Απόσταση κέντρων μεταβλητών τετραγώνων

Ανδρέας Πούλος · #1

Δίνονται δύο κάθετες ευθείες

,

που τέμνονται στο σημείο

.
Στην

υπάρχουν τα σταθερά σημεία

,

που ανήκουν στην ίδια ημιευθεία

και στην x το μεταβλητό σημείο

.
Κατασκευάζουμε τα τετράγωνα ACDE

και

,
έτσι ώστε τα κέντρα τους

,

να βρίσκονται στη ίδιο τεταρτημόριο της γωνίας yOx

, όπως στο συνημμένο σχήμα.
Θέτουμε ένα ερώτημα και ζητάμε να το προσεγγίσουμε με όσους περισσότερους τρόπους μπορούμε.
ΕΡΩΤΗΜΑ: Καθώς το σημείο

κινείται στην ευθεία

, η απόσταση

μεταβάλλεται; Αν ναι, ποια είναι η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της;

Ανδρέας Πούλος

#2

Ανδρέας Πούλος έγραψε:Δίνονται δύο κάθετες ευθείες , που τέμνονται στο σημείο .
Στην υπάρχουν τα σταθερά σημεία , που ανήκουν στην ίδια ημιευθεία και στην x το μεταβλητό σημείο .
Κατασκευάζουμε τα τετράγωνα και ,
έτσι ώστε τα κέντρα τους , να βρίσκονται στη ίδιο τεταρτημόριο της γωνίας , όπως στο συνημμένο σχήμα.
Θέτουμε ένα ερώτημα και ζητάμε να το προσεγγίσουμε με όσους περισσότερους τρόπους μπορούμε.
ΕΡΩΤΗΜΑ: Καθώς το σημείο κινείται στην ευθεία , η απόσταση μεταβάλλεται; Αν ναι, ποια είναι η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της;

Ανδρέας Πούλος

Καλησπέρα (Μάλλον Καλημέρα)

: Απόσταση κεντρων.png (15.17 KiB) Προβλήθηκε 555 φορές

Έστω

οι πλευρές αντίστοιχα των τετραγώνων ACDE, BCZH

.

Είναι $\displaystyle{\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{a}{b} = \frac{{GC}}{{CI}}}$ και $\displaystyle{A\widehat CB = G\widehat CI = {45^0} - x}$ .

Τα τρίγωνα λοιπόν ABC, GIC

είναι όμοια. Άρα $\displaystyle{\frac{{GI}}{{AB}} = \frac{{GC}}{{AC}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{a} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}}$

Καθόσον λοιπόν το σημείο

κινείται στην ημιευθεία

οι πλευρές των τετραγώνων μεταβάλλονται, αλλά εφόσον το τμήμα

έχει σταθερό μήκος, τότε και το τμήμα

θα έχει σταθερό μήκος.

Έκανα διόρθωση στην προηγούμενη λύση, λόγω μεταμεσονύκτιας αβλεψίας.
Ευχαριστώ τον Κώστα Βήττα για την επισήμανση.

Ανδρέας Πούλος · #3

Αγαπητέ Γιώργο,
το είχα διαπιστώσει με το πρόγραμμα Geogebra, (η άσκηση είναι δική μου κατασκευής), αλλά ήθελα να κρύψω την αλήθεια.
Βέβαια, στο δεξί μέρος του σχήματος φαίνεται ο αριθμός 0,71 που είναι η σταθερή απόσταση των κέντρων των τετραγώνων,
όταν AB = 1

, αλλά θεώρησα ότι αυτό δεν θα το προσέξει κάποιος.
Έχουμε λοιπόν, μία λύση με τη χρήση ομοίων τριγώνων. Περιμένουμε και άλλες προσεγγίσεις.
Μάλιστα, προσθέτω και ένα επιπλέον ερώτημα.
Αν είναι γνωστή η απόσταση να βρεθεί η απόσταση , αφού τώρα γνωρίζουμε ότι είναι σταθερή.
Βέβαια, το ερώτημα αυτό είναι απλό, αλλά για να είναι πιο ολοκληρωμένη η άσκηση, καλό είναι να το θέσουμε.

Ανδρέας Πούλος

#4

Ανδρέας Πούλος έγραψε:Αγαπητέ Γιώργο,
το είχα διαπιστώσει με το πρόγραμμα Geogebra, (η άσκηση είναι δική μου κατασκευής), αλλά ήθελα να κρύψω την αλήθεια.
Βέβαια, στο δεξί μέρος του σχήματος φαίνεται ο αριθμός 0,71 που είναι η σταθερή απόσταση των κέντρων των τετραγώνων,
όταν , αλλά θεώρησα ότι αυτό δεν θα το προσέξει κάποιος.
Έχουμε λοιπόν, μία λύση με τη χρήση ομοίων τριγώνων. Περιμένουμε και άλλες προσεγγίσεις.
Μάλιστα, προσθέτω και ένα επιπλέον ερώτημα.
Αν είναι γνωστή η απόσταση να βρεθεί η απόσταση , αφού τώρα γνωρίζουμε ότι είναι σταθερή.
Βέβαια, το ερώτημα αυτό είναι απλό, αλλά για να είναι πιο ολοκληρωμένη η άσκηση, καλό είναι να το θέσουμε.

Ανδρέας Πούλος

Καλημέρα Αντρέα.

Η διόρθωση που έκανα στην προηγούμενη λύση απαντά και στο νέο το ερώτημα:

$\boxed{GI = AB\frac{{\sqrt 2 }}{2}}$

#5

Ανδρέας Πούλος έγραψε:Δίνονται δύο κάθετες ευθείες , που τέμνονται στο σημείο .
Στην υπάρχουν τα σταθερά σημεία , που ανήκουν στην ίδια ημιευθεία και στην x το μεταβλητό σημείο .
Κατασκευάζουμε τα τετράγωνα και ,
έτσι ώστε τα κέντρα τους , να βρίσκονται στη ίδιο τεταρτημόριο της γωνίας , όπως στο συνημμένο σχήμα.
Θέτουμε ένα ερώτημα και ζητάμε να το προσεγγίσουμε με όσους περισσότερους τρόπους μπορούμε.
ΕΡΩΤΗΜΑ: Καθώς το σημείο κινείται στην ευθεία , η απόσταση μεταβάλλεται; Αν ναι, ποια είναι η μέγιστη και η ελάχιστη τιμή της;

Ανδρέας Πούλος

Αντρέα καλημέρα.

Ο Γιώργος απάντησε στην άσκησή σου. Επειδή όμως η νέα τεχνολογία που κι εσύ δουλεύεις μας υπόσχεται πολλά

επίτρεψέ με να παραθέσω ένα σχήμα(στατικό και συνάμα κι ένα δυναμικό) που απαντά από μόνο του (σχεδόν...) στο ερώτημά σου.

: Στροφή και ομοιοθεσία 1.png (35.18 KiB) Προβλήθηκε 492 φορές

Στροφή και ομοιοθεσία 1.ggb: (7.84 KiB) Μεταφορτώθηκε 40 φορές

Ειδικότερα στο προκείμενο έχουμε μια στροφή με κέντρο το σημείο $\displaystyle{C}$ και γωνία στροφής $\displaystyle{45^ο}$ καθώς και μια

ομοιοθεσία με κέντρο πάλι το σημείο $\displaystyle{C}$ και λόγο:

$\displaystyle{q=\frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Άρα όπως απάντησε κι ο Γιώργος τελικά είναι:

$\displaystyle GI=(AB)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

Σχόλιο:

Καθώς το σημείο $\displaystyle{C}$ κινείται επί του οριζόντιου άξονα και το τμήμα $\displaystyle{AB}$ παραμένει σταθερό η μεταβολή της γωνίας

$\displaystyle{a}$ εμφανίζει μια μέγιστη τιμή σύμφωνα με το γνωστό πρόβλημα του Regiomontanus.

Κώστας Δόρτσιος

Απόσταση κέντρων μεταβλητών τετραγώνων

Απόσταση κέντρων μεταβλητών τετραγώνων

Re: Απόσταση κέντρων μεταβλητών τετραγώνων

Re: Απόσταση κέντρων μεταβλητών τετραγώνων

Re: Απόσταση κέντρων μεταβλητών τετραγώνων

Re: Απόσταση κέντρων μεταβλητών τετραγώνων

Μέλη σε σύνδεση