cdot 2^{\log x}=12}$

Για $\displaystyle{x>0}$ είναι

$\displaystyle{\begin{aligned} 5\cdot 4^{\log x}-17\cdot 2^{\log x}=12&\Leftrightarrow 5\cdot \left(2^{\log x}\right)^2-17\cdot2^{\log x}=12\\&\Leftrightarrow \left(2^{\log x}\right)^2-\frac{17}{5}\,2^{\log x}=\frac{12}{5}\\&\Leftrightarrow \left[2^{\log x}-\frac{17}{10}\right]^2=\frac{12}{5}+\frac{289}{100}\\&\Leftrightarrow \left[2^{\log x}-\frac{17}{10}\right]^2=\frac{529}{100}=\left(\frac{23}{10}\right)^2\\&\Leftrightarrow 2^{\log x}-\frac{17}{10}\in\left\{-\frac{23}{10},\frac{23}{10}\right\}\\&\Leftrightarrow 2^{\log x}\in\left\{-\frac{3}{5},4\right\}\\&\Leftrightarrow \log x=2\\&\Leftrightarrow x=100\end{aligned}}$

Ιστοσελίδα · #3

parmenides51 έγραψε:1. Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών το σύστημα $\displaystyle{ \begin{cases} y^2+xy+{\color{red}y}=24 \\ y^2+xy+x=21 \end{cases}}$

edit
διόρθωση τυπογραφικού στο 1ο, ευχαριστώ τον Σπύρο Καρδαμίτση που το πρόσεξε

Μιας και το πρόσεξα ας το δώσω και μια λύση:

Έχουμε:

$\left\{ \begin{matrix} {{y}^{2}}+xy+y=24 \\ {{y}^{2}}+xy+x=21 \\ \end{matrix} \right\}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{y}^{2}}+xy+y=24 \\ -{{y}^{2}}-xy-x=-21 \\ \end{matrix} \right\}$

Και προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει:

$y-x=3\Leftrightarrow x=y-3$

Τότε η πρώτη εξίσωση γράφεται:

${{y}^{2}}+(y-3)y+y=24\Leftrightarrow {{y}^{2}}-y-12=0$

που έχει ρίζες $y=4,\,\,\,\,y=-3$

συνεπώς οι λύσεις του συστήματος είναι:

(x,y)=(1,4)

και

KATEΕ 1979 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

KATEΕ 1979 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Re: KATEΕ 1979 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Re: KATEΕ 1979 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥΡΙΣΤΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Μέλη σε σύνδεση