τελευταία 029: γεωμετρικοί τόποι 5 σημείων

[parmenides51]

Συγκεντρώνονται εδώ

Δίνεται τρίγωνο του οποίου οι κορυφές και είναι σταθερές και η γωνία είναι σταθερού μέτρου. Από το μέσο της φέρνουμε την (το ) ώστε η γωνία να είναι σταθερού μέτρου. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του ορθόκεντρου, του έγκεντρου και του περίκεντρου του τριγώνου . Εαν με πλευρά κατασκευάσουμε τετράγωνο , να βρεθούν οι γεωμετρικοί τόποι των και .

last 029.png (26.52 KiB) Προβλήθηκε 745 φορές

Υ.Γ. Είναι άλυτη στο βιβλίο, η πηγή θα δοθεί μετά την λύση

[S.E.Louridas]

Πολύ καλό πρόβλημα με σημαντική Γεωμετρική Κίνηση (Δυναμική Γεωμετρία).

Ας δούμε πως αντιμετωπίζονται τα τρία πρώτα ερωτήματα με μία μέθοδο:

Ο κύκλος είναι κατά τα γνωστά σταθερός με βάση τα δεδομένα του προβλήματος. Τα τρίγωνα διατηρούν τις γωνίες τους μένουν δηλαδή όμοια προς το τρίγωνο (Σχ.2) που έχει τις αντίστοιχες γωνίες ίσες.
Έστω σταθερό σημείο στο Σχ.2.. Ας θεωρήσουμε ως αντίστοιχο ομόλογο του σημείου το σημείο στο τρίγωνο . Η θα διέρχεται από το σταθερό σημείο του . Έστω , που σημαίνει ότι Αυτό οδηγεί στο συμπέρασμα ότι το τρίγωνο παραμένει όμοιο προς εαυτόν. Όμως το σημείο είναι μέσον του συνεπώς η γωνία θα διατηρεί το μέτρο της πράγμα που σημαίνει πως το σημείο θα κινείται στο σταθερό τόξο του σταθερού κύκλου


(*) Θα επανέλθουμε για να δούμε την εξέλιξη μετά την τοποθέτηση του τετραγώνου όπως είναι στο σχήμα πάνω, δηλαδή για να προσδιορίσουμε τον γεωμετρικό τόπο των κορυφών του τετραγώνου αυτού.

[giannimani]

locus_five.jpg (34.07 KiB) Προβλήθηκε 606 φορές

Το παραμένει όμοιο προς εαυτό. Έστω . Επομένως και το παραμένει όμοιο προς εαυτό.

Έστω και . Τότε το είναι ομόλογο του με την ομόρροπη ομοιότητα κέντρου , γωνία στροφής και λόγου . Άρα ο γ.τ. του είναι ο κύκλος ο ομόλογος του με την παραπάνω ομοιότητα.

Το είναι ομόλογο του με την ομοιοθεσία κέντρου και λόγου . Άρα ο γ.τ. του είναι ο κύκλος ο ομόλογος του με την παραπάνω ομοιοθεσία.

Έστω το δεύτερο σημείο τομής των κύκλων και . Θα αποδείξουμε ότι η
διέρχεται πάντοτε από το . Πράγματι, , όπου το μέσο του , οπότε . Δηλαδή, τα , και ανήκουν στην ίδια ευθεία.

Τώρα, το τρίγωνο όπως και το πεντάγωνο κατά τη διάρκεια της κίνησής τους παραμένουν όμοια προς τον εαυτό τους και τρεις ευθείες τους, οι , και διέρχονται αντίστοιχα από τα σταθερά σημεία , και .

Θα αποδείξουμε ότι κάθε σημείο τους διαγράφει έναν κύκλο.

Γι' αυτό θεωρούμε και μία δεύτερη θέση του τριγώνου, έστω την . Εφόσον τα τρίγωνα και είναι όμοια, θα συνδέονται με μία ομοιότητα κέντρου έστω . Τότε η γωνία θα ισούται με τη γωνία στροφής της ομοιότητας και επομένως θα ισούται με τη γωνία των ευθειών και καθώς επίσης και με τη γωνία των ευθειών και .

Επομένως , δηλαδή το ανήκει στον κύκλο που διέρχεται
από τα σημεία , , και . Όμοια αποδεικνύεται ότι το ανήκει στον κύκλο που διέρχεται από τα σημεία , , και .

Προκύπτει ότι το κέντρο της (ομόρροπης) ομοιότητας των τριγώνων και είναι το σημείο τομής των περιγεγραμένων κύκλων των τριγώνων και και επομένως δεν εξαρτάται από τη συγκεκριμένη θέση του .

Αυτό σημαίνει ότι δύο οποιεσδήποτε θέσεις του έχουν το ίδιο κέντρο στροφής (που είναι το ).
Στη συνέχεια θα αποδείξουμε ότι, εφόσον το διαγράφει κύκλο και το τρίγωνο κινείται ώστε να παραμένει όμοιο προς εαυτό, κάθε άλλο σημείο του τριγώνου διαγράφει επίσης κύκλο, π.χ. το ορθόκεντρο του τριγώνου . Έστω το αντίστοιχο του στο τρίγωνο . Εφόσον όλες οι θέσεις του τριγώνου είναι όμοιες μεταξύ τους και το σημείο είναι σταθερό, προκύπτει ότι τα τρίγωνα και είναι όμοια, επομένως και . Συμβολίζουμε τη γωνία με και το λόγο με ; είναι φανερό ότι με την ομόρροπη ομοιότητα κέντρου , γωνία στροφής και λόγου το μεταφέρεται στο . Επειδή η είναι μία τυχαία θέση του τριγώνου, αυτό σημαίνει ότι με την παραπάνω ομόρροπη ομοιότητα ο γεωμετρικός τόπος του (δηλαδή, ο κύκλος ) μεταφέρεται στο γεωμετρικό τόπο του σημείου . Επομένως ο γ.τ. του είναι ο κύκλος που προκύπτει από το με την παραπάνω ομοιότητα.

[parmenides51]

η χαρά των γεωμετρικών μετασχηματισμών αποδείχτηκε τελικά η παραπάνω άσκηση

η άσκηση είναι η 930 (τελευταία στην τελευταία σελίδα) από το βιβλίο του Αναστάσιου Ι. Σκιαδά
Γεωμετρία, Επιπεδομετρία, τεύχος Β, 2η έκδοση
έχει 314 σελίδες κι εκδόθηκε το 1974 στην Αθήνα, εκδόσεις δεν αναφέρονται κάπου

[S.E.Louridas]

Ας μου επιτραπεί να επανέλθω, ώστε να αναφερθώ στην σκέψη για την ημέτερη λύση αναφορικά με τον γεωμετρικό τόπο των κορυφών του τετραγώνου .

Τόσο ο γεωμετρικός τόπος της κορυφής του τετραγώνου, όσο και εκείνος της κορυφής του ίδιου τετραγώνου στηρίζονται στον έξης γεωμετρικό τόπο:
«Αν είναι σταθερό σημείο σταθερού κύκλου και το τρίγωνο κινείται ώστε η κορυφή του να διαγράφει τον σταθερό κύκλο και ταυτόχρονα να διατηρεί τις γωνίες του όπως ακριβώς είναι στο σχήμα, ο γεωμετρικός τόπος των κορυφών είναι ο σταθερός κύκλος αφού το τρίγωνο είναι σταθερό ως κατασκευασμένο να έχει την πλευρά του σταθερή και να είναι όμοιο προς τα τρίγωνα (Σχ.1)»

Στη περίπτωση μας λοιπόν και πιο συγκεκριμένα για τους γεωμετρικούς τόπους των κορυφών έχουμε:

Από τα δεδομένα του προβλήματος αντιλαμβανόμαστε ότι το τρίγωνο (Σχ.2) παραμένει όμοιο προς τον εαυτό του, οπότε ένας σταθερός αντιπρόσωπος της κλάσης που δημιουργείται, τοποθετημένος σε άλλη θέση, είναι το τρίγωνο (Σχ.3).
Επίσης το σχήμα (Σχ.2) παραμένει όμοιο προς τον εαυτό του και ένας σταθερός αντιπρόσωπος της κλάσης που δημιουργείται είναι το σχήμα (Σχ.3). Συνεπώς αν θεωρήσουμε το τρίγωνο είναι σταθερό και όμοιο προς το τρίγωνο παίρνουμε και έτσι οδηγούμαστε στο ότι το σημείο κινείται στον σταθερό κύκλο
Όμοια αν θεωρήσουμε με το να είναι σταθερό σημείο το σημείο θα κινείται στον σταθερό κύκλο