Νομίζω τώρα έχω βρει όλες τις συναρτήσεις.
(1) Υπάρχει μοναδικό

ώστε

:
Ύπαρξη: Αν

τελειώσαμε. Αν

τότε

άρα

.
Μοναδικότητα: Αν

τότε

άρα

. (Το 1 δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού και άρα δεν μπορεί να ανήκει στο πεδίο τιμών: Αν

τότε η δοσμένη ισότητα δεν έχει νόημα για

.) Άρα

και άρα

που αποδεικνύει την μοναδικότητα του

.
(2) Αν

τότε

.
(3) Αν

τότε βάζοντας διαδοχικά

παίρνουμε
(4) Αν το

ανήκει στο πεδίο τιμών τότε υπάρχουν

ώστε

. (Από την (3) με

.)
(5) Αν

όπως στην (4) τότε
- Είτε

είναι όλα διαφορετικά μεταξύ τους
- Είτε

- Είτε

για κάποιο

.
Βάζοντας όλα τα παραπάνω μαζί (και αν δεν έχω κάποιο λάθος) τότε μπορούμε να πάρουμε όλες τις συναρτήσεις με τον εξής τρόπο:
(Α) Χωρίζουμε το πεδίο ορισμού στα

και από το κάθε ζεύγος παίρνουμε ένα αντιπρόσωπο. (Από το

παίρνουμε το

.) Έστω

το σύνολο που δημιουργήται. (Έχουμε

.)
(B) Xωρίζουμε το

σε ένα σύνολο

(πιθανώς κενό) με

, στο σύνολο

, σε τριάδες

και σε μονοσύνολα

.
(Γ)
- Ορίζουμε

.
- Για κάθε μονοσύνολο

ορίζουμε

.
- Για κάθε τριάδα

ορίζουμε

ή

- Τέλος για κάθε

παίρνουμε ένα

με

και ορίζουμε

και

. (Επειδή

είτε

είτε

και άρα τα

έχουν ήδη οριστεί.)
Μπορεί να ελεγχθεί ότι κάθε τέτοια συνάρτηση ικανοποιεί την δοσμένη συνθήκη. Το αξίωμα της επιλογής έχει χρησιμοποιηθεί και στο (Α) (όταν παίρνουμε ένα στοιχείο από κάθε ζεύγος) και στο (Β) για να πετύχουμε τον διαμερισμό και στο (Γ) όταν αποφασίζουμε για κάθε τριάδα με πιο από τους δυο διαφορετικούς τρόπους θα ορίσουμε τις τιμές και όταν για κάθε

διαλέγουμε ένα ξεχωριστό

.