Πολυώνυμα ανάγωγα στο Ζp.

#1

Καλημέρα!
Ας δούμε μια ερώτηση-άσκηση στα πολυώνυμα.

Υπάρχει πολυώνυμο $f(x)\in\mathtbb{Z}[x]$ , το οποίο να είναι ανάγωγο στο $\mathtbb{Z}[x]$ ,
αλλά να μην είναι ανάγωγο στο $\mathtbb{Z}_{p}[x]$ , για κανένα πρώτο ?

Νίκος Κατσίπης

#2

Το $x^4+1\in \mathbb{Z}[x]$ είναι ανάγωγο επί του $\mathbb{Z}$

(από Eisenstein με p=2

στο

).

Αν p=2

, είναι

στο $\mathbb{Z}_2 [x]$ .

Αν ο

είναι περιττός, τότε $p^2\equiv 1 \pmod 8$ , οπότε

το x^4+1

διαρεί το

, που διαιρεί to $x^{p^2-1}-1$ , που διαιρεί το $x^{p^2}-x$ .

Αφού $[\mathbb{Z}_{p^2}:\mathbb{Z}_p]=2$ , για κάθε ρίζα $\rho$ του x^4+1

, είναι $[\mathbb{Z}_{p}(\rho):\mathbb{Z}_p]\leq 2$ κι άρα

το x^4+1

δεν είναι ανάγωγο επί του $\mathbb{Z}_p$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

#3

(1) Ας δειχθεί ότι το πολυώνυμο $f_{a,b}(x)=x^{4}+ax^{2}+b^{2}$ με $a,b\in\mathbb{Z}$ δεν είναι ανάγωγο στο $\mathbb{Z}_{p}[x]$ όπου $p\in\mathbb{P}$ .

nkatsipis έγραψε:Υπάρχει πολυώνυμο $f(x)\in\mathtbb{Z}[x]$ , το οποίο να είναι ανάγωγο στο $\mathtbb{Z}[x]$ ,
αλλά να μην είναι ανάγωγο στο $\mathtbb{Z}_{p}[x]$ , για κανένα πρώτο ?

(2) Ας δειχθεί ότι μια οικογένεια τέτοιων πολυωνύμων είναι η:

$f_{c}(x)=x^{4}+2(1-c)x^{2}+(1+c)^{2}$ με $c\in\mathbb{N}$ και $\sqrt{c}\not\in\mathbb{Q}$ .

#4

Ας μου επιτραπεί να αναφέρω ένα πολύ ενδιαφέρον σχετικό άρθρο (με παραπομπές και σε άλλα) :

Eric Driver, Philip A.Leonard, Kenneth Williams

"Irreducible Quartic Polynomials with Factorizations modulo p"

Monthly, Vol. 112 (2005), No. 10, p. 876.

Π.χ., η άσκηση 1 του Αναστάση προκύπτει από μέρος του Θεωρήματος 4, σελ. 880, ενώ μια λύση της παραπάνω άσκησης 2
ξεκινά στο κάτω μέρος της 881.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#5

Επίσης, η πραγμάτευση των ανωτέρω ζητημάτων υπάρχει στο εξαιρετικό (για μια ακόμη φορά) βιβλίο του Victor V. Prasolov
"Polynomials" σελ.51-52.

#6

Όμορφες απαντήσεις και σχόλια.
Το κλασικό παράδειγμα, είναι αυτό που μας έδωσε ο Αχιλλέας.
Τέτοια διαπραγμάτευση γίνεται επίσης και στο περίφημο βιβλίο των Dummit και Foote <<Abstract Algebra>> (γίνεται και αναφορά στο άρθρο που μας αναφέρει ο Αχιλλέας.)
Σας ευχαριστώ πολύ!

Νίκος Κατσίπης

#7

Πίσω από την άσκηση κρύβεται αρκετά όμορφή θεωρία. Το πως θα παραγοντοποιηθεί το

στα διάφορα $\mathbb{Z}_p$ εξαρτάται από την ομάδα Galois του

πάνω από το $\mathbb{Q}$ . Αν το

είνα ανάγωγο βαθμού

τότε η ομάδα Galois είναι μια υποομάδα του S_n

η οποία δρα μεταβατικά στις ρίζες του πολυωνύμου. Κάθε στοιχείο της

δίνει ένα διαμερισμό του

. Κάθε παραγοντοποίηση του

σε κάποιο $\mathbb{Z}_p$ επίσης δίνει ένα διαμερισμό του

. Το θεώρημα λέει ότι οι μόνοι διαμερισμοί που μπορούν να προκύψουν παραγοντοποιώντας το

στα διάφορα $\mathbb{Z}_p$ είναι αυτοί που προκύπτουν από τα στοιχεία της

. Π.χ. για το πολυώνυμο X^4 + 1

οι ρίζες του είναι οι $x_1 = \frac{\sqrt{2}}{2}(1 + i), x_2 = \frac{\sqrt{2}}{2}(- 1 + i), x_3 = \frac{\sqrt{2}}{2}(- 1 - i)$ και $x_4 = \frac{\sqrt{2}}{2}(1 - i)$ . Το στοιχείο της ομάδας Galois που παίρνει το $\sqrt{2}$ στο $\sqrt{2}$ και το

στο

είναι το $(1 \, 4)(2 \, 3)$ και δίνει τον διαμερισμό 4=2+2

. Το ταυτοτικό στοιχείο είναι το (1)(2)(3)(4)

και δίνει τον διαμερισμό 4=1+1+1+1

. Η παραγοντοποίηση x^4+1 = (x+1)^4 = (x+1)(x+1)(x+1)(x+1)

στο $\mathbb{Z}_2[x]$ δίνει τον διαμερισμό 4=1+1+1+1

.

Άρα στην περίπτωσή μας αρκεί να κατασκευάσουμε ένα ανάγωγο πολυώνυμο βαθμού που η ομάδα Galois του δεν θα περιέχει κανένα στοιχείο βαθμού

. Για

δεν υπάρχουν τέτοιες ομάδες. Για n=4

υπάρχει ακριβώς μια τέτοια ομάδα η $V_4 = \{(1)(2)(3)(4), (12)(34),(13)(24),(14)(23) \}$ . Ένα "υποψήφιο" πολυώνυμο που να έχει τέτοια ομάδα Galois είναι το πολυώνυμο με ρίζες τα $\pm \sqrt{2} \pm \sqrt{3}$ . (Ή το πολυώνυμο που έγραψε ο Αχιλλέας που έχει ρίζες τα $\frac{\sqrt{2}}{2}(\pm 1 \pm i)$ .)

Ένα θεώρημα του Frobenius λέει ακόμα περισσότερα. Το ποσοστό που εμφανιζεται ο κάθε διαμερισμός τείνει στο ποσοστό των στοιχείων τις

που δίνουν αυτόν το διαμερισμό. Αν ελέγξουμε π.χ. πως σπάει το πολυώνυμο x^4+1

στους πρώτους 1000 πρώτους θα δούμε ότι περίπου το 1/4 είναι σε γινόμενο γραμμικών παραγόντων και τα 3/4 σε γινόμενο παραγόντων δευτέρου βαθμού. Αυτό βοηθάει να μαντεύουμε γρήγορα (αν έχουμε υπολογιστή στην διάθεσή μας) τις ομάδες Galois λόγω του ότι η παραγοντοποίηση στα $\mathbb{Z}_p$ γίνεται αρκετά γρήγορα. Τα προγράμματα ευρέσεως ομάδων Galois χρησιμοποιούν παρόμοιες μεθόδους.

Μπορούμε να βρούμε όλα τα πολυώνυμα βαθμού 4 που να έχουν αυτήν την ιδιότητα; Ναι. Από το θεμελιώδες θεώρημα της θεωρίας Galois γνωρίζουμε ότι οι υποομάδες τις V_4

σχετίζονται με τα υποσώματα του σώματος ριζών του

. Καταλήγουμε ότι πρέπει να υπάρχουν ακέραιοι a,b

ώστε τα

δεν είναι τέλεια τετράγωνα και τα $\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{ab}$ να ανήκουν στο σώμα ριζών του

. Δηλαδή το σώμα ριζών του

πρέπει να είναι το $\mathbb{Q}(\sqrt{a},\sqrt{b})$ και η ομάδα Galois παράγεται από τα $\sigma,\rho$ που ικανοποιούν $\sigma(\sqrt{a}) = \sqrt{a},\sigma(\sqrt{b}) = -\sqrt(b)$ και $\rho(\sqrt{a}) = -\sqrt{a},\rho(\sqrt{b}) = \sqrt(b).$ Κάθε τέτοιο πολυώνυμο λοιπόν πρέπει να έχει ρίζες τα
$p + q\sqrt{a} + r\sqrt{b} + s\sqrt{ab}$ , $p - q\sqrt{a} + r\sqrt{b} - s\sqrt{ab}$ , $p + q\sqrt{a} - r\sqrt{b} - s\sqrt{ab}$ και $p - q\sqrt{a} - r\sqrt{b} + s\sqrt{ab}$ όπου $p,q,r,s \in \mathbb{Q}$ . (Τελικά οι πράξεις είναι πολύ περισσότερες από όσες υπολόγιζα γι' αυτό δεν θα γράψω κάτω το πολυώνυνο.) Αντίστροφα, κάθε πολυώνυμο με ρίζες τις πιο πάνω μορφής και ακέραιους συντελεστές είναι ανάγωγο στο $\mathbb{Z}[x]$ αλλά όχι στα $\mathbb{Z}_p[x]$ .

Πολυώνυμα ανάγωγα στο Ζp.

Πολυώνυμα ανάγωγα στο Ζp.

Re: Πολυώνυμα ανάγωγα στο Ζp.

Re: Πολυώνυμα ανάγωγα στο Ζp.

Re: Πολυώνυμα ανάγωγα στο Ζp.

Re: Πολυώνυμα ανάγωγα στο Ζp.

Re: Πολυώνυμα ανάγωγα στο Ζp.

Re: Πολυώνυμα ανάγωγα στο Ζp.

Μέλη σε σύνδεση