Ευρεση Συναρτησης

papel · #1

Να βρειτε ολες τις συναρτησεις f(x) (αν υπαρχουν) με $\displaystyle{x \in R - \{ 0\ , 1\} }$ ωστε :

$\displaystyle{ f\left( {f(x)} \right) = \frac{1}{{f\left( {\frac{1}{x}} \right)}} }$

Jeronymo Simonstone · #2

Αμέσως βλέπω ότι η ταυτοτική συνάρτηση την επαληθεύει...

#3

Και οι σταθερές +1, -1 και δεν υπάρχουν άλλες πολυωνυμικές!!!

papel · #4

Μηπως μας κανει και η $\displaystyle{f(x) = 1 - \frac{1}{x}}$ ?

#5

Υπάρχουν πάρα πολλές συναρτήσεις ιδίως αν χρησιμοποιήσουμε το αξίωμα της επιλογής.

Για παράδειγμα μπορούμε να ορίσουμε f(-1)=-1

να χωρίσουμε το $\mathbb{R} \setminus \{-1,0,1\}$ σε εξάδες $\{a,b,c,1/a,1/b,1/c\}$ και να ορίσουμε f(a)=b,f(b)=c,f(c)=a,f(1/a)=1/c,f(1/b)=1/a,f(c)=1/b

. Εύκολα ελέγχεται ότι κάθε τέτοια συνάρτηση ικανοποιεί τις συνθήκες. (Υπάρχουν και άλλες. Νομίζω με λίγη περισσότερη προσπάθεια μπορούν να βρεθούν όλες)

#6

Νομίζω τώρα έχω βρει όλες τις συναρτήσεις.

(1) Υπάρχει μοναδικό

ώστε

:
Ύπαρξη: Αν f(-1) = -1

τελειώσαμε. Αν $f(-1) = x \neq -1$ τότε f(x)f(-1) = 1

άρα

.
Μοναδικότητα: Αν f(x) = 1/x

τότε

άρα

. (Το 1 δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού και άρα δεν μπορεί να ανήκει στο πεδίο τιμών: Αν f(y) = 1

τότε η δοσμένη ισότητα δεν έχει νόημα για x=y

.) Άρα

και άρα

που αποδεικνύει την μοναδικότητα του

.

(2) Αν f(x) = f(y)

τότε

.

(3) Αν f(a)=b,f(b)=c,f(c)=d

τότε βάζοντας διαδοχικά x=a,b,1/a,1/b,1/d

παίρνουμε

(4) Αν το

ανήκει στο πεδίο τιμών τότε υπάρχουν y,z

ώστε

. (Από την (3) με x=b,y=c,z=d

.)

(5) Αν x,y,z

όπως στην (4) τότε
- Είτε x,y,z,1/x,1/y,1/z

είναι όλα διαφορετικά μεταξύ τους
- Είτε x=y=z

- Είτε $\{x,y,z,1/x,1/y,1/z\} = \{-1,w,1/w\}$ για κάποιο

.

Βάζοντας όλα τα παραπάνω μαζί (και αν δεν έχω κάποιο λάθος) τότε μπορούμε να πάρουμε όλες τις συναρτήσεις με τον εξής τρόπο:

(Α) Χωρίζουμε το πεδίο ορισμού στα $\{x,1/x\}$ και από το κάθε ζεύγος παίρνουμε ένα αντιπρόσωπο. (Από το $\{-1\}$ παίρνουμε το

.) Έστω

το σύνολο που δημιουργήται. (Έχουμε $-1 \in X$ .)

(B) Xωρίζουμε το

σε ένα σύνολο

(πιθανώς κενό) με $-1 \notin W$ , στο σύνολο $\{-1,x_1\}$ , σε τριάδες $\{x,y,z\}$ και σε μονοσύνολα $\{x\}$ .

(Γ)
- Ορίζουμε f(-1)=x_1,f(x_1) = 1/x_1,f(1/x_1)=-1

.
- Για κάθε μονοσύνολο $\{x\}$ ορίζουμε f(x) = x, f(1/x) = 1/x

.
- Για κάθε τριάδα $\{x,y,z\}$ ορίζουμε f(x)=y,f(y)=z,f(z)=x,f(1/x)=1/z,f(1/y)=1/x,f(1/z)=1/y

ή

- Τέλος για κάθε $w \in W$ παίρνουμε ένα

με $x,1/x \notin W$ και ορίζουμε f(w)=f(x)

και

. (Επειδή $x,1/x \notin W$ είτε $x \in X \setminus W$ είτε $1/x \in X \setminus W$ και άρα τα f(x),f(1/x)

έχουν ήδη οριστεί.)

Μπορεί να ελεγχθεί ότι κάθε τέτοια συνάρτηση ικανοποιεί την δοσμένη συνθήκη. Το αξίωμα της επιλογής έχει χρησιμοποιηθεί και στο (Α) (όταν παίρνουμε ένα στοιχείο από κάθε ζεύγος) και στο (Β) για να πετύχουμε τον διαμερισμό και στο (Γ) όταν αποφασίζουμε για κάθε τριάδα με πιο από τους δυο διαφορετικούς τρόπους θα ορίσουμε τις τιμές και όταν για κάθε $w \in W$ διαλέγουμε ένα ξεχωριστό

.

Μάκης Χατζόπουλος · #7

Απίστευτη δουλειά Δημήτρη

Dimitris X · #8

Αυτή είναι άσκηση για 3η λυκείου?????

#9

Dimitris X έγραψε:Αυτή είναι άσκηση για 3η λυκείου?????

Είναι στα θέματα με απαιτήσεις.

Αν δεν έχω κάνει καμιά γκάφα τότε σίγουρα δεν είναι 3ης λυκείου. Φαντάζομαι ότι είτε δόθηκε λάθος η συνθήκη είτε κάπου χάθηκε κάποια άλλη συνθήκη (π.χ. συνέχειας/μονοτονίας).

#10

Με μια ακόμη συνθήκη:
viewtopic.php?p=99259#p99259

Ευρεση Συναρτησης

Ευρεση Συναρτησης

Re: Ευρεση Συναρτησης

Re: Ευρεση Συναρτησης

Re: Ευρεση Συναρτησης

Re: Ευρεση Συναρτησης

Re: Ευρεση Συναρτησης

Re: Ευρεση Συναρτησης

Re: Ευρεση Συναρτησης

Re: Ευρεση Συναρτησης

Re: Ευρεση Συναρτησης

Μέλη σε σύνδεση