Ημίτονο πίνακα

#1

Για ένα τετραγωνικό πίνακα

ορίζουμε

$\displaystyle{ \sin(A) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}A^{2n+1}.}$

Να εξεταστεί αν υπάρχει πραγματικός $2\times 2$ πίνακας

ώστε $\displaystyle{ \sin(A) = \begin{pmatrix} 1 & 2014 \\ 0 & 1\end{pmatrix}.}$

#2

Demetres έγραψε:Για ένα τετραγωνικό πίνακα ορίζουμε

$\displaystyle{ \sin(A) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}A^{2n+1}.}$

Να εξεταστεί αν υπάρχει πραγματικός $2\times 2$ πίνακας ώστε $\displaystyle{ \sin(A) = \begin{pmatrix} 1 & 2014 \\ 0 & 1\end{pmatrix}.}$

Ενδιαφέρον.

Απάντηση: Δεν υπάρχει τέτοιος

.

Ορίζουμε $\displaystyle{ \cos(A) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}A^{2n}}$ (δεν έχουμε πρόβλημα με την σύγκλιση, όπως άλλωστε με την σύγκλιση στην εκφώνηση, γιατί οι $2\times 2$ πραγματικοί πίνακες είναι πλήρης χώρος ως προς την συνηθισμένη νόρμα).

Αποδεικνύεται ότι ισχύει $\displaystyle{\left ( \sin (A)\right )^2 + \left (\cos (A)\right )^2 = I}$ . Για παράδειγμα μία απόδειξη είναι ως εξής: Για μιγαδικούς $2 \times 2$ πίνακες

θέτουμε

$\displaystyle{ e^B = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}B^{n}}$

Kάπου έχουμε αποδείξει στο φόρουμ το γνωστό $\displaystyle{e^Be^{-B} = I}$ (προκύπτει από το γενικότερο $\displaystyle{e^Be^C=e^{B+C}}$ για πίνακες $B,\,C$ που αντιμετατίθενται).

Άρα ισχύει $\displaystyle{\left ( \sin (A)\right )^2 + \left (\cos (A)\right )^2= \left ( \cos(A) +i\sin (A)\right )\left ( \cos(A) -i\sin (A)\right )= e^{iA}e^{-iA} = I]$ .

Αν υπήρχε πίνακας

με $\displaystyle{ \sin(A) = \begin{pmatrix} 1 & 2014 \\ 0 & 1\end{pmatrix}}$ τότε θα είχαμε

$\displaystyle{\left ( \cos (A) \right ) ^2 = I - \left ( \sin (A) \right)^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 1 & 2014 \\ 0 & 1\end{pmatrix} ^2 = \begin{pmatrix} 0 & -4028 \\ 0 & 0\end{pmatrix}}$ .

Αυτό είναι άτοπο. Ένας τρόπος να το δούμε είναι να γράψουμε $\displaystyle{\cos (A) = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}}$ , οπότε η προηγούμενη δίνει

$\displaystyle{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0 & -4028 \\ 0 & 0\end{pmatrix}}$ από όπου

$\displaystyle{a^2+bd=0, \, (a+d)b=-4024, \, (a+d)c=0, \, bc+d^2=0}$ .

Η δεύτερη δίνει $a+d\ne 0$ άρα από την τρίτη c=0

. Από την τέταρτη είναι d=0

και από την πρώτη είναι a=0

που αντιβαίνει στο $a+d\ne 0$ .

Από το άτοπο έπεται το ζητούμενο.

Μου τριβελίζουν στο μυαλό πιο ευθείες αποδείξεις, έτσι νομίζω τουλάχιστον, αλλά δεν κατάφερα να τις εξετάσω με προσοχή. Θα χαρώ να δω κάτι πιό άμεσο.

Φιλικά,

Μιχάλης

#3

Σε αντιδιαστολή με το παραπάνω, να βρεθεί πραγματικός $2\times 2$ πίνακας

ώστε $\displaystyle{ \sin(A) = \begin{pmatrix} 0,99 & 2014 \\ 0 & 0,99\end{pmatrix}}$ .

#4

Ήταν η άσκηση Β4 από τον διαγωνισμό Putnam του 1996.

Η λύση του Μιχάλη ήταν μία από τις προτεινόμενες λύσεις. Η άλλη λύση προχωράει ως εξής:

Τα ιδιοδιανύσματα του

πρέπει να είναι και ιδιοδιανύσματα του $\sin(A)$ . Επειδή ο $\sin(A)$ δεν είναι διαγωνοποιήσιμος τότε ούτε και ο

είναι.

Μπορούμε να βρούμε λοιπόν (μιγαδικό) πίνακα

ώστε $\displaystyle{P^{-1}AP = \begin{pmatrix} x & y \\ 0 & x\end{pmatrix}.}$

Όμως μετά από πράξεις είναι $\displaystyle{ \sin\begin{pmatrix} x & y \\ 0 & x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sin{x} & y \cos{x}\\ 0 & \sin{x}\end{pmatrix}}$ και άρα

$\displaystyle{ P^{-1}\sin(A)P = \begin{pmatrix} \sin{x} & y \cos{x}\\ 0 & \sin{x}\end{pmatrix}.}$

Για να έχει όμως ο πίνακας ιδιοτιμές ίσες με 1 πρέπει $\sin(x) = 1$ που δίνει $\cos{x} = 0$ και άρα $P^{-1}\sin(A)P = Ι$ τότε όμως $\sin(A) = I$ , άτοπο.

------------------
Για το επιπλέον ερώτημα του Μιχάλη αν δοκιμάσω $\displaystyle{ \sin\begin{pmatrix} x & y \\ 0 & x\end{pmatrix} }$ θέλω $\sin{x} = 0.99$ και $y\cos{x} = 2014$ το οποίο μπορεί να επιτευχθεί αν πάρω $x = \arcsin(0.99)$ και $\displaystyle{y = \frac{2014}{\sqrt{1 - 0.99^2}}.}$

Ημίτονο πίνακα

Ημίτονο πίνακα

Re: Ημίτονο πίνακα

Re: Ημίτονο πίνακα

Re: Ημίτονο πίνακα

Μέλη σε σύνδεση