Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Αγαπητέ Νίκο(Μαυρογιάννη).
• Παρόλη την εκτίμηση που σου έχω...
Θα ήθελα όμως να μου απαντήσεις ξεκάθαρα στην εξής ερώτηση:
« Έχει νόημα στα μαθηματικά να γράφουμε σχέσεις που περιέχουν μια μεταβλητή x, χωρίς να γνωρίζουμε για ποιες τιμές του x ισχύουν οι σχέσεις αυτές, οπότε θα μιλάμε στον αέρα;»
Αγαπητέ Αντώνη (Κυριακόπουλε)
Παρόλο τον σεβασμό που έχω για σένα θα μου επιτρέψεις κατ' αρχάς να μικρύνω τους χαρακτήρες στην ερώτηση. Νοιώθω σαν κάποιος να κραυγάζει στα αυτιά μου
Α.Κυριακόπουλος έγραψε:« Έχει νόημα στα μαθηματικά να γράφουμε σχέσεις που περιέχουν μια μεταβλητή x, χωρίς να γνωρίζουμε για ποιες τιμές του x ισχύουν οι σχέσεις αυτές, οπότε θα
μιλάμε στον αέρα;»
'Ετσι είναι, κάπως, πιο υποφερτό. Νομίζω επίσης ότι δεν δείχνω λιγότερο σεβασμό αν διαχωρίσω εκείνο το κομμάτι που είναι όντως ερώτηση από εκείνο που είναι ερώτηση-τοποθέτηση. 'Εχουμε και λέμε λοιπόν
Η καθαρόαιμη ερώτηση:
Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Έχει νόημα στα μαθηματικά να γράφουμε σχέσεις που περιέχουν μια μεταβλητή x, χωρίς να γνωρίζουμε για ποιες τιμές του x ισχύουν οι σχέσεις αυτές;
Η δική μου απάντηση:
Ναι.
Η ερώτηση-τοποθέτηση:
Α.Κυριακόπουλος έγραψε:« οπότε θα μιλάμε στον αέρα;»
Η δική μου απάντηση:
'Οχι. Δεν έχω καμμία διάθεση για κάτι τέτοιο.
Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Όποια και να είναι η απάντησή σου δεν θα επανέλθω στο θέμα αυτό.
Επομένως μπορώ να συνεχίσω απυθυνόμενος στους υπόλοιπους συνομιλητές.
Σε αυτή την κουβέντα φαντάζομαι πως ο καθένας μπαίνει για να πάρει και να δώσει. Λέμε τις γνώμες μας που σχετίζονται, φυσικά, και με γνώμες άλλων. Τα Μαθηματικά δε είναι προσωπικές ιδιοκατασκευές που μένουν στεγανές και ανεπηρρέαστές από άλλες γνώμες. Ένας λόγος παραπάνω αν είναι γνώμες σημαντικών μαθηματικών. Γιατί για τα Μαθηματικά υπάρχουν και γνώμες. Και η άποψη ότι για τα Μαθηματικά δε μπορεί να υπάρχουν γνώμες
μία γνώμη για τα Μαθηματικά είναι και αυτή. Και οι γνώμες αλλάζουν με την αλληλεπίδραση. 'Οχι από τη μία μέρα στην άλλη. Αργά-αργά. Και διαφορετικές γνώμες μπορεί να συγκερασθούν ή να συνεχίσουν να αντιτίθενται ή ακόμη και κάποιες να ηττηθούν. Έτσι συμβαίνει με τις ιδέες.
Στο θέμα που συζητάμε τώρα. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα «τύπο»
(*) 
=κάποια παράσταση του πραγματικού αριθμού 
Δύο τινά μπορούν να συμβούν.
(1) Ή δεν υπάρχει κανένα για τον οποίο ο τύπος έχει νόημα
οπότε δεν το συζητάμε καν
(2) είτε ο τύπος έχει νόημα για ένα τουλάχιστον οπότε ορίζει μία συνάρτηση.
Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της; Κατ’ αρχάς είναι
(**) το σύνολο 
των αριθμών για τους οποίους ο τύπος (*) έχει νόημα.
Πάλι δύο τινά μπορούν να συμβούν
(2α) το σύνολο (**) δεν περιέχει κανένα ανοικτό διάστημα.
Στην περίπτωση αυτή μπορούμε μεν να κάνουμε κάποιου είδους ανάλυση αλλά έχουμε ξεφύγει από τα σχολικά πλαίσια
(2β) το σύνολο (**) περιέχει ένα τουλάχιστον ανοικτό διάστημα.
Η περίπτωση αυτή είναι και η μόνη που μας ενδιαφέρει. Μπορούμε να κάνουμε ανάλυση σχολικού επιπέδου. Μάλιστα ασχολούμενοι με το μέγιστο (ως προς την διάταξη του περιέχεσθαι) υποσύνολο
του
που είναι διάστημα ή ένωση διαστημάτων.
Με το που αναφέραμε το
της (**) έχουμε προσδιορίσει το
; Όχι! Απλώς έχουμε δώσει ένα όνομα. Ξέρουμε ότι υπάρχει ένα σύνολο μη κενό για το οποίο ο τύπος (*) έχει νόημα και μπορεί να σταθεί σαν πεδίο ορισμού συνάρτησης. Πότε θα το έχουμε προσδιορίσει; Εδώ ανοίγει μία μακρά κουβέντα όπου ο δρόμος είναι ολισθηρός. Αποτολμώ μία απάντηση που δεν είναι πλήρης: Όταν είμαστε σε θέση δοθέντος ενός αριθμού να αποφανθούμε αν αυτός ο αριθμός ανήκει στο σύνολο μας. Που μπάζει απάντηση; Στο «δοθέντος». Ακόμη και αν βρούμε ότι
υπάρχουν αριθμοί που δεν είμαστε σε θέση να καθορίσουμε αν ανήκουν στο
ή όχι. Για να γίνει αντιληπτή η έκταση των δυσκολιών που ανακύπτουν θα δώσω ένα οικείο παράδειγμα. Έστω η συνάρτηση
που είναι μία συνάρτηση τύπου Dirichlet. Ας θεωρήσουμε τώρα την συνάρτηση
Ασφαλώς σε αυτή την περίπτωση το
της (*) είναι μη κενό άρα η
ορίζεται. Ωστόσο το
δεν είναι γνωστό. Λ.χ. ποιος γνωρίζει αν ο αριθμός
ανήκει στο
; Εγώ δεν ξέρω. Όποιος ξέρει ας σηκώσει το χέρι του.
Ο καθορισμός του
γενικά δεν είναι εφικτός. Δηλαδή αν έχουμε μπροστά μας ένα τύπο που ορίζει μία συνάρτηση δεν είναι πάντα εφικτή μία επαρκής περιγραφή του πεδίου ορισμού της. Και, ελπίζω, με τα παραδείγματα και τις αναφορές που έδωσα να φάνηκε ότι πέρα από τις υποκειμενικές δυσκολίες του κάθε ενός μας υπάρχουν και αντικειμενικές καθολικού χαρακτήρα δυσκολίες. Παρεκτός αν ως καθορισμό του πεδίου ορισμού εννοούμε απλώς αν γράψουμε την (**). Τότε το συμφωνούμε όλοι ότι αυτό εννοούμε και σταματάμε να αναφερόμαστε σε αυτό το ζήτημα. Ο καθένας διαλέγει και παίρνει. Πάντως καλόν είναι ό καθείς να έχει υπ’ όψιν ότι παλληκαριές του τύπου «Για κάθε συνάρτηση που έχουμε να ασχοληθούμε βρίσκουμε (εννοείται όχι απλώς με την περιγραφή (**)) το πεδίο ορισμού» δεν χωράνε.
polysot έγραψε:
Έγραψα και παραπάνω ότι επιστημονικά είναι ΣΑΦΕΣΤΑΤΑ ΚΑΙ ΜΕ ΑΚΡΙΒΕΙΑ ΛΑΘΟΣ!!!
Αυτά επί του επιστημονικού.
Πάμε τώρα στη διδασκαλία. Τι θα λέμε στα παιδιά; Εγώ ισχυρίζομαι ότι καλόν είναι να είμαστε ειλικρινείς μαζί τους και να τους εξηγήσουμε ότι υπάρχουν συναρτήσεις που είναι δύσκολο ή και ακατόρθωτο, ακόμα και για μας τους δασκάλους τους, να βρεθεί το πεδίο ορισμού. Και ότι δεν θα το βρίσκουμε
πάντα αλλά
ενίοτε. Και να προσπαθήσουμε να απαριθμήσουμε μερικές, τις απολύτως αναγκαίες, περιπτώσεις όπου αυτό πρέπει να γίνεται.
Τώρα για όσους επιμένουν στο παράγγελμα «Πάντοτε» υπάρχει ένα μικρό καθήκον: Θα πρέπει να εξηγήσουν στους μαθητές τους ότι το αυτό «Πάντοτε» δεν αφορά όλες τις συναρτήσεις που θα βρουν στο διάβα τους. Πρέπει να είναι πολύ προσεκτικοί και να ψάχνουν τις συναρτήσεις ως τα γενοφάσκια τους μπας και προέρχονται από μη αυστηρά βιβλία τύπου «Calculus». Εν τοιάυτη περιπτώσει δεν τις αγγίζουν μη και μαγαριστούν. Θα ασχολούνται
μόνο με συναρτήσεις που προέρχονται από τον ελεγχόμενο χώρο του σχολείου ή του φροντιστηρίου. Πρόκειται για συναρτήσεις που τα πεδία ορισμού «βγαίνουν». Και πρέπει να είναι σε διαρκή εγρήγορση πανέτοιμοι. Γιατί οι ρέκτες
δάσκαλοι τους ενδέχεται να τους δώσουν συναρτήσεις που δεν ορίζονται η με διακριτά είτε άλλα μυστηριώδη πεδία ορισμού (να φυλαχτούν και από αυτή
;) Τι σημασία έχει αν άλλοι σε Ανατολή και Δύση δεν το πολυσυνηθίζουν, ανυποψίαστοι όντες οι δύσμοιροι; Εδώ στα δικά μας μαθηματικά μάρμαρα κακια σκουρια δεν πιάνει.
polysot έγραψε:
Το σημαντικό πρόβλημα όμως είναι ότι κατά τη γνώμη μου και διδακτικά είναι ΛΑΘΟΣ, διότι επίσης απλά δεν μπορείς να δίνεις λανθασμένες πληροφορίες σε ένα μαθητή, ο οποίος αργότερα θα είναι σε θέση να κρίνει τις γνώσεις που τον ώθησες να αποκτήσει, χτίζοντας μία λανθασμένη αντίληψη. Δημιουργούμε γνωστικά εμπόδια με αυτόν τον τρόπο. Και τα παιδιά γνωρίζουμε ότι ήδη έχουν αρκετά...
Αυτά επί του διδακτικού
Καλή νύχτα σε όλους
Μαυρογιάννης
,τότε το σύνολο αυτό Α το έχεις προσδιορίσει πλήρως.
![f\left( x \right) = \left[ {\sin \left( {\frac{{\sqrt {x + 3} }}{{1 + \frac{1}{{\sqrt {x + 3} }}}}} \right)} \right]^{\frac{1}{3}} - \left[ {\cos \left( {\frac{{x^7 }}{{1 - x^4 }}} \right)} \right]^{\frac{2}{3}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/f93d124ad7ee4aacd9de2bb9ff763f2f.png "f\left( x \right) = \left[ {\sin \left( {\frac{{\sqrt {x + 3} }}{{1 + \frac{1}{{\sqrt {x + 3} }}}}} \right)} \right]^{\frac{1}{3}} - \left[ {\cos \left( {\frac{{x^7 }}{{1 - x^4 }}} \right)} \right]^{\frac{2}{3}}")
