Ρίζα δευτεροβάθμιας εξίσωσης

Ιστοσελίδα · #1

Θεωρούμε την εξίσωση ax^2+bx+c=0,

με $a,b,c\in\mathbb{R}$ και $a\neq 0.$

Η εξίσωση έχει διπλή ρίζα και ισχύει η σχέση $b=\dfrac{a+c}{k},$ όπου

θετικός ακέραιος.

Να αποδείξετε ότι:
αν k=1

τότε η ρίζα της εξίσωσης είναι ρητός αριθμός, ενώ
αν $k\geq 2$ τότε η ρίζα της εξίσωσης είναι άρρητος αριθμός.

apotin · #2

stranton έγραψε:Θεωρούμε την εξίσωση με $a,b,c\in\mathbb{R}$ και $a\neq 0.$

Η εξίσωση έχει διπλή ρίζα και ισχύει η σχέση $b=\dfrac{a+c}{k},$ όπου θετικός ακέραιος.

Να αποδείξετε ότι:
αν τότε η ρίζα της εξίσωσης είναι ρητός αριθμός, ενώ
αν $k\geq 2$ τότε η ρίζα της εξίσωσης είναι άρρητος αριθμός.

Έχουμε $\displaystyle{c = bk - a}$

Η $\displaystyle{(1)}$ έχει διακρίνουσα $\displaystyle{\Delta = {b^2} - 4ac = {b^2} - 4a\left( {bk - a} \right) = {b^2} - 4akb + 4{a^2}}$

Για να έχει η $\displaystyle{(1)}$ ρητές ρίζες πρέπει η $\Delta$ να είναι τέλειο τετράγωνο,

δλδ το τριώνυμο $\displaystyle{f\left( b \right) = {b^2} - 4akb + 4{a^2}}$ να έχει διακρίνουσα

$\displaystyle{\Delta _b=0 \Leftrightarrow 16{a^2}{k^2} - 16{a^2} = 0 \Leftrightarrow 16{a^2}\left( {{k^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow k = 1}$ , αφού

θετικός ακέραιος.

Έτσι

αν k=1

τότε η ρίζα της εξίσωσης είναι ρητός αριθμός, ενώ

αν $k\geq 2$ τότε η ρίζα της εξίσωσης είναι άρρητος αριθμός.

Ελλειπής Λύση, σύμφωνα με την παρατήρηση του "stranton" παρακάτω
Με τα παρακάτω νομίζω πως ολοκληρώνεται η λύση

Αφού η $\displaystyle{(1)}$ έχει διπλή ρίζα ισχύει: $\displaystyle{\Delta = 0 \Leftrightarrow {b^2} = 4ac\;\;\left( 2 \right)}$

Για $\displaystyle{k=1}$ έχουμε $\displaystyle{b=a+c}$ οπότε $\displaystyle{{b^2} = {\left( {a + c} \right)^2}\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 2 \right)} 4ac = {\left( {a + c} \right)^2} \Rightarrow {\left( {a - c} \right)^2} = 0 \Rightarrow a = c}$

Τότε $\displaystyle{b=2a}$ και $\displaystyle{\left( 1 \right) \Rightarrow a{x^2} + 2ax + a = 0 \Leftrightarrow a{\left( {x + 1} \right)^2} = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{a \ne 0} x = - 1}$

Άρα για $\displaystyle{k=1}$ η ρίζα της $\displaystyle{(1)}$ είναι ρητός

Αν $k\geq 2$ τότε η $\displaystyle{(1)}$ έχει άρρητη ρίζα αφού $\displaystyle{{\Delta _b} \ne 0}$

Ιστοσελίδα · #3

Αν η $\Delta$ είναι τέλειο τετράγωνο, επειδή οι a,b,c

είναι πραγματικοί,
η ρίζα μπορεί να μην είναι ρητός.

Christos.N · #4

stranton έγραψε:Θεωρούμε την εξίσωση με $a,b,c\in\mathbb{R}$ και $a\neq 0.$

Η εξίσωση έχει διπλή ρίζα και ισχύει η σχέση $b=\dfrac{a+c}{k},$ όπου θετικός ακέραιος.

Να αποδείξετε ότι:

αν $k\geq 2$ τότε η ρίζα της εξίσωσης είναι άρρητος αριθμός.

Αφού η εξίσωση έχει διπλή ρίζα: $\displaystyle{r = - \frac{b}{{2a}}}$

τότε: $\displaystyle{ D = 0 \Rightarrow b^2 = 4ac }$

$\displaystyle{ \left. \begin{array}{l} r = - \frac{b}{{2a}} \Rightarrow b = - 2ar \\ D = 0 \Rightarrow b^2 = 4ac \\ \end{array} \right\} \Rightarrow 4a^2 r^2 = 4ac\mathop \Rightarrow \limits^{a \ne 0} c = ar^2 }$

$\displaystyle{ \left. \begin{array}{r} b = \frac{{a + c}}{k} \Rightarrow bk = a + c \\ c = ar^2 \\ b = - 2ar \\ \end{array} \right\} \Rightarrow - 2akr = a + ar^2 \mathop \Rightarrow \limits^{a \ne 0} - 2kr = 1 + r^2 \Rightarrow \begin{array}{*{20}c} {r^2 + 2kr + 1 = 0} \\ {D_r = 4(k^2 - 1)} \\ \end{array} }$

Το ερώτημα που τίθεται είναι αν υπάρχει ακέραιος

μεγαλύτερος ή ίσος του

, όπου το

είναι τέλειο τετράγωνο.

Μια μερική απάντηση στο πρόβλημα είναι ότι αυτό δεν συμβαίνει πάντα, π.χ. αν k=3

τότε

όπου δεν είναι τέλειο τετράγωνο, άρα η ρίζα

είναι άρρητος.

Υ.Γ.: Αυτήν την στιγμή η μόνη πλήρης απάντηση που μου έρχεται είναι η εξής:

$\displaystyle{ \left. \begin{array}{l} k^2 - 1 = m^2 \Rightarrow k^2 - m^2 = 1 \\ k,m \in Z \\ \end{array} \right\} \Rightarrow (k - m)(k + m) = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} k - m = 1 \\ k + m = 1 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} k - m = - 1 \\ k + m = - 1 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} k = 1 \\ m = 0 \\ \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} k = - 1 \\ m = 0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right. }$

'Όπου σε κάθε περίπτωση καταλήγουμε σε άτοπο.

kostaskyritsis · #5

Αν $\rho$ η διπλή ρίζα είναι $P(x)=ax^2+bx+c=a(x-\rho)^2=ax^2-2a\rho x+a\rho^2$
με $\displaystyle -2a\rho=\frac{a+a\rho^2}{k} (1)$

Αν $k=1, (1)\iff a\rho^2+2a\rho+a=0 \iff \rho=-1$

Αν $k\geq 2, (1)\iff a\rho^2+2ak\rho +a=0 \iff \rho^2+2k\rho+1=0 (2)$

Η εξίσωση (2) έχει διακρίνουσα $\Delta=4(k^2-1)$ που δεν είναι τετράγωνο ακεραίου,
αφού $k^2-1>(k-1)^2 \iff k>1$ .
Έτσι $\rho=-k\pm \sqrt{k^2-1} \in \mathbb{Q'}$

Σημ. Το επιχείρημα ότι δεν υπάρχουν διαδοχικοί ακέραιοι που να είναι και οι δύο τετράγωνα ακεραίων,
βρίσκεται και σαν άσκηση στο βιβλίο κατεύθυνσης Β' παράγραφος 4.3 Β ομάδα άσκηση 3

Ρίζα δευτεροβάθμιας εξίσωσης

Ρίζα δευτεροβάθμιας εξίσωσης

Re: Ρίζα δευτεροβάθμιας εξίσωσης

Re: Ρίζα δευτεροβάθμιας εξίσωσης

Re: Ρίζα δευτεροβάθμιας εξίσωσης

Re: Ρίζα δευτεροβάθμιας εξίσωσης

Μέλη σε σύνδεση