"Φανταστικό" φαινόμενο

KARKAR · #1

Λύστε ( στο $\mathbb{C}$ ) την εξίσωση x^4+x^2+1 = 0

. Αφού τη λύσετε ( ή όχι ) ,

αναθέστε και στο Wolframalpha

να τη λύσει . Εξηγήστε το "φαινόμενο" .

#2

Κάτι τέτοια τα κάνει το wolframalpha. Γενικά γράφει (κακώς) $(-1)^{1/n}$ στην θέση του $e^{2\pi i/n}$ .

Γιώργος Απόκης · #3

Πράγματι, όπως ανέφερε ο Δημήτρης, το wolfram βγάζει τις λύσεις που φαίνονται στην εικόνα.

Ας λύσουμε την εξίσωση με γνώσεις Λυκείου.

Θέτουμε $\displaystyle{x^2=w}$ και έχουμε την εξίσωση $\displaystyle{w^2+w+1=0}$ που έχει $\displaystyle{\Delta=-3<0}$

και λύσεις $\displaystyle{w=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i\Leftrightarrow x^2=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i}$ . Αν $\displaystyle{x=a+bi,~a,b\in \mathbb R}$ έχουμε

$\displaystyle{\bullet~ (a+bi)^2=-\frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{2}i\Leftrightarrow a^2-b^2+2abi=-\frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{2}i\Leftrightarrow \begin{cases} a^2-b^2=-\frac{1}{2}\\2ab=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{(a=-\frac{1}{2},b=-\frac{\sqrt{3}}{2})~\acute{\eta}~(a=\frac{1}{2},b=\frac{\sqrt{3}}{2})}$

$\displaystyle{\bullet~ (a+bi)^2=-\frac{1}{2}- \frac{\sqrt{3}}{2}i\Leftrightarrow a^2-b^2+2abi=-\frac{1}{2}- \frac{\sqrt{3}}{2}i\Leftrightarrow \begin{cases} a^2-b^2=-\frac{1}{2}\\2ab=-\frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{(a=-\frac{1}{2},b=\frac{\sqrt{3}}{2})~\acute{\eta}~(a=\frac{1}{2},b=-\frac{\sqrt{3}}{2})}$ .

Τελικά $\displaystyle{x\in\left\{-\frac{1}{2}- \frac{\sqrt{3}}{2}i,\frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{2}i,-\frac{1}{2}+ \frac{\sqrt{3}}{2}i,\frac{1}{2}- \frac{\sqrt{3}}{2}i\right\}}$

#4

KARKAR έγραψε:Λύστε ( στο $\mathbb{C}$ ) την εξίσωση . Αφού τη λύσετε ( ή όχι ) ,

αναθέστε και στο να τη λύσει . Εξηγήστε το "φαινόμενο" .

${x^4} + {x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^2} + 1 - {x^2} = 0 \Leftrightarrow {({x^2} + 1)^2} - {x^2} = 0$ και άρα

$\left\{ \begin{gathered} {x^2} + x + 1 = 0 \hfill \\ {x^2} - x + 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{ - 1 \pm i\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ x = \frac{{1 \pm i\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Φιλικά Νίκος

Γιώργος Απόκης · #5

Doloros έγραψε:
KARKAR έγραψε:Λύστε ( στο $\mathbb{C}$ ) την εξίσωση . Αφού τη λύσετε ( ή όχι ) ,

αναθέστε και στο να τη λύσει . Εξηγήστε το "φαινόμενο" .
${x^4} + {x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^2} + 1 - {x^2} = 0 \Leftrightarrow {({x^2} + 1)^2} - {x^2} = 0$ και άρα

$\left\{ \begin{gathered} {x^2} + x + 1 = 0 \hfill \\ {x^2} - x + 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{ - 1 \pm i\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ x = \frac{{1 \pm i\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ .

Φιλικά Νίκος

nikolaos p. · #6

Πολύ ωραία και σύντομη λύση!!

KARKAR · #7

Η άσκηση προέκυψε , ως αποτέλεσμα ερώτησης μαθητή της Β' Λυκείου , αν ένα πολυώνυμο 4ου βαθμού με θετικούς

συντελεστές και μόνο τους αρτίου βαθμού όρους μη μηδενικούς , είναι ποτέ δυνατόν να παραγοντοποιηθεί .

Η αρχική προσέγγιση των μαθητών είναι αρνητική . Ο λόγος είναι ότι στο αντίστοιχο

ερώτημα για το τριώνυμο 2ου βαθμού , το οποίο αν δεν έχει πραγματικές ρίζες , η απάντηση

είναι ότι όχι δεν παραγοντοποιείται ,π.χ το x^2+1

. Αφού λοιπόν και το αναφερόμενο 4ου βαθμού πολυώνυμο

προφανώς δεν έχει ρίζες , ούτε αυτό παραγοντοποιείται . Αλλά αυτή η αντίληψη είναι λανθασμένη , αφού

μπορεί να παραγοντοποιηθεί σαν γινόμενο δευτεροβάθμιων παραγόντων ( οι οποίοι ασφαλώς δεν θα έχουν

πραγματικές ρίζες ).

Ένα άμεσο παράδειγμα είναι το x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1)

, επί του οποίου "χτίστηκε" το θέμα .

Εξακολουθώ πάντως , να μην "αντιλαμβάνομαι" τις λύσεις του λογισμικού , αντίθετα με εκείνες των Γιώργου και Νίκου !

"Φανταστικό" φαινόμενο

"Φανταστικό" φαινόμενο

Re: "Φανταστικό" φαινόμενο

Re: "Φανταστικό" φαινόμενο

Re: "Φανταστικό" φαινόμενο

Re: "Φανταστικό" φαινόμενο

Re: "Φανταστικό" φαινόμενο

Re: "Φανταστικό" φαινόμενο

Μέλη σε σύνδεση