Ανάλυση - Μιγαδικοί

Tolaso J Kos · #1

Καλησπέρα

, με μία άσκηση που έφτιαξα. Ελπίζω να αρέσει.

Εκφώνηση
Έστω $\displaystyle{g:[0, +\infty)\longrightarrow \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{f\left([0, +\infty \right))=[1, +\infty)}$ δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{[0 , +\infty)}$ με $\displaystyle{g'(0)=0}$ και δεύτερη συνεχή παράγωγο. Επίσης η $\displaystyle{g'}$ έχει μοναδική ρίζα. $\displaystyle{(**)}$
Αν ισχύει η σχέση: $\displaystyle{g'(g'(x))+g(g'(x))-e^{g'(x)}=g'(0)+g(0)-1\; \; \; \; \forall x\geq 0}$ τότε:

α.Να μελετηθεί η $\displaystyle{g}$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
Θεωρούμε και τη συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=g(x)-x^2, \; \; \; \; x\geq 0}$
β.Να βρεθεί ο τύπος της $\displaystyle{g}$ .
γ.Να λυθεί στο $\displaystyle{[0 , +\infty)}$ η εξίσωση: $\displaystyle{\int_{0}^{x}f(t)dt=-\frac{x^3}{3}+\ln \left(x+\sqrt{x^2+1} \right)}$ .
δ.Έστω $\displaystyle{z, w\in \mathbb{C}}$ με $\displaystyle{z=x+ig(x)}$ και $\displaystyle{w=g(x)+ix}$ με $\displaystyle{x\geq 0}$ . Να βρεθεί το $\displaystyle{\left|z-w \right|_{\min}}$ .
ε.Να βρεθεί το εμβαδόν που περικλείεται των $\displaystyle{C_f, C_g}$ του άξονα $\displaystyle{x'x}$ και των ευθειών $\displaystyle{x=0, x=1}$ .

$\displaystyle{(*)}$ Για το γ) ερώτημα μπορείτε να συμβουλευτείτε τη δημοσίευση εδώ.

$\displaystyle{(*)}$ Ουπς.. τώρα το είδα ότι στους μιγαδικούς είναι η συνάρτηση $\displaystyle{g}$ και όχι η $\displaystyle{f}$ . Από κεκτημένη βιασύνη μπήκε.
Ζητώ συγνώμη, για την ταλαιπωρία.

$\displaystyle{(**)}$ Προστέθηκε η μοναδικότητα της ρίζας της $\displaystyle{g'}$ , κατόπιν υποδείξεως του κ. Κακαβά, για να κυλήσει ομαλά η άσκηση, καθώς μετά θα υπήρχε πρόβλημα στο πρώτο ερώτημα και δόθηκε λίγο καλύτερα το σύνολο τιμών. Ευχαριστώ που με ενημέρωσε...

#2

Tolaso J Kos έγραψε:Καλησπέρα , με μία άσκηση που έφτιαξα. Ελπίζω να αρέσει.

Εκφώνηση
Έστω $\displaystyle{g:[0, +\infty)\longrightarrow \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{f\left([0, +\infty \right))=[1, +\infty)}$ δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{[0 , +\infty)}$ με $\displaystyle{g'(0)=0}$ και δεύτερη συνεχή παράγωγο. Επίσης η $\displaystyle{g'}$ έχει μοναδική ρίζα. $\displaystyle{(**)}$
Αν ισχύει η σχέση: $\displaystyle{g'(g'(x))+g(g'(x))-e^{g'(x)}=g'(0)+g(0)-1\; \; \; \; \forall x\geq 0}$ τότε:

α.Να μελετηθεί η $\displaystyle{g}$ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
Θεωρούμε και τη συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=g(x)-x^2, \; \; \; \; x\geq 0}$
β.Να βρεθεί ο τύπος της $\displaystyle{g}$ .
γ.Να λυθεί στο $\displaystyle{[0 , +\infty)}$ η εξίσωση: $\displaystyle{\int_{0}^{x}f(t)dt=-\frac{x^3}{3}+\ln \left(x+\sqrt{x^2+1} \right)}$ .
δ.Έστω $\displaystyle{z, w\in \mathbb{C}}$ με $\displaystyle{z=x+ig(x)}$ και $\displaystyle{w=g(x)+ix}$ με $\displaystyle{x\geq 0}$ . Να βρεθεί το $\displaystyle{\left|z-w \right|_{\min}}$ .
ε.Να βρεθεί το εμβαδόν που περικλείεται των $\displaystyle{C_f, C_g}$ του άξονα $\displaystyle{x'x}$ και των ευθειών $\displaystyle{x=0, x=1}$ .

Λυση(νυχτερινή...για τα α,β,γ,δ...)

α. Για να ορίζεται η συνάρτηση g({g}'(x))

στην δοθείσα ισότητα πρέπει απαραίτητα οι τιμές της ${g}'(x)\ge 0,\,\,\,\,x\ge 0$ και επειδή

είναι μοναδική ρίζα της {g}'

είναι το

θα ισχύει ότι ${g}'(x)>0,\,\,\,\,x>0$ άρα η

είναι γνήσια αύξουσα στο $[0,+\infty )$ επομένως έχει

ολικό ελάχιστο το g(0)=1

αφού το σύνολο τιμών της

είναι το $[1,+\infty )$

β. Από $\displaystyle{g'(g'(x))+g(g'(x))-e^{g'(x)}=g'(0)+g(0)-1\; \; \; \; \forall x\geq 0}$ λόγω του (α) είναι

${g}'({g}'(x))+g({g}'(x))-{{e}^{{g}'(x)}}=0\ \ \ \ \forall x\ge 0$ άρα ισχύει ότι ${g}'(x)+g(x)-{{e}^{x}}=0\ \ \ \ \forall x\ge 0$ ή

${{e}^{x}}{g}'(x)+{{e}^{x}}g(x)={{e}^{2x}}\Leftrightarrow ({{e}^{x}}g(x){)}'={{\left( \frac{1}{2}{{e}^{x}} \right)}^{\prime }}$ άρα είναι

${{e}^{x}}g(x)=\frac{1}{2}{{e}^{x}}+c$ άρα $g(x)=\frac{1}{2}{{e}^{x}}+c{{e}^{-x}},\,\,\,\,x\ge 0$ και επειδή

$g(0)=\frac{1}{2}+c\Leftrightarrow 1=\frac{1}{2}+c\Leftrightarrow c=\frac{1}{2}$ άρα $g(x)=\frac{1}{2}{{e}^{x}}+\frac{1}{2}{{e}^{-x}},\,\,\,\,x\ge 0$

γ. Η εξίσωση $\displaystyle{\int_{0}^{x}f(t)dt=-\frac{x^3}{3}+\ln \left(x+\sqrt{x^2+1} \right)}$ γίνεται ισοδύναμα

$\int\limits_{0}^{x}{f}(t)dt=-\int\limits_{0}^{x}{{{t}^{2}}dt}+\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{x}{\left( f(t)+{{t}^{2}} \right)}dt=\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)$ ή

$\int\limits_{0}^{x}{\left( g(t) \right)}dt-\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)=0$ η οποία έχει προφανή ρίζα την x=0

και για την συνάρτηση

$h(x)=\int\limits_{0}^{x}{\left( g(t) \right)}dt-\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right),\,\,\,\,x\ge 0$ που είναι παραγωγίσιμη στο $[0,\,\,+\infty )$ με

${h}'(x)=g(x)-\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}>0,\,\,\,\,x>0$ γιατί ισχύει ότι $g(x)>1,\,\,\,\,\,x>0$ και $\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}<1,\,\,\,\,x>0$ επομένως η

είναι γνήσια αύξουσα στο $[0,\,\,+\infty )$ άρα η x=0

είναι μοναδική της ρίζα.

δ. Είναι $\left| z-w \right|=\left| x+ig(x)-g(x)-ix \right|=\sqrt{2{{(x-g(x))}^{2}}}=\sqrt{2}\left| g(x)-x \right|$ επομένως

$\displaystyle{\left|z-w \right|_{\min}}$ γίνεται όταν $\left| g(x)-x \right|$ γίνει ελάχιστο και αυτό γίνεται για το σημείο της ${{C}_{g}}$

που η εφαπτόμενη είναι παράλληλη στην ευθεία y=x

(...αυτό χρειάζεται απόδειξη...) και επειδή ${g}'(x)=\frac{1}{2}{{e}^{x}}-\frac{1}{2}{{e}^{-x}}$

γίνεται όταν

$\frac{1}{2}{{e}^{x}}-\frac{1}{2}{{e}^{-x}}=1\Leftrightarrow {{e}^{x}}-\frac{1}{{{e}^{x}}}=2\Leftrightarrow {{e}^{2x}}-2{{e}^{x}}+1=2\Leftrightarrow {{({{e}^{x}}-1)}^{2}}=2\Leftrightarrow \left| {{e}^{x}}-1 \right|=\sqrt{2}$

και επειδή $x\ge 0$ όταν ${{e}^{x}}-1=\sqrt{2}\Leftrightarrow {{e}^{x}}=1+\sqrt{2}\Leftrightarrow x=\ln (1+\sqrt{2})$ και επειδή η απόσταση του σημείου

$({{x}_{1}},\,\,g({{x}_{1}})),\,\,\,\,{{x}_{1}}=\ln (1+\sqrt{2})$ από την ευθεία x-y=0

είναι $d(A,\,\,\varepsilon )=\frac{\left| {{x}_{1}}-g({{x}_{1}}) \right|}{\sqrt{2}}$

το ${{\left| z-w \right|}_{\min }}=\left| {{x}_{1}}-g({{x}_{1}}) \right|,\,\,\,\,{{x}_{1}}=\ln (1+\sqrt{2})$

...τώρα

αύριο πάλι η συνέχεια...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Tolaso J Kos · #3

Ας τελειώσουμε το τελευταίο ερώτημα και να κάνω ορισμένες παρατηρήσεις.
ε. Το ζητούμενο εμβαδόν είναι: $\displaystyle{E(\Omega )=\int_{0}^{1}\left | f(x)-g(x) \right |dx=\int_{0}^{1}\left | -x^2 \right |dx=\frac{1}{3}}$ .
$\displaystyle{==========================================================}$

Ένας άλλος τρόπος για την εύρεση της $\displaystyle{f}$ ήταν και ο εξής (βέβαια ο κ. Βασίλης έδωσε έναν πολύ καλύτερο τρόπο)
Η δοσμένη σχέση δίνει: $\displaystyle{\int_{0}^{g'(x)}g''(t)dt+\int_{0}^{g'(x)}g'(t)dt=\int_{0}^{g'(x)}e^{t}dt}$ . Απαλείφουμε τα ολοκληρώματα , και παίρνουμε τη διαφορική $\displaystyle{g''(t)+g'(t)=e^t}$ και συνεχίζουμε.

Για το γ. έβγαινε πολύ πιο εύκολα αν κάποιος κοιτούσε την παραπομπή που έδωσα. Τότε θα έπαιρνε το εξής:
$\displaystyle{\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\ln \left ( x+\sqrt{x^2+1} \right )\Leftrightarrow t(x)=t^{-1}(x)\overset{t\nearrow}{\Leftrightarrow }t(x)=x\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow x=0}$

Πράγματι στους μιγαδικούς θέλει απόδειξη. Και γω εκεί στηρίχθηκα, όταν έδωσα λύση.

Φιλικά

leuteris · #4

Καλησπέρα.Έχω δύο απορίες αν μπορείτε να βοηθήσετε:

KAKABASBASILEIOS έγραψε: ${g}'({g}'(x))+g({g}'(x))-{{e}^{{g}'(x)}}=0\ \ \ \ \forall x\ge 0$ άρα ισχύει ότι ${g}'(x)+g(x)-{{e}^{x}}=0\ \ \ \ \forall x\ge 0$

Δε θα έπρεπε να γνωρίζουμε ότι το σύνολο τιμών της

είναι το $[0,+ \infty]$ ;

Tolaso J Kos έγραψε: Η δοσμένη σχέση δίνει: $\displaystyle{\int_{0}^{g'(x)}g''(t)dt+\int_{0}^{g'(x)}g'(t)dt=\int_{0}^{g'(x)}e^{t}dt}$ . Απαλείφουμε τα ολοκληρώματα , και παίρνουμε τη διαφορική $\displaystyle{g''(t)+g'(t)=e^t}$ και συνεχίζουμε.

Πως απαλείφουμε τα ολοκληρώματα;(επειδή δε βρήκα στη θεωρία του σχολικού κάτι τέτοιο)

Ευχαριστώ.

Tolaso J Kos · #5

leuteris έγραψε:Καλησπέρα.Έχω δύο απορίες αν μπορείτε να βοηθήσετε:

KAKABASBASILEIOS έγραψε: ${g}'({g}'(x))+g({g}'(x))-{{e}^{{g}'(x)}}=0\ \ \ \ \forall x\ge 0$ άρα ισχύει ότι ${g}'(x)+g(x)-{{e}^{x}}=0\ \ \ \ \forall x\ge 0$
Δε θα έπρεπε να γνωρίζουμε ότι το σύνολο τιμών της είναι το $[0,+ \infty]$ ;

Tolaso J Kos έγραψε: Η δοσμένη σχέση δίνει: $\displaystyle{\int_{0}^{g'(x)}g''(t)dt+\int_{0}^{g'(x)}g'(t)dt=\int_{0}^{g'(x)}e^{t}dt}$ . Απαλείφουμε τα ολοκληρώματα , και παίρνουμε τη διαφορική $\displaystyle{g''(t)+g'(t)=e^t}$ και συνεχίζουμε.
Πως απαλείφουμε τα ολοκληρώματα;(επειδή δε βρήκα στη θεωρία του σχολικού κάτι τέτοιο)

Ευχαριστώ.

Καλησπέρα,
ας τα πάρουμε από την αρχή.

1.Για ποιο λόγο θα έπρεπε να γνωρίζουμε ότι $\displaystyle{g'(x)\in [0, +\infty )}$ ; Δε βλέπω πού χρειάζεται.
2.'Εστω δύο συνεχείς συναρτήσεις $\displaystyle{f, g:[a, b]\rightarrow \mathbb{R}}$ τότε: $\displaystyle{f(x)=g(x)\Leftrightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}g(x)dx}$
Αυτή η ιδιότητα ισχύει μόνο στα ορισμένα, στα αόριστα δεν ισχύει κάτι τέτοιο.

Ελπίζω να βοήθησα.

leuteris · #6

Tolaso J Kos έγραψε:Καλησπέρα,
ας τα πάρουμε από την αρχή.

1.Για ποιο λόγο θα έπρεπε να γνωρίζουμε ότι $\displaystyle{g'(x)\in [0, +\infty )}$ ; Δε βλέπω πού χρειάζεται.
2.'Εστω δύο συνεχείς συναρτήσεις $\displaystyle{f, g:[a, b]\rightarrow \mathbb{R}}$ τότε: $\displaystyle{f(x)=g(x)\Leftrightarrow \int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}g(x)dx}$
Αυτή η ιδιότητα ισχύει μόνο στα ορισμένα, στα αόριστα δεν ισχύει κάτι τέτοιο.

Ελπίζω να βοήθησα.

Πρώτα απ' όλα ευχαριστώ πολύ για την απάντηση.Μάλλον θα έχω μπερδέψει κάποια πράγματα...

1.Αν το σύνολο τιμών τις

ήταν το

, τότε από την σχέση ${g}'({g}'(x))+g({g}'(x))-{{e}^{{g}'(x)}}=0\ \ \ \ \forall x\ge 0$ , δε θα παίρναμε ότι ${g}'(x)+g(x)-{{e}^{x}}=0\ \ \ \ \forall x \in [0,1]$ ;

Δηλαδή εγώ σκέφτηκα:
Έστω $\mathbb{A}$ το σύνολο τιμών της

.Τότε από την ${g}'({g}'(x))+g({g}'(x))-{{e}^{{g}'(x)}}=0 \ , x\in [0,+\infty]$ θέτοντας
g'(x)=y

(με $x \in [0,+\infty]$ και $y \in \mathbb{A}$ )
παίρνουμε ότι ${g}'(y)+g(y)-{{e}^{y}=0$ $, x \in [0,+\infty]$
ή ${g}'(y)+g(y)-{{e}^{y}=0 \ ,y \in \mathbb{A}$
ή ${g}'(x)+g(x)-{{e}^{x}} \ , x \in \mathbb{A}$

2.Δεν την ήξερα αυτή την ιδιότητα μιας που δε την βρήκα στο σχολικό βιβλίο.
Αυτή η ιδιότητα εννοείται ότι ισχύει, υπάρχει στο σχολικό(και εγώ δεν τη βρήκα) ή είναι εκτός ύλης;

kostas_zervos · #7

Tolaso J Kos έγραψε: ....
2.'Εστω δύο συνεχείς συναρτήσεις $\displaystyle{f, g:[a, b]\rightarrow \mathbb{R}}$ τότε: $\displaystyle{f(x)=g(x)\color{red}\Leftrightarrow \color{black}\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}g(x)dx}$
Αυτή η ιδιότητα ισχύει μόνο στα ορισμένα, στα αόριστα δεν ισχύει κάτι τέτοιο.

Το παραπάνω δεν είναι σωστό , δεν ισχύει η ισοδυναμία , με άλλα λόγια δεν "φεύγουν" τα ολοκληρώματα.

π.χ. $\displaystyle \int_{0}^{1}3x^2\;dx=1=\int_{0}^{1}4x^3\;dx$ , αλλά δεν ισχύει 3x^2=4x^3

για κάθε $x\in[0,1]$ .

Tolaso J Kos · #8

kostas_zervos έγραψε:
Tolaso J Kos έγραψε: ....
2.'Εστω δύο συνεχείς συναρτήσεις $\displaystyle{f, g:[a, b]\rightarrow \mathbb{R}}$ τότε: $\displaystyle{f(x)=g(x)\color{red}\Leftrightarrow \color{black}\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}g(x)dx}$
Αυτή η ιδιότητα ισχύει μόνο στα ορισμένα, στα αόριστα δεν ισχύει κάτι τέτοιο.
Το παραπάνω δεν είναι σωστό , δεν ισχύει η ισοδυναμία , με άλλα λόγια δεν "φεύγουν" τα ολοκληρώματα.

π.χ. $\displaystyle \int_{0}^{1}3x^2\;dx=1=\int_{0}^{1}4x^3\;dx$ , αλλά δεν ισχύει για κάθε $x\in[0,1]$ .

Άλλο ήθελα να γράψω και άλλο έγραψα.
Της νύχτας τα καμώματα,

Λευτέρη γραψε λάθος σε αυτό που είπα.

leuteris · #9

ok, για την

όμως και το σύνολο τιμών, τελικά τι ισχύει;

sokratis lyras · #10

leuteris έγραψε:ok, για την όμως και το σύνολο τιμών, τελικά τι ισχύει;

Όπως τα είπες προφανώς.

Ανάλυση - Μιγαδικοί

Ανάλυση - Μιγαδικοί

Re: Ανάλυση - Μιγαδικοί

Re: Ανάλυση - Μιγαδικοί

Re: Ανάλυση - Μιγαδικοί

Re: Ανάλυση - Μιγαδικοί

Re: Ανάλυση - Μιγαδικοί

Re: Ανάλυση - Μιγαδικοί

Re: Ανάλυση - Μιγαδικοί

Re: Ανάλυση - Μιγαδικοί

Re: Ανάλυση - Μιγαδικοί

Μέλη σε σύνδεση