1-1+1-1+1-1+1-......=?

Ιστοσελίδα · #1

Ένα ενδιαφέρον βίντεο για τον υπολογισμό της παράστασης
S=1-1+1-1+1-1+1......

http://www.youtube.com/watch?v=PCu_BNNI5x4

pito · #2

Καλησπέρα.

Θα ήθελα την γνώμη των εκλεκτών συναδέλφων, αν θεωρούν ότι η λύση αυτή είναι σωστή,εφόσον εμπλέκεται και η έννοια του απείρου.

Ακόμη, είναι σωστό ότι $1+2+3+4+...=-\frac{1}{12}$ ;;;; Μου το παρουσιάσε απόψε ένας μαθητής μου το θεώρησα παράδοξο , όπως και το παραπάνω.

Ευχαριστώ.

sokratis lyras · #3

pito έγραψε:Καλησπέρα.

Θα ήθελα την γνώμη των εκλεκτών συναδέλφων, αν θεωρούν ότι η λύση αυτή είναι σωστή,εφόσον εμπλέκεται και η έννοια του απείρου.

Ακόμη, είναι σωστό ότι $1+2+3+4+...=-\frac{1}{12}$ ;;;; Μου το παρουσιάσε απόψε ένας μαθητής μου το θεώρησα παράδοξο , όπως και το παραπάνω.

Ευχαριστώ.

Είναι προφανώς λάθος..

parmenides51 · #4

pito έγραψε:Ακόμη, είναι σωστό ότι $1+2+3+4+...=-\frac{1}{12}$ ;;;; Μου το παρουσιάσε απόψε ένας μαθητής μου το θεώρησα παράδοξο , όπως και το παραπάνω.

εδώ

Tolaso J Kos · #5

pito έγραψε:Καλησπέρα.

Θα ήθελα την γνώμη των εκλεκτών συναδέλφων, αν θεωρούν ότι η λύση αυτή είναι σωστή,εφόσον εμπλέκεται και η έννοια του απείρου.

Ακόμη, είναι σωστό ότι $1+2+3+4+...=-\frac{1}{12}$ ;;;; Μου το παρουσιάσε απόψε ένας μαθητής μου το θεώρησα παράδοξο , όπως και το παραπάνω.

Ευχαριστώ.

Καλησπέρα, όπως έχει γράψει και ο κ. Γιώργος Απόκης σε δημοσίευση του το τελευταίο $\displaystyle{1+2+3+...=-1/12}$ είναι ένα παράδοξο. Μάλιστα , αν θυμάμαι καλά είχε αναφέρει πως υπάρχει κάποιο λάθος στην απόδειξη. Δε μπορώ να βρω όμως τη δημοσίευση.

#6

pito έγραψε:Καλησπέρα.

Θα ήθελα την γνώμη των εκλεκτών συναδέλφων, αν θεωρούν ότι η λύση αυτή είναι σωστή,εφόσον εμπλέκεται και η έννοια του απείρου.

Οχι δεν είναι σωστή. Είναι ΠΟΛΥ λάθος.

Δεν χρησιμοποιεί καθόλου τον ορισμό της σύγκλισης σειράς. Η δοθείσα είναι αποκλίνουσα. Κάνει πράξεις με την αποκλείνουσα
λες και είναι συγκλίνουσα. Πρόκειται για κάκιστα Μαθηματικά. Εντυπωσιάζει μόνο τους αδαείς.

Φιλικά από το αεροδρόμιο εν αναμονή πτήσης.

Μ.

abgd · #7

Mihalis_Lambrou έγραψε:
pito έγραψε:Καλησπέρα.

Θα ήθελα την γνώμη των εκλεκτών συναδέλφων, αν θεωρούν ότι η λύση αυτή είναι σωστή,εφόσον εμπλέκεται και η έννοια του απείρου.

Οχι δεν είναι σωστή. Είναι ΠΟΛΥ λάθος.

Δεν χρησιμοποιεί καθόλου τον ορισμό της σύγκλισης σειράς. Η δοθείσα είναι αποκλίνουσα. Κάνει πράξεις με την αποκλείνουσα
λες και είναι συγκλίνουσα. Πρόκειται για κάκιστα Μαθηματικά. Εντυπωσιάζει μόνο τους αδαείς.

Φιλικά από το αεροδρόμιο εν αναμονή πτήσης.

Μ.

Θα συμφωνήσω με τα "κάκιστα Μαθηματικά".

Στην αρχή αυτού του βίντεο φαίνεται ότι το $1+2+3+...+n+...=-\frac{1}{12}$ το χρησιμοποιεί η "θεωρία των χορδών". Δεν ξέρω με ποιον τρόπο γίνεται αυτό, στα πλαίσια αυτής της θεωρίας, αλλά, φαντάζομαι, μια θεωρία φυσικής μπορεί - έχει δικαίωμα να ξεκινάει υποθέτοντας διαφορετικά αξιώματα για τους αριθμούς και τις πράξεις τους.

pito · #8

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας, όλα αυτά με τα παράδοξα ποτέ μου δεν τα χώνεψα και κρύβουν και λάθη

Νασιούλας Αντώνης · #9

Γενικώς υπάρχουν διάφοροι "τύποι" άθροισης σειρών. Εκτός από τον κλασσικό δυο ακόμα γνωστοί είναι η Cesaro και η Abel άθροιση.

Για παράδειγμα η σειρά που αναλύεται στο πρώτο βίντεο ενώ αποκλίνει είναι Cesaro αθροίσιμη στο $\displaystyle{\frac{1}{2}}$ . Ουσιαστικά αυτό παρουσιάζεται στο βίντεο, η αθροισιμότητα κατά Cesaro.
Το πρόβλημα με αυτά τα "εντυπωσιακά" βίντεο είναι ότι ενώ ξεκινάνε και μιλούνε για κάποιου άλλου είδους άθροιση, συνήθως καταλήγουν με μια φράση του στυλ "άρα το άθροισμα της σειράς είναι α" προκαλώντας σύγχυση -ενώ θα έπρεπε να λένε "άρα το Cesaro άθροισμα της σειράς είναι α".

Φυσικά έχει το δικαίωμα να θεωρεί κάποιος τον δικό του τρόπο άθροισης -χωρίς βέβαια αυτό να σημαίνει ότι θα έχει και χρηστική αξία. Εγώ π.χ. μπορεί να ορίσω ότι μια σειρά θα λέγεται αθροίσιμη κατά Αντώνη αν ο πρώτος όρος της είναι μικρότερος από το 11 και το άθροισμά της θα είναι ίσο με τον ενδέκατο όρο. Θέμα ορισμού είναι, αλλά δεν θα με πληρώσει κανείς γι αυτό!

Για την ιστορία η σειρά 1-2+3-4+5-...

είναι Abel αθροίσιμη, αλλά όχι Cesaro -και φυσικά αποκλίνει. Το άθροισμά της είναι $\displaystyle{\frac{1}{4}}$ ...

#10

pito έγραψε:Καλησπέρα.

Θα ήθελα την γνώμη των εκλεκτών συναδέλφων, αν θεωρούν ότι η λύση αυτή είναι σωστή,εφόσον εμπλέκεται και η έννοια του απείρου.

Ακόμη, είναι σωστό ότι $1+2+3+4+...=-\frac{1}{12}$ ;;;; Μου το παρουσιάσε απόψε ένας μαθητής μου το θεώρησα παράδοξο , όπως και το παραπάνω.

Ευχαριστώ.

Δεν νομίζω ότι τίθεται θέμα παράδοξου εδώ. Όπως είπε κι ο Αντώνης είναι θέμα τρόπου άθροισης. http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2 ... _%E2%8B%AF

Νίκος Αϊνστάιν · #11

pito έγραψε:Καλησπέρα.

Θα ήθελα την γνώμη των εκλεκτών συναδέλφων, αν θεωρούν ότι η λύση αυτή είναι σωστή,εφόσον εμπλέκεται και η έννοια του απείρου.

Ακόμη, είναι σωστό ότι $1+2+3+4+...=-\frac{1}{12}$ ;;;; Μου το παρουσιάσε απόψε ένας μαθητής μου το θεώρησα παράδοξο , όπως και το παραπάνω.

Ευχαριστώ.

Νομίζω ότι μπορούμε να αποδείξουμε ότι είναι λάθος αν χρησιμοποιήσουμε τον τύπο $1 + 2 + 3 + 4 + .. + n = \dfrac {n(n + 1)}{2}$ , που αποδεικνύεται επαγωγικά. Μήπως εγώ κατάλαβα τον ισχυρισμό λάθος;

Νίκος Αϊνστάιν · #12

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:Ένα ενδιαφέρον βίντεο για τον υπολογισμό της παράστασης

http://www.youtube.com/watch?v=PCu_BNNI5x4

Βρήκα και για αυτόν τον ισχυρισμό μια λύση.
Αν οι όροι του

είναι άρτιοι, τότε προφανώς θα τελειώνει σε

. Άρα, δημιουργούνται

ζευγάρια

. Άρα,

Αν όμως οι όροι είναι περιττός αριθμός, τότε θα υπάρχουν τα

ζευγάρια

και ένας ακόμη άσος. Άρα S (2n + 1) = 1

.
Υπάρχει λάθος σε αυτήν την λύση;

#13

Νίκος Αϊνστάιν έγραψε: Βρήκα και για αυτόν τον ισχυρισμό μια λύση.
Αν οι όροι του είναι άρτιοι, τότε προφανώς θα τελειώνει σε . Άρα, δημιουργούνται ζευγάρια . Άρα,
Αν όμως οι όροι είναι περιττός αριθμός, τότε θα υπάρχουν τα ζευγάρια και ένας ακόμη άσος. Άρα .
Υπάρχει λάθος σε αυτήν την λύση;

Αυτά που γράφεις είναι το προφανές μέρος. Τα προβλήματα αρχίζουν από εκεί και πέρα. Η παραπάνω απόδειξη όπως και η δική σου κάνουν πήδημα στην σκέψη για να "καταλήξουν" ότι το άθροισμα είναι 1/2

. Για παράδειγμα πουθενά δεν χρησιμοποιήθηκε ο ορισμός του απειροαθροίσματος (δες το παραπάνω μποστ μου), που υπάρχει σε όλα τα βιβλία Ανάλυσης.

Νίκος Αϊνστάιν · #14

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Νίκος Αϊνστάιν έγραψε: Βρήκα και για αυτόν τον ισχυρισμό μια λύση.
Αν οι όροι του είναι άρτιοι, τότε προφανώς θα τελειώνει σε . Άρα, δημιουργούνται ζευγάρια . Άρα,
Αν όμως οι όροι είναι περιττός αριθμός, τότε θα υπάρχουν τα ζευγάρια και ένας ακόμη άσος. Άρα .
Υπάρχει λάθος σε αυτήν την λύση;
Αυτά που γράφεις είναι το προφανές μέρος. Τα προβλήματα αρχίζουν από εκεί και πέρα. Η παραπάνω απόδειξη όπως και η δική σου κάνουν πήδημα στην σκέψη για να "καταλήξουν" ότι το άθροισμα είναι . Για παράδειγμα πουθενά δεν χρησιμοποιήθηκε ο ορισμός του απειροαθροίσματος (δες το παραπάνω μποστ μου), που υπάρχει σε όλα τα βιβλία Ανάλυσης.

Έχω μια απορία.
Πχ. 1 - 1 = 0

(2 όροι)

(3 όροι)

(4 όροι)
Παρατηρώ ότι αυτές οι περιπτώσεις υποκύπτουν στον κανόνα που είχα παραθέσει. Με την ίδια λογική μπορούμε να καταλάβουμε ότι ισχύουν και για

όρους.
Μήπως η ανάλυση κάνει την διαφορά και το αποτέλεσμα βγαίνει $\dfrac {1}{2}$ ; Εγώ πάντως δεν μπορώ να καταλάβω τον συλλογισμό (προφανώς επειδή δεν γνωρίζω ανάλυση).

Με εκτίμηση,
Νίκος

kostas_zervos · #15

Νίκος Αϊνστάιν έγραψε:
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Νίκος Αϊνστάιν έγραψε: Βρήκα και για αυτόν τον ισχυρισμό μια λύση.
Αν οι όροι του είναι άρτιοι, τότε προφανώς θα τελειώνει σε . Άρα, δημιουργούνται ζευγάρια . Άρα,
Αν όμως οι όροι είναι περιττός αριθμός, τότε θα υπάρχουν τα ζευγάρια και ένας ακόμη άσος. Άρα .
Υπάρχει λάθος σε αυτήν την λύση;
Αυτά που γράφεις είναι το προφανές μέρος. Τα προβλήματα αρχίζουν από εκεί και πέρα. Η παραπάνω απόδειξη όπως και η δική σου κάνουν πήδημα στην σκέψη για να "καταλήξουν" ότι το άθροισμα είναι . Για παράδειγμα πουθενά δεν χρησιμοποιήθηκε ο ορισμός του απειροαθροίσματος (δες το παραπάνω μποστ μου), που υπάρχει σε όλα τα βιβλία Ανάλυσης.
Έχω μια απορία.
Πχ. (2 όροι)
(3 όροι)
(4 όροι)
Παρατηρώ ότι αυτές οι περιπτώσεις υποκύπτουν στον κανόνα που είχα παραθέσει. Με την ίδια λογική μπορούμε να καταλάβουμε ότι ισχύουν και για όρους.
Μήπως η ανάλυση κάνει την διαφορά και το αποτέλεσμα βγαίνει $\dfrac {1}{2}$ ; Εγώ πάντως δεν μπορώ να καταλάβω τον συλλογισμό (προφανώς επειδή δεν γνωρίζω ανάλυση).

Με εκτίμηση,
Νίκος

Νίκο το αποτέλεσμα δεν είναι $\dfrac{1}{2}$ , είναι λάθος αυτό που δείχνει το video. Χρησιμοποιεί υποτιθέμενα "Μαθηματικά" για να μπερδέψει.

Το άθροισμα $S=1-1+1-1+\cdots$ παίρνει πότε την τιμή

και πότε την τιμή

για πεπερασμένο πλήθος από $\pm 1$ .

Δεν υπάρχει όμως σαν άθροισμα άπειρων όρων.

Everville · #16

kostas_zervos έγραψε:
Νίκος Αϊνστάιν έγραψε:
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Νίκος Αϊνστάιν έγραψε:
Νίκο το αποτέλεσμα δεν είναι $\dfrac{1}{2}$ , είναι λάθος αυτό που δείχνει το video. Χρησιμοποιεί υποτιθέμενα "Μαθηματικά" για να μπερδέψει.

Το άθροισμα $S=1-1+1-1+\cdots$ παίρνει πότε την τιμή και πότε την τιμή για πεπερασμένο πλήθος από $\pm 1$ .

Δεν υπάρχει όμως σαν άθροισμα άπειρων όρων.

Δεν είδα το βίντεο και δεν ξέρω πως το αποδεικνύει, πάντως το παραπάνω άπειρο άθροισμα είναι όντως 1/2. Είναι γνωστό άθροισμα και η απόδειξή του γενικά υπάρχει σε διάφορα βιβλία ανάλυσης σχετικά με σύγκλιση σειρών / εναλλάσσουσες σειρές. (Ακόμα και τα βιβλία του ΕΑΠ το αναφέρουν!). Δεν πρέπει να φαίνεται περίεργο γιατι έχουμε να κάνουμε με άπειρα αθροίσματα.

#17

Everville έγραψε:
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Νίκος Αϊνστάιν έγραψε:
Νίκο το αποτέλεσμα δεν είναι $\dfrac{1}{2}$ , είναι λάθος αυτό που δείχνει το video. Χρησιμοποιεί υποτιθέμενα "Μαθηματικά" για να μπερδέψει.

Το άθροισμα $S=1-1+1-1+\cdots$ παίρνει πότε την τιμή και πότε την τιμή για πεπερασμένο πλήθος από $\pm 1$ .

Δεν υπάρχει όμως σαν άθροισμα άπειρων όρων.

[/quote]

Δεν είδα το βίντεο και δεν ξέρω πως το αποδεικνύει, πάντως το παραπάνω άπειρο άθροισμα είναι όντως 1/2. Είναι γνωστό άθροισμα και η απόδειξή του γενικά υπάρχει σε διάφορα βιβλία ανάλυσης σχετικά με σύγκλιση σειρών / εναλλάσσουσες σειρές. (Ακόμα και τα βιβλία του ΕΑΠ το αναφέρουν!). Δεν πρέπει να φαίνεται περίεργο γιατι έχουμε να κάνουμε με άπειρα αθροίσματα.[/quote]

Επειδή μας διαβάζουν και μαθητές:
Δε συμφωνώ! Όπως είπε και ο Μιχάλης παραπάνω, το άπειρο άθροισμα είναι προφανώς αποκλίνον. Είναι τετριμμένο, και αυτό μπορεί να το βρει κανείς σε όλα τα σχετικά βιβλία.
Μάλλον το μέλος Everville το συγχέει με κάτι άλλο που έχει δει. (ίσως το άθροισμα κατά Cesàro)

abgd · #18

Everville έγραψε:Δεν είδα το βίντεο και δεν ξέρω πως το αποδεικνύει, πάντως το παραπάνω άπειρο άθροισμα είναι όντως 1/2. Είναι γνωστό άθροισμα και η απόδειξή του γενικά υπάρχει σε διάφορα βιβλία ανάλυσης σχετικά με σύγκλιση σειρών / εναλλάσσουσες σειρές. (Ακόμα και τα βιβλία του ΕΑΠ το αναφέρουν!). Δεν πρέπει να φαίνεται περίεργο γιατι έχουμε να κάνουμε με άπειρα αθροίσματα.

Ο Λέοναρντ Όιλερ (Leonard Euler)(1707 - 1783) ήταν Ελβετός μαθηματικός. ......

Είναι χαρακτηριστικός ο λόγος που είπε στο Γάλλο άθεο φιλόσοφο Ντενί Ντιντερό, όταν η Τσαρίνα της Ρωσίας Μεγάλη Αικατερίνη είχε καλέσει τον Όιλερ στην Αυλή της, σε μία προσπάθεια να σταματήσει την αθυροστομία του Ντιντερό. Ο Ελβετός είπε στο Γάλλο:
«Κύριε, ( α + β ) / ν = χ, άρα ο Θεός υπάρχει. Απαντήστε!».
Έτσι, ο Ντιντερό αποχώρησε ηττημένος....

kostas_zervos · #19

Everville έγραψε:
kostas_zervos έγραψε:
Νίκος Αϊνστάιν έγραψε:
Mihalis_Lambrou έγραψε:
Νίκος Αϊνστάιν έγραψε:
Νίκο το αποτέλεσμα δεν είναι $\dfrac{1}{2}$ , είναι λάθος αυτό που δείχνει το video. Χρησιμοποιεί υποτιθέμενα "Μαθηματικά" για να μπερδέψει.

Το άθροισμα $S=1-1+1-1+\cdots$ παίρνει πότε την τιμή και πότε την τιμή για πεπερασμένο πλήθος από $\pm 1$ .

Δεν υπάρχει όμως σαν άθροισμα άπειρων όρων.

Δεν είδα το βίντεο και δεν ξέρω πως το αποδεικνύει, πάντως το παραπάνω άπειρο άθροισμα είναι όντως 1/2. Είναι γνωστό άθροισμα και η απόδειξή του γενικά υπάρχει σε διάφορα βιβλία ανάλυσης σχετικά με σύγκλιση σειρών / εναλλάσσουσες σειρές. (Ακόμα και τα βιβλία του ΕΑΠ το αναφέρουν!). Δεν πρέπει να φαίνεται περίεργο γιατι έχουμε να κάνουμε με άπειρα αθροίσματα.

Θα ήθελα να δω τα βιβλία που αναφέρουν ότι το άθροισμα αυτό είναι $\dfrac{1}{2}$ .

Σε όλα τα βιβλία που έχω (και είναι αρκετά...) το παραπάνω άθροισμα είναι συνήθως από τα πρώτα παραδείγματα σειρών που αποκλίνουν. Άρα δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την άλγεβρα που χρησιμοποιούμε για τους αριθμούς.

Το ότι είναι από τα πρώτα παραδείγματα σειράς που αποκλίνει δείχνει και ότι είναι εύκολο να καταλάβει κανείς ότι δεν μπορεί μια σειρά που τα μερικά αθροίσματά της είναι εναλλάξ

και

να συγκλίνει.

Το τέχνασμα που έχω δει να γίνεται είναι το εξής:

$S=1-1+1-1+1-1+\cdots=1-(1-1+1-1+1-1+\cdots)=$

$=1-S\iff S=1-S\iff S=\dfrac{1}{2}$ .

Φυσικά αυτό είναι λάθος γιατί χειρίζεται το

σαν αριθμό , ο οποίος όμως δεν υπάρχει , αφού η σειρά δεν συγκλίνει.

Είναι σαν να λέμε : Ανύπαρκτο=1-Ανύπαρκτο.

Η για παράδειγμα $f(x)=\sqrt{x}$ και να έχουμε την εξίσωση f(-1)=1-f(-1)

.

#20

Νομίζω ότι η ουσία είναι η εξής:

Η πρόταση:

Αν η σειρά συγκλίνει σε κάποιον πραγματικό

, τότε

,

είναι μια αληθής συνεπαγωγή γιατί έχει ψευδή υπόθεση.

Το ότι η συνεπαγωγή, όμως, είναι αληθής, δε σημαίνει ότι και η υπόθεση είναι αληθής και αυτό δημιοιυργεί το πρόβλημα.

1-1+1-1+1-1+1-......=?

1-1+1-1+1-1+1-......=?

Re: 1-1+1-1+1-1+1-......=?

Re: 1-1+1-1+1-1+1-......=?

Re: 1-1+1-1+1-1+1-......=?

Re: 1-1+1-1+1-1+1-......=?

Re: 1-1+1-1+1-1+1-......=?

Re: 1-1+1-1+1-1+1-......=?

Re: 1-1+1-1+1-1+1-......=?

Re: 1-1+1-1+1-1+1-......=?

Re: 1-1+1-1+1-1+1-......=?

Re: 1-1+1-1+1-1+1-......=?

Re: 1-1+1-1+1-1+1-......=?

Re: 1-1+1-1+1-1+1-......=?

Re: 1-1+1-1+1-1+1-......=?

Re: 1-1+1-1+1-1+1-......=?

Re: 1-1+1-1+1-1+1-......=?

Re: 1-1+1-1+1-1+1-......=?

Re: 1-1+1-1+1-1+1-......=?

Re: 1-1+1-1+1-1+1-......=?

Re: 1-1+1-1+1-1+1-......=?

Μέλη σε σύνδεση