ΕΜΠ 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.

parmenides51 · #1

Εξεταστής: Φ. Βασιλείου

1. Εαν $\displaystyle{x}$ και $\displaystyle{y}$ τυχαίοι πραγματικοί αριθμοί και $\displaystyle{\alpha,\beta,\gamma}$ θετικοί αριθμοί,
καθένας από τους οποίους είναι μικρότερος των άλλων δυο,
να δειχθεί οτι $\displaystyle{f(x,y)=\alpha^2 (x+y)x-\beta^2xy+\gamma^2(x+y)y\ge 0}$ .
Επίσης να δειχθεί οτι $\displaystyle{x(x,y)=\beta^2 (x+y)x-\gamma^2xy+\alpha^2(x+y)y\ge 0}$
και $\displaystyle{g(x,y)=\gamma^2 (x+y)x-\alpha^2xy+\beta^2(x+y)y\ge 0}$ .
Πότε είναι $\displaystyle{f(x,y)=0, z(x,y)=0}$ και $\displaystyle{g(x.y)=0}$ ;
Επίσης να δείξετε οτι $\displaystyle{f(x,y)\ge \theta (x^2+y^2)}$ όπου $\displaystyle{\theta=\frac{4\alpha^2\gamma^2-(\alpha^2-\beta^2+\gamma^2)^2}{4(\alpha^2+\gamma^2)}}$

2. α) Δίνεται γεωμετρική πρόοδος με θετικούς όρους.
Να δειχθεί οτι ο μέσος αριθμητικός μέσος του πρώτου και του τελευταίου
είναι πάντοτε μεγαλύτερος του αριθμητικού μέσου όλων των όρων αυτής.
Να εξετάσετε πότε ισχύει το ίσον.
β) Εαν μεταξύ των αριθμών $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{\beta}$ παρεμβάλλουμε $\displaystyle{\nu}$ όρους τέτοιους ώστε μαζί με τους $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{\beta}$
να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου, και στην συνέχεια μεταξύ των $\displaystyle{\beta}$ και $\displaystyle{ \alpha}$
παρεμβάλλουμε $\displaystyle{ \nu}$ όρους τέτοιους ώστε μαζί με τους $\displaystyle{\beta}$ και $\displaystyle{\alpha}$ να αποτελούν διαδοχικούς όρους αρμονικής προόδου,
να δειχτεί οτι το άθροισμα των γινομένων των ομοταξίων όρων των δυο προόδων διαιρούμενο με $\displaystyle{\nu+2}$ δίνει πηλίκο $\displaystyle{\alpha\beta}$ .
Τι περιορισμούς πρέπει να πληρούν τα $\displaystyle{\alpha}$ και $\displaystyle{ \beta}$ ;

3. α) Έστω $\displaystyle{\alpha_o,\beta_o}$ θετικοί αριθμοί και $\displaystyle{\beta_o<\alpha_o}$ . Για $\displaystyle{\nu=1 ,2,3 ...}$ σχηματίζουμε τους όρους
$\displaystyle{\alpha_{\nu}=\frac{1}{2}(\alpha_{\nu-1}+\beta_{\nu-1}) , \beta_{\nu}=\sqrt{\alpha_{\nu-1}\beta_{\nu-1}}}$ , όπου η ρίζα λαμβάνεται με το θετικό πρόσημο.
Να δείξετε οτι για κάθε φυσικό $\displaystyle{\nu}$ ισχύουν οι σχέσεις
$\displaystyle{\alpha_{\nu}<\alpha_{\nu-1},\beta_{\nu}<\beta_{\nu-1},0<\alpha_{\nu}-\beta_{\nu}<\frac{1}{2}(\alpha_{\nu-1}-\beta_{\nu-1})}$ και $\displaystyle{\alpha_{\nu}-\beta_{\nu}< \frac{1}{2^{\nu}}(\alpha_{o}-\beta_{o})}$
β) Μπορεί ο μιγαδικός αριθμός $\displaystyle{z}$ με $\displaystyle{|z|\ne 1}$ , να είναι ρίζα της αλγεβρικής εξίσωσης της μορφής
$\displaystyle{\frac{1-z^{\nu}}{1-z}=1+z+...+z^{\nu-1}=0}$ , όπου $\displaystyle{\nu}$ φυσικός και γιατί;
Να απαντήσετε επίσης στο ερώτημα <<εφόσον για μιγαδικό $\displaystyle{z}$ με $\displaystyle{|z|<1}$ , τα σημεία
που αντιστοιχούν στο μιγαδικό επίπεδο στους αριθμούς $\displaystyle{1-z,1-z^2,1-z^3}$ ορίζουν τρίγωνο,
μπορεί αυτό να περιέχει την αρχή $\displaystyle{z=0}$ και γιατί;>>

Υ.Γ. Σε μερικές ασκήσεις της εποχής τότε (όπως και στο 3α) αναφέρεται σε τετραγωνική ρίζα με την διατύπωση '' η ρίζα λαμβάνεται με το θετικό πρόσημο''. Τι εννοεί; Μήπως εννοεί οτι από τις δυο τετραγωνικές ρίζες της υπόρριζης ποσότητας, κρατάμε μόνο την θετική; Τότε έλυναν όλες τις εξισώσεις στο $\displaystyle{\mathbb{C}}$ και δεν υπήρχε κανένας περιορισμός για το υπόρριζο.

edit's
προσθήκη εξεταστή
προσθήκη του θέματος 2β, κατόπιν διασταύρωσης των πηγών της συγκεκριμένης εξέτασης

#2

parmenides51 έγραψε: Υ.Γ. Σε μερικές ασκήσεις της εποχής τότε (όπως και στο 3α) αναφέρεται σε τετραγωνική ρίζα με την διατύπωση '' η ρίζα λαμβάνεται με το θετικό πρόσημο''. Τι εννοεί; Μήπως εννοεί οτι από τις δυο τετραγωνικές ρίζες της υπόρριζης ποσότητας, κρατάμε μόνο την θετική; Τότε έλυναν όλες τις εξισώσεις στο $\displaystyle{\mathbb{C}}$ και δεν υπήρχε κανένας περιορισμός για το υπόρριζο.

Aυτό εννοεί Parmenides.

kostas_zervos · #3

parmenides51 έγραψε: Υ.Γ. Σε μερικές ασκήσεις της εποχής τότε (όπως και στο 3α) αναφέρεται σε τετραγωνική ρίζα με την διατύπωση '' η ρίζα λαμβάνεται με το θετικό πρόσημο''. Τι εννοεί; Μήπως εννοεί οτι από τις δυο τετραγωνικές ρίζες της υπόρριζης ποσότητας, κρατάμε μόνο την θετική; Τότε έλυναν όλες τις εξισώσεις στο $\displaystyle{\mathbb{C}}$ και δεν υπήρχε κανένας περιορισμός για το υπόρριζο

.

Κάθε μιγαδικός έχει

,

στές ρίζες , έχει έχει και δύο τετραγωνικές ρίζες.

Όταν λέει τετραγωνική ρίζα δεν εννοεί αυτό που λέμε σήμερα για την τετραγωνική ρίζα μη αρνητικού αριθμού.

Δεν έχει σχέση με το αν η υπόριζη ποσότητα είναι θετική ή αρνητική.

Π.χ. $\sqrt{4}=2$ ή $\sqrt{4}=-2$ και $\sqrt{-4}=2i$ ή $\sqrt{-4}=-2i$ , τιμές που προκύπτουν από τον τύπο της

στής ρίζας μιγαδικού.

Και σήμερα λέμε (χωρίς να δημιουργείται σύγχυση) :

"Η κυβική ρίζα του

είναι το

" και

"Η κυβικές ρίζες του

είναι οι $2\;,\;-1\pm\sqrt{3}i$ "

parmenides51 · #4

parmenides51 έγραψε:Εξεταστής: Φ. Βασιλείου

3. β) ...
Να απαντήσετε επίσης στο ερώτημα <<εφόσον για μιγαδικό $\displaystyle{z}$ με $\displaystyle{|z|<1}$ , τα σημεία
που αντιστοιχούν στο μιγαδικό επίπεδο στους αριθμούς $\displaystyle{1-z,1-z^2,1-z^3}$ ορίζουν τρίγωνο,
μπορεί αυτό να περιέχει την αρχή $\displaystyle{z=0}$ και γιατί;>>

εδώ κι εδώ

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #5

parmenides51 έγραψε:Εξεταστής: Φ. Βασιλείου
3. α) Έστω $\displaystyle{\alpha_o,\beta_o}$ θετικοί αριθμοί και $\displaystyle{\beta_o<\alpha_o}$ . Για $\displaystyle{\nu=1 ,2,3 ...}$ σχηματίζουμε τους όρους
$\displaystyle{\alpha_{\nu}=\frac{1}{2}(\alpha_{\nu-1}+\beta_{\nu-1}) , \beta_{\nu}=\sqrt{\alpha_{\nu-1}\beta_{\nu-1}}}$ , όπου η ρίζα λαμβάνεται με το θετικό πρόσημο.
Να δείξετε οτι για κάθε φυσικό $\displaystyle{\nu}$ ισχύουν οι σχέσεις
$\displaystyle{\alpha_{\nu}<\alpha_{\nu-1},\beta_{\nu}>\beta_{\nu-1},0<\alpha_{\nu}-\beta_{\nu}<\frac{1}{2}(\alpha_{\nu-1}-\beta_{\nu-1})}$ και $\displaystyle{\alpha_{\nu}-\beta_{\nu}< \frac{1}{2^{\nu}}(\alpha_{o}-\beta_{o})}$

Υ.Γ. Σε μερικές ασκήσεις της εποχής τότε (όπως και στο 3α) αναφέρεται σε τετραγωνική ρίζα με την διατύπωση '' η ρίζα λαμβάνεται με το θετικό πρόσημο''. Τι εννοεί; Μήπως εννοεί οτι από τις δυο τετραγωνικές ρίζες της υπόρριζης ποσότητας, κρατάμε μόνο την θετική; Τότε έλυναν όλες τις εξισώσεις στο $\displaystyle{\mathbb{C}}$ και δεν υπήρχε κανένας περιορισμός για το υπόρριζο.

Aυτό το θέμα μου θυμίζει την εποχή που ως υποψήφιος της 1ης Δέσμης , καθόμουν με τις ώρες και έλυνα ασκήσεις πάνω στις ακολουθίες...

Αρχικά παρατηρούμε ότι $\alpha _{\nu }>0$ για κάθε $\nu$ φυσικό και $\beta _{\nu }>0$ για κάθε $\nu$ φυσικό.

Θα θυμηθούμε την πασίγνωστη ανισότητα $\frac{1}{2}\left(x+y \right)>\sqrt{xy}$
για x,y

θετικούς και διαφορετικούς μεταξύ τους.

Θα αποδείξουμε ότι $\alpha _{\nu }>\beta _{\nu }$ για κάθε $\nu$ φυσικό.
Aυτό θα γίνει επαγωγικά.

$\alpha _{1 }=\frac{1}{2}\left(\alpha _{0 }+\beta _{0 } \right)>\sqrt{\alpha _{0 }\beta _{0 }}=\beta _{1 }$

Γίνεται δεκτό ότι $\alpha _{\nu }>\beta _{\nu }$

$\alpha _{\nu +1}=\frac{1}{2}\left(\alpha _{\nu }+\beta _{\nu } \right)>\sqrt{\alpha _{\nu }\beta _{\nu }}=\beta _{\nu +1 }$

Αποδείχθηκε λοιπόν ότι $\alpha _{\nu }>\beta _{\nu }$ για κάθε $\nu$ φυσικό.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Αν το θέμα έδινε ότι $\alpha _{0 }<\beta _{0 }$ , με $\alpha _{0 },\beta _{0 }$ θετικούς , το παραπάνω συμπέρασμα δεν αλλάζει.

$\alpha _{\nu }=\frac{1}{2}\left(\alpha _{\nu-1 }+\beta _{\nu-1 } \right)<\frac{1}{2}\left(\alpha _{\nu-1 }+\alpha _{\nu-1 } \right)= \alpha_{\nu-1 }$ για κάθε $\nu$ φυσικό.

$\beta_{\nu}=\sqrt{\alpha _{\nu -1 }\beta _{\nu -1 }}>\sqrt{\beta _{\nu-1 }\beta _{\nu-1 }}=\beta _{\nu-1 }$ για κάθε $\nu$ φυσικό.

Έτσι αφού $\beta_{\nu-1}<\beta _{\nu }$ μπορούμε να γράψουμε ότι $-\beta_{\nu-1}>-\beta _{\nu }$ για κάθε $\nu$ φυσικό.

Συνεπώς

$\frac{1}{2}\left(\alpha _{\nu -1}-\beta _{\nu -1} \right)=\frac{1}{2}\alpha _{\nu -1}-\frac{1}{2}\beta _{\nu -1}=\frac{1}{2}\alpha _{\nu -1}+\frac{1}{2}\beta _{\nu -1}-\beta _{\nu -1}=$

$\frac{1}{2}\left(\alpha _{\nu -1}+\beta _{\nu -1} \right)-\beta _{\nu -1}=\alpha _{\nu }-\beta _{\nu -1}>\alpha _{\nu }-\beta _{\nu }$

για κάθε $\nu$ φυσικό.

Αποδείχθηκε ότι $0<\alpha_{\nu}-\beta_{\nu}<\frac{1}{2}(\alpha_{\nu-1}-\beta_{\nu-1})}$
για κάθε $\nu$ φυσικό.

Για την απόδειξη της τελευταίας ανισότητας , επικαλούμαστε τις $\nu$ στο πλήθος ανισότητες

$\alpha_{\nu}-\beta_{\nu}<\frac{1}{2}(\alpha_{\nu-1}-\beta_{\nu-1})}$

$\alpha_{\nu-1}-\beta_{\nu-1}<\frac{1}{2}(\alpha_{\nu-2}-\beta_{\nu-2})}$

$\alpha_{\nu-2}-\beta_{\nu-2}<\frac{1}{2}(\alpha_{\nu-3}-\beta_{\nu-3})}$
............................................................
............................................................
............................................................
............................................................
$\alpha_{3}-\beta_{3}<\frac{1}{2}(\alpha_{2}-\beta_{2})}$

$\alpha_{2}-\beta_{2}<\frac{1}{2}(\alpha_{1}-\beta_{1})}$

$\alpha_{1}-\beta_{1}<\frac{1}{2}(\alpha_{0}-\beta_{0})}$

τις οποίες επιτρέπεται να πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη.

Μετά τις απλοποιήσεις , προκύπτει η ζητουμένη ανισότητα

$\displaystyle{\alpha_{\nu}-\beta_{\nu}< \frac{1}{2^{\nu}}(\alpha_{o}-\beta_{o})}$

Σε αυτό το όμορφο θέμα , ας μου επιτραπούν δυο προσθήκες.

Θα αποδειχθεί ότι ο οποιοσδήποτε όρος της $\left(\alpha _{\nu } \right)$ είναι μεγαλύτερος από τον οποιοδήποτε όρο της $\left(\beta _{\nu } \right)$

Έστω $\kappa ,\lambda$ τυχόντες φυσικοί αριθμοί.
Θα αποδειχθεί ότι ισχύει
$\alpha _{\kappa }>\beta _{\lambda }$

Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις:
ΠΡΩΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ
$\kappa =\lambda$
Έχει αποδειχθεί παραπάνω η αλήθεια του ισχυρισμού.
ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ
$\kappa >\lambda$
Ισχύει ότι
$\alpha _{\kappa }>\beta _{\kappa }$ και επίσης
$\beta _{\kappa }>\beta _{\lambda }$ αφού η $\left(\beta _{\nu } \right)$ είναι γνησίως αύξουσα , όπως αποδείχθηκε παραπάνω.
Άρα $\alpha _{\kappa }>\beta _{\lambda }$
ΤΡΙΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ
$\kappa <\lambda$
Ισχύει ότι
$\alpha _{\kappa }>\alpha _{\lambda }$ αφού η $\left(\alpha _{\nu } \right)$ είναι γνησίως φθίνουσα , όπως αποδείχθηκε παραπάνω.
Επίσης ισχύει
$\alpha _{\lambda}> \beta_{\lambda }$
Άρα $\alpha _{\kappa }>\beta _{\lambda }$

Θα αποδειχθεί ότι οι ακολουθίες $\alpha _{\nu },\beta _{\nu }$ συγκλίνουν και μάλιστα στον ίδιο πραγματικό αριθμό .

Η $\alpha _{\nu }$ συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό , γιατί είναι γνησίως φθίνουσα και κάτω φραγμένη.
Ένα κάτω φράγμα είναι ένας οποιοσδήποτε όρος της $\beta _{\nu }.$

Η $\beta_{\nu }$ συγκλίνει σε πραγματικό αριθμό , γιατί είναι γνησίως αύξουσα και άνω φραγμένη.
Ένα άνω φράγμα είναι ένας οποιοσδήποτε όρος της $\alpha_{\nu }.$

Το γεγονός ότι οι $\alpha _{\nu },\beta _{\nu }$ συγκλίνουν στον ίδιο πραγματικό αριθμό μπορεί πλέον να αποδειχθεί με παραπάνω από έναν τρόπους.
Θα γράψω μόνο έναν.
Αν $l_{1}$ το όριο της $\alpha _{\nu }$ και $l_{2}$ το όριο της $\beta _{\nu }$ , τότε από τον ορισμό της $\alpha _{\nu }$ προκύπτει
$l_{1}=\frac{1}{2}\left(l_{1}+l_{2} \right)$ το οποίο ισοδυναμεί με $l_{1}=l_{2}.$

#6

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:
Σε αυτό το όμορφο θέμα , ας μου επιτραπούν δυο προσθήκες.

Θα αποδειχθεί ότι ο οποιοσδήποτε όρος της $\left(\alpha _{\nu } \right)$ είναι μεγαλύτερος από τον οποιοδήποτε όρο της $\left(\beta _{\nu } \right)$

Έστω $\kappa ,\lambda$ τυχόντες φυσικοί αριθμοί.
Θα αποδειχθεί ότι ισχύει
$\alpha _{\kappa }>\beta _{\lambda }$

Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις:
ΠΡΩΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ
$\kappa =\lambda$
Έχει αποδειχθεί παραπάνω η αλήθεια του ισχυρισμού.
ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ
$\kappa >\lambda$
Ισχύει ότι
$\alpha _{\kappa }>\beta _{\kappa }$ και επίσης
$\beta _{\kappa }>\beta _{\lambda }$ αφού η $\left(\beta _{\nu } \right)$ είναι γνησίως αύξουσα , όπως αποδείχθηκε παραπάνω.
Άρα $\alpha _{\kappa }>\beta _{\lambda }$
ΤΡΙΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ
$\kappa <\lambda$
Ισχύει ότι
$\alpha _{\kappa }>\alpha _{\lambda }$ αφού η $\left(\alpha _{\nu } \right)$ είναι γνησίως φθίνουσα , όπως αποδείχθηκε παραπάνω.
Επίσης ισχύει
$\alpha _{\lambda}> \beta_{\lambda }$
Άρα $\alpha _{\kappa }>\beta _{\lambda }$

Ωραιότατα.

Μπορούμε να δείξουμε ευκολότερα το παραπάνω ως εξής, χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι έχει αποδειχθεί ότι η (a_n)

είναι φθίνουσα, η (b_n)

αύξουσα, και $a_n> b_n, \forall n$ .

Είναι: $a_k > a_{k+l} > b_{k+l} > b_l$ . ό.έ.δ.

M.

ΕΜΠ 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.

ΕΜΠ 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.

Re: ΕΜΠ 1959 ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛ. ΜΗΧ.

Μέλη σε σύνδεση