θέμα κατατακτηρίων διαφορικού

vanalex · #1

Καλησπέρα!
Δόθηκε σήμερα σαν θέμα στις κατατακτήριες του Μαθηματικού τμήματος στη Θεσσαλονίκη όπου πήρα μέρος...

Έστω η

παραγωγίσιμη στο $\left(0,+\propto \right)$ με $\displaystyle{\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'\left( x \right)=0 }$ . N.δ.ο. $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f\left( x+1 \right)-f\left( x \right) \right)=0$ . Νομίζω ότι κάπου το έχω δει εδώ στο mathematica σαν θεματάκι ή κάνω λάθος..;; Θα δώσω λίγο αργότερα τη λύση που έδωσα..καλό βράδυ σε όλους!

#2

vanalex έγραψε:Καλησπέρα!
Δόθηκε σήμερα σαν θέμα στις κατατακτήριες του Μαθηματικού τμήματος στη Θεσσαλονίκη όπου πήρα μέρος...

Έστω η παραγωγίσιμη στο $\left(0,+\propto \right)$ με $\displaystyle{\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'\left( x \right)=0 }$ . N.δ.ο. $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f\left( x+1 \right)-f\left( x \right) \right)=0$ . Νομίζω ότι κάπου το έχω δει εδώ στο mathematica σαν θεματάκι ή κάνω λάθος..;; Θα δώσω λίγο αργότερα τη λύση που έδωσα..καλό βράδυ σε όλους!

Από Θ.Μ.Τ. υπάρχει $\xi \in (x, \, x+1)$ με $f\left( x+1 \right)-f\left( x \right) = f'(\xi)$ . Παίρνουμε τώρα όριο $x\to +\infty$ , οπότε και $\xi \to +\infty$ , και τελειώσαμε.

Edit: Διόρθωσα την λέξη "Rolle" που έγραψα εκ παραδρομής στο αρχικό ποστ, σε "Θ.Μ.Τ."

#3

vanalex έγραψε:Καλησπέρα!
Δόθηκε σήμερα σαν θέμα στις κατατακτήριες του Μαθηματικού τμήματος στη Θεσσαλονίκη όπου πήρα μέρος...

Έστω η παραγωγίσιμη στο $\left(0,+\propto \right)$ με $\displaystyle{\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'\left( x \right)=0 }$ . N.δ.ο. $\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f\left( x+1 \right)-f\left( x \right) \right)=0$ . Νομίζω ότι κάπου το έχω δει εδώ στο mathematica σαν θεματάκι ή κάνω λάθος..;; Θα δώσω λίγο αργότερα τη λύση που έδωσα..καλό βράδυ σε όλους!

Να ευχηθώ στο εξαιρετικό μέλος μας και φίλο Αλέξη καλά αποτελέσματα και να τον δούμε και στο δεύτερο πτυχίο με βαθμό άριστα !!!

Μπάμπης

vanalex · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: Από Rolle υπάρχει $\xi \in (x, \, x+1)$ με $f\left( x+1 \right)-f\left( x \right) = f'(\xi)$ . Παίρνουμε τώρα όριο $x\to +\infty$ , οπότε και $\xi \to +\infty$ , και τελειώσαμε.

κ. Λάμπρου, κ.Στεργίου ευχαριστώ πολύ για την απάντηση και τις ευχές! κ. Λάμπρου γιατί Rolle; Πώς ξέρουμε ότι $f\left( x+1 \right)=f\left( x \right)$ ; Αυτό που έγραψα ήταν:

Εφαρμόζουμε για την

Θ.Μ.Τ. στο διάστημα $\left[ x,x+1 \right]$ , επομένως:

1. συνεχής στο $\left[ x,x+1 \right]$
2. παραγωγίσιμη στο $\left( x,x+1 \right)$

, άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον $\displaystyle{{{k}_{x}}\in \left( 0,+\infty \right):\,\,{f}'\left( {{k}_{x}} \right)=\frac{f\left( x+1 \right)-f\left( x \right)}{x+1-x}=f\left( x+1 \right)-f\left( x \right)}$ . To ${{k}_{x}}$ είναι εξαρτώμενο του

οπότε:

$\displaystyle{{{k}_{x}}>x>0\Rightarrow 0<\frac{1}{{{k}_{x}}}<\frac{1}{x}\Rightarrow \underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,0=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x}=0\overset{ K .\Pi .}{\mathop{\Rightarrow }}\,\,\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{k}_{x}}}=0}$ , άρα $\displaystyle{\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{k}_{x}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\frac{1}{{{k}_{x}}}}=\frac{1}{{{0}^{+}}}=+\infty }$ .

Θέτουμε $\displaystyle{u={{k}_{x}}\to {{u}_{0}}=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{k}_{x}}=+\infty}$ και τελικά $\displaystyle{\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f\left( x+1 \right)-f\left( x \right) \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'\left( {{k}_{x}} \right)\overset{u={{k}_{x}}}{\mathop{=}}\,\,\underset{u\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'\left( u \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{f}'\left( x \right)=0}$ .

#5

vanalex έγραψε:<...> γιατί Rolle; Πώς ξέρουμε ότι $f\left( x+1 \right)=f\left( x \right)$ ;

Εννοούσα Θ.Μ.Τ. αλλά έγραψα Rolle εκ παραδρομής. Συγνώμη. Έπρεπε όμως να το αντιληφθείς γιατί η άσκηση είναι πάρα πολλή απλή και απόδειξη που δίνω είναι ίδια με την δικιά σου, αλλά χωρίς τα περιττά: Γράφω σε δύο γραμμές τα ίδια που στην δική σου θέλεις κάμποσες. Π.χ. το γεγονός ότι $\xi \to +\infty$ (στο δικό σου έχει την μορφή $k_x \to +\infty$ ) είναι άμεσο από το $\xi > x \to \infty$ και δεν χρειάζεται να πάρεις δύο φορές το αντίστροφο του k_x

.

Μ.

parmenides51 · #6

άσκηση 3

vanalex · #7

Mihalis_Lambrou έγραψε:
vanalex έγραψε:<...> γιατί Rolle; Πώς ξέρουμε ότι $f\left( x+1 \right)=f\left( x \right)$ ;

Εννοούσα Θ.Μ.Τ. αλλά έγραψα Rolle εκ παραδρομής. Συγνώμη. Έπρεπε όμως να το αντιληφθείς γιατί η άσκηση είναι πάρα πολλή απλή και απόδειξη που δίνω είναι ίδια με την δικιά σου, αλλά χωρίς τα περιττά: Γράφω σε δύο γραμμές τα ίδια που στην δική σου θέλεις κάμποσες. Π.χ. το γεγονός ότι $\xi \to +\infty$ (στο δικό σου έχει την μορφή $k_x \to +\infty$ ) είναι άμεσο από το $\xi > x \to \infty$ και δεν χρειάζεται να πάρεις δύο φορές το αντίστροφο του .

Μ.

Απλώς ήμουν αρκετά αναλυτικός αφού έγραφα τη λύση σε επίσημες εξετάσεις. Ευχαριστώ πολύ για την απάντηση.

θέμα κατατακτηρίων διαφορικού

θέμα κατατακτηρίων διαφορικού

Re: θέμα κατατακτηρίων διαφορικού

Re: θέμα κατατακτηρίων διαφορικού

Re: θέμα κατατακτηρίων διαφορικού

Re: θέμα κατατακτηρίων διαφορικού

Re: θέμα κατατακτηρίων διαφορικού

Re: θέμα κατατακτηρίων διαφορικού

Μέλη σε σύνδεση