τελευταία 019: 4 σημεία συνευθειακά

parmenides51 · #1

Συγκεντρώνονται εδώ

Από τις κορυφές $\displaystyle{A }$ και $\displaystyle{B }$ και μετά από τις κορυφές $\displaystyle{B}$ και $\displaystyle{C}$ ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου $\displaystyle{ABCD}$ γράφουμε κύκλους που τέμνονται στο $\displaystyle{E}$ και τέμνουν τις πλευρές $\displaystyle{AD}$ και $\displaystyle{CD$ στα σημεία $\displaystyle{Z}$ και $\displaystyle{ H}$ αντίστοιχα.
α) Να δειχθεί οτι τα τρια σημεία $\displaystyle{E,Z,H}$ είναι συνευθειακά.
β) Αν οι ευθείες $\displaystyle{BZ}$ και $\displaystyle{BH }$ τέμνουν στα $\displaystyle{K}$ και $\displaystyle{I}$ τον περιγεγραμμένο κύκλο, ο κύκλος που διέρχεται από τα σημεία $\displaystyle{A,E,C}$ θα διέρχεται και από το κοινό σημείο $\displaystyle{L}$ των $\displaystyle{CK}$ και $\displaystyle{AI}$ και επιπλέον το σημείο $\displaystyle{L}$ θα βρίσκεται πάνω στην ευθεία $\displaystyle{EZH}$ .
Από αυτό έπεται οτι στο εγγεγραμμένο εξάγωνο $\displaystyle{AKDCIB }$ , τα κοινά σημεία των απέναντι πλευρών $\displaystyle{AD}$ και $\displaystyle{ KB, DC}$ και $\displaystyle{BI, CK}$ και $\displaystyle{ IA}$ είναι συνευθειακά.

: last 019.png (93.98 KiB) Προβλήθηκε 675 φορές

Υ.Γ. Είναι άλυτη στο βιβλίο (αλλά την έχω την λύση), η πηγή θα δοθεί μετά την λύση

Σακης · #2

α) Θα αναφέρομαι πάντα στα ελάσσονα τόξα

$\displaystyle{\widehat{AEZ}=\widehat{ABZ}=\frac{\stackrel{\frown}{AK}}{2}}$

$\displaystyle{\widehat{AEB}=\widehat{AZB}=\frac{\stackrel{\frown}{KD}}{2}+\frac{\stackrel{\frown}{AB}}{2}}$

$\displaystyle{\widehat{BEH}=\widehat{BCH}=\widehat{BAD}=\frac{\stackrel{\frown}{BD}}{2}}$

Από τις 3 σχέσεις παίρνουμε: $\displaystyle{\widehat{ZEH}=\widehat{AEZ}+\widehat{AEB}+\widehat{BEH}=\frac{\stackrel{\frown}{AK}+\stackrel{\frown}{KD}+\stackrel{\frown}{AB}+\stackrel{\frown}{BD}}{2}}=180^{o}}$

Άρα τα Z,E,H

είναι συνευθειακά

β) Από θεώρημα Pascal στο μη κυρτό εγγεγραμμένο εξάγωνο ADCKBI

έχουμε ότι τα σημεία

$AD\cap{BK}\equiv{Z}$ , $AI\cap{KC}\equiv{L}$ και $BI\cap{DC}\equiv{H}$

είναι συνευθειακά και συνεπώς τα Z,E,H,L

είναι συνευθειακά.

Τώρα $\widehat{EAC}=\widehat{EAB}-\widehat{CAB}=\widehat{BZE}-\widehat{BKC}=\widehat{ELC}$ , (εξωτερική στο τρίγωνο εφόσον Ζ,Ε,L συνευθειακά)

Άρα το EALC

είναι εγγράψιμο

parmenides51 · #3

επειδή με βάση την επίσημη λύση που έχω, συμπεραίνω πως το β ερώτημα έχει χτιστεί για να δημιουργηθεί μια αυτόνομη απόδειξη του Θ. Pascal,
καλύτερα να μην χρησιμοποιηθεί το τελευταίο (Θ. Pascal) σαν δεδομένο

τελευταία 019: 4 σημεία συνευθειακά

τελευταία 019: 4 σημεία συνευθειακά

Re: τελευταία 019: 4 σημεία συνευθειακά

Re: τελευταία 019: 4 σημεία συνευθειακά

Μέλη σε σύνδεση