Συναρτησιακη σχέση
Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis
-
- Δημοσιεύσεις: 467
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 04, 2009 12:16 pm
Συναρτησιακη σχέση
Καλημέρα,
επειδή η μαθηματικη επιστημη ειναι αλυσιδα...
ΑΣΚΗΣΗ
Έστω συνάρτηση f(x) ορισμένη στο (0, +άπειρο) με την ιδιοτητα, όταν οι τιμες της ανεξαρτητης μεταβλητης x βρισκονται σε γεωμετρικη προοδο (με λόγο οποιοδήποτε θετικό ), οι αντιστοιχες τιμές του y να βρισκονται σε αριθμητικη προοδο και f(1)=0. Να αποδειχθει ότι f(αβ) = f(α)+f(β) για κάθε α, β>0.
επειδή η μαθηματικη επιστημη ειναι αλυσιδα...
ΑΣΚΗΣΗ
Έστω συνάρτηση f(x) ορισμένη στο (0, +άπειρο) με την ιδιοτητα, όταν οι τιμες της ανεξαρτητης μεταβλητης x βρισκονται σε γεωμετρικη προοδο (με λόγο οποιοδήποτε θετικό ), οι αντιστοιχες τιμές του y να βρισκονται σε αριθμητικη προοδο και f(1)=0. Να αποδειχθει ότι f(αβ) = f(α)+f(β) για κάθε α, β>0.
- Πρωτοπαπάς Λευτέρης
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 2937
- Εγγραφή: Τετ Οκτ 14, 2009 12:20 am
- Τοποθεσία: Πετρούπολη, Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Συναρτησιακη σχέση
Αν η γεωμετρική πρόοδος με λόγο .
Τότε η είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά .
Επομένως (Ι)
Αν το x = 1, τότε ισχύει ότι: (ΙΙ)
Θέτοντας στην (Ι) , όπου ,
βρίσκουμε ότι:
και αφού ,
οπότε , για κάθε .
Κατόπιν υπόδειξης του cretaman, άλλαξα λίγο τη λύση διότι κάπου κόλλαγε η προηγούμενη.
Τότε η είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά .
Επομένως (Ι)
Αν το x = 1, τότε ισχύει ότι: (ΙΙ)
Θέτοντας στην (Ι) , όπου ,
βρίσκουμε ότι:
και αφού ,
οπότε , για κάθε .
Κατόπιν υπόδειξης του cretaman, άλλαξα λίγο τη λύση διότι κάπου κόλλαγε η προηγούμενη.
τελευταία επεξεργασία από Πρωτοπαπάς Λευτέρης σε Πέμ Νοέμ 12, 2009 12:17 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Κάθε πρόβλημα έχει μία τουλάχιστον λύση!!!
-
- Δημοσιεύσεις: 467
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 04, 2009 12:16 pm
Re: Συναρτησιακη σχέση
Μία λύση είναι η λογαριθμική συνάρτηση, είναι άραγε η μοναδική;
Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος
Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος
Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Re: Συναρτησιακη σχέση
Αν θέσουμε τότε με παίρνουμε που είναι πολυσυζητημένη
Άρα η μοναδικότητά της ανάγεται στην Cauchy
Άρα η μοναδικότητά της ανάγεται στην Cauchy
Re: Συναρτησιακη σχέση
Σωστός ο παίκτης. Μήπως μας χρειάζεται η πληροφορία της μονοτονίας ή συνέχειας ή της φραγμένης ή κάτι επιπλέον (για να έχουμε μοναδική λύση);
Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος
Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος
Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Re: Συναρτησιακη σχέση
Σωστά. Στην θαυμάσια ιστοσελίδα του Νίκου του Μαυρογιάννη στον "Εκθέτη" μπορεί να δει κανείς πολλά πράγματα καθώς και στην viewtopic.php?f=50&t=295
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: AssosGold και 8 επισκέπτες