Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

mathxl · #1261

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 409: (Γ Γυμνασίου) Αν $\displaystyle{n\in N^{*}}$ , να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{\frac{3}{1^2 .2^2}+\frac{5}{2^2 .3^2}+\frac{7}{3^2 .4^2}+ ... +\frac{2n+1}{n^2 .(n+1)^2} <1}$

Είναι
$\displaystyle{\frac{{2n + 1}}{{{n^2} \cdot {{(n + 1)}^2}}} = \frac{{{n^2} + 2n + 1 - {n^2}}}{{{n^2} \cdot {{(n + 1)}^2}}} = \frac{1}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{{(n + 1)}^2}}}}$

Για $\displaystyle{n = 1:\frac{3}{{{1^2}{{.2}^2}}} = 1 - \frac{1}{4}}$

Για $\displaystyle{n = 2:\frac{5}{{{2^2}{{.3}^2}}} = \frac{1}{4} - \frac{1}{9}}$

Για $\displaystyle{n = 3:\frac{7}{{{3^2}{{.4}^2}}} = \frac{1}{9} - \frac{1}{{16}}}$

...............................................................................

Για $\displaystyle{n = n:\frac{{2n + 1}}{{{n^2}.{{(n + 1)}^2}}} = \frac{1}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{{(n + 1)}^2}}}}$

Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω, έχουμε:

$\displaystyle{\frac{3}{{{1^2}{{.2}^2}}} + \frac{5}{{{2^2}{{.3}^2}}} + \frac{7}{{{3^2}{{.4}^2}}} + ... + \frac{{2n + 1}}{{{n^2}.{{(n + 1)}^2}}} = 1 - \frac{1}{{{{(n + 1)}^2}}} < 1}$

#1262

ΑΣΚΗΣΗ 410: (Γ Γυμνασίου) Αν $\displaystyle{n\in N^{*}}$ , να αποδείξετε ότι ο αριθμός: $\displaystyle{A=2^{4n}-15n-1}$

είναι πολλαπλάσιο του 225.

raf616 · #1263

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 410: (Γ Γυμνασίου) Αν $\displaystyle{n\in N^{*}}$ , να αποδείξετε ότι ο αριθμός: $\displaystyle{A=2^{4n}-15n-1}$

είναι πολλαπλάσιο του 225.

Βάζω μία λύση, δεν ξέρω αν υπάρχει απλούστερη...

Θα δείξουμε το ζητούμενο επαγωγικά και χρησιμοποιώντας την ιδιότητα $(a + b)^n = \pi o \lambda a + b^n$ .

Για n = 1

έχουμε ότι $A = 0 = \pi o \lambda 225$ .

Θέτουμε n = k

και υποθέτουμε ότι η σχέση ισχύει για κάθε $n \in \Bbb{N}$ .

Γράφουμε $A = 225m \Leftrightarrow -15k - 1 = 225m - 2^{4k}, m \in \Bbb{Z}$ .

Θα δείξουμε ότι $16 \cdot 2^{4k} - 15k - 1 - 15 = \pi o \lamda 225$ . Αν

η δεύτερη παράσταση έχουμε διαδοχικά και λόγω της επαγωγικής υπόθεσης:

$\displaystyle{B = 16 \cdot 2^{4k} - 15k - 1 - 15 = 16 \cdot 2^{4k} + 225m - 2^{4k} - 15 = 15(16^k + 15m - 1) = 15[(15 + 1)^k + 15m - 1] = 15(15r + 1 + 15m - 1) =}$

$= 15(15m + 15r) = 225(m + r) = \pi o \lambda 225}$ .

Έτσι, το ζητούμενο απεδείχθη.

#1264

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 410: (Γ Γυμνασίου) Αν $\displaystyle{n\in N^{*}}$ , να αποδείξετε ότι ο αριθμός: $\displaystyle{A=2^{4n}-15n-1}$

είναι πολλαπλάσιο του 225.

Εκτός από την παραπάνω επαγωγική απόδειξη μπορούμε να πούμε και τα εξής:

Θεωρούμε το πολυώνυμο $\displaystyle{f(x)=(x+1)^n-nx-1.}$ Είναι $\displaystyle{f(0)=f'(0)=0.}$ Άρα το $\displaystyle{f}$ έχει παράγοντα το $\displaystyle{x^2,}$ δηλαδή $\displaystyle{f(x)=x^2g(x)}$ για κάποιο πολυώνυμο $\displaystyle{g.}$

Τότε είναι $\displaystyle{2^{4n}-15n-1=f(15)=15^2g(15)=225g(15)\equiv 0\mod 225.}$
Αν ενοχλεί η παράγωγος του πολυωνύμου, μπορούμε να κάνουμε χρήση του διωνυμικού αναπτύγματος και να δούμε αμέσως ότι $\displaystyle{x^2|f(x).}$

S.E.Louridas · #1265

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 410: (Γ Γυμνασίου) Αν $\displaystyle{n\in N^{*}}$ , να αποδείξετε ότι ο αριθμός: $\displaystyle{A=2^{4n}-15n-1}$
είναι πολλαπλάσιο του 225.

Καλημέρα
Επίσης έχουμε: $A = 15\left( {{{16}^{n - 1}} + {{16}^{n - 2}} + ... + 16 - \left( {n - 1} \right)} \right) =$ $15\left( {{{16}^{n - 1}} - 1 + {{16}^{n - 2}} - 1 + ... + 16 - 1} \right) = 225t.$

(*) Χρησιμοποιήθηκε και μόνο η γνωστή ταυτότητα: ${a^k} - 1 = \left( {a - 1} \right)\left( {{a^{k - 1}} + {a^{k - 2}} + ... + a + 1} \right).$

#1266

ΑΣΚΗΣΗ 411: Αν $\displaystyle{n\in N}$ δείξτε ότι ο αριθμός $\displaystyle{3^{2n+2}+2^{6n+1}}$ είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{11}$

Νίκος Αϊνστάιν · #1267

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 411: Αν $\displaystyle{n\in N}$ δείξτε ότι ο αριθμός $\displaystyle{3^{2n+2}+2^{6n+1}}$ είναι πολλαπλάσιο του $\displaystyle{11}$

Ας θέσουμε $A = 3^{2n+2}+2^{6n+1}$
Πρέπει να αποδείξουμε ότι $A = \pi o \lambda 11$
Η παράσταση γίνεται $A = 3^{2n+2}+2^{6n+1} =9^n \cdot 9 + 64^n \cdot 2 = (11 - 2)^n \cdot 9 + (66 - 2)^n \cdot 2$
Θα χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα $(a + b)^n = a^n + \pi o \lambda b = b^n + \pi o \lambda a$
Έτσι, έχουμε: $A = [(-2)^n + 11k] \cdot 9 + [(-2)^n + 66l] \cdot 2 = (-2)^n \cdot 9 + 11k \cdot 9 + (-2)^n \cdot 2 + 66l \cdot 2 =$
$= (-2)^n \cdot 11 + 11k \cdot 9 + 66l \cdot 2$
Παρατηρούμε ότι και οι τρεις όροι του αθροίσματος είναι πολλαπλάσια του

και έτσι τελικά η παράσταση γίνεται:
$11a + 11b + 11c = 11(a + b + c) = 11d = \pi o \lambda 11$ και έτσι αποδείξαμε το ζητούμενο.

#1268

ΑΣΚΗΣΗ 412: Αν $\displaystyle{k|a^2 -b}$ και $\displaystyle{k|b^2 -a}$ , ( $\displaystyle{k\in Z}$ ), δείξτε ότι οι αριθμοί $\displaystyle{A=ab^2 +a^2 b}$ και $\displaystyle{B=a^2 +b^2}$ με $\displaystyle{a,b\neq 0}$

διαιρούμενοι με το $\displaystyle{k}$ , δίνουν το ίδιο υπόλοιπο.

Νίκος Αϊνστάιν · #1269

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 412: Αν $\displaystyle{k|a^2 -b}$ και $\displaystyle{k|b^2 -a}$ , ( $\displaystyle{k\in Z}$ ), δείξτε ότι οι αριθμοί $\displaystyle{A=ab^2 +a^2 b}$ και $\displaystyle{B=a^2 +b^2}$ με $\displaystyle{a,b\neq 0}$

διαιρούμενοι με το $\displaystyle{k}$ , δίνουν το ίδιο υπόλοιπο.

Ας υποθέσουμε ότι αφήνουν διαφορετικό υπόλοιπον αν διαιρεθούμε με το

.
Τότε, ούτε και η διαφορά τους θα διαιρεί το

.
Έχουμε

Όμως, χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της διαιρετότητας έχουμε:
$k \mid a^2 - b \Leftrightarrow k \mid a^2b - b^2$
$k \mid b^2 - a \Leftrightarrow k \mid ab^2 - a^2$
Προσθέτοντας κατά μέλη, παίρνουμε $k \mid ab^2 + a^2b - a^2 - b^2$ και έτσι η διαφορά A - B

διαιρεί το

.
Άτοπο, αφού η διαφορά A - B

δεν διαιρεί το

.
Άρα, η υπόθεσή μας είναι λανθασμένη και έτσι τα A, B

αφήνουν το ίδιο υπόλοιπο αν διαιρεθούν με το

.

raf616 · #1270

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 412: Αν $\displaystyle{k|a^2 -b}$ και $\displaystyle{k|b^2 -a}$ , ( $\displaystyle{k\in Z}$ ), δείξτε ότι οι αριθμοί $\displaystyle{A=ab^2 +a^2 b}$ και $\displaystyle{B=a^2 +b^2}$ με $\displaystyle{a,b\neq 0}$

διαιρούμενοι με το $\displaystyle{k}$ , δίνουν το ίδιο υπόλοιπο.

Αφού

και

τότε έχουμε:

$k | b(a^2 - b) + a(b^2 - a) \implies k | a^2b + ab^2 - (a^2 + b^2)$

Η παραπάνω σχέση μας δίνει:

$a^2b + ab^2 \equiv a^2 + b^2 \pmod{k}$

Επομένως, οι δύο παραστάσεις είναι ισουπόλοιπες όταν διαιρούνται με τον

.

#1271

Η ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ $\displaystyle{ax+by=c}$

Αν $\displaystyle{(a,b)|c}$ τότε η πιο πάνω εξίσωση λύνεται ως εξής:

Λύνουμε ως προς έναν άγνωστο την εξίσωση (συνήθως αυτόν που έχει τον μικρότερο κατα απόλυτη τιμή συντελεστή) και βρίσκουμε π.χ

$\displaystyle{x=\frac{c-by}{a}}$ . Τότε υπάρχει $\displaystyle{y_0 \in \{0,1,2, . . . , |a|-1\}}$ , ώστε $\displaystyle{x_0 =\frac{c-by_0}{a} \in Z}$ . Έτσι βρίσκουμε μια λύση $\displaystyle{(x_0 , y_0 )}$

και τότε όλες οι ακέραιες λύσεις δίνονται από τις σχέσεις:

$\displaystyle{x=x_0 +\frac{b}{d} t , y=y_0 - \frac{a}{d} t}$ , όπου $\displaystyle{t\in Z}$ και $\displaystyle{d=(a,b)}$

AΣΚΗΣΗ 413: Να λυθεί στο σύνολο των ακεραίων η εξίσωση $\displaystyle{2x+9y=11}$

AΣΚΗΣΗ 414: Αν $\displaystyle{(a,b)=1}$ , και $\displaystyle{a,b \in N^{*}}$ , να αποδείξετε ότι η εξίσωση $\displaystyle{ax+by=ab}$ δεν έχει θετικές ακέραιες λύσεις.

ΑΣΚΗΣΗ 415: Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης: $\displaystyle{(3a+2)x+(2a+1)y=a^2 +a}$ , όπου $\displaystyle{a\in Z}$

ΑΣΚΗΣΗ 416: Με πόσους τρόπους μπορεί να συμπληρωθεί το ποσόν των $\displaystyle{300}$ ευρώ, χρησιμοποιώντας ένα τουλάχιστον χαρτονόμισμα

των $\displaystyle{20}$ ευρώ και ένα τουλάχιστον χαρτονόμισμα των $\displaystyle{50}$ ευρώ.

ΑΣΚΗΣΗ 417: Ένας χωρικός πουλάει κότες, χήνες και πάπιες. Κάθε κότα στοιχίζει $\displaystyle{10}$ ευρώ, κάθε πάπια $\displaystyle{12}$ ευρώ και

κάθε χήνα $\displaystyle{15}$ ευρώ. Ένας πελάτης διαθέτει ακριβώς $\displaystyle{240}$ ευρώ και θέλει να αγοράσει $\displaystyle{20}$ πτηνά, με την προϋπόθεση να υπάρχει τουλάχιστον

ένα πτηνό από το κάθε είδος. Πόσα πτηνά θα πάρει από το κάθε είδος;

Νίκος Αϊνστάιν · #1272

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:AΣΚΗΣΗ 413: Να λυθεί στο σύνολο των ακεραίων η εξίσωση $\displaystyle{2x+9y=11}$

Παρατηρούμε ότι y = 2k + 1

.*
Για

: $2x + 9 = 11 \Leftrightarrow 2x = 2 \Leftrightarrow x = 1$
Οι υπόλοιπες τιμές του

δίνονται από τον τύπο: $1 + 9t, t \in Z$
Και οι υπόλοιπες τιμές του

δίνονται από τον τύπο: $1 - 2t, t \in Z$

*Νομίζω ότι μπορούμε να θέσουμε στην διοφαντική εξίσωση και μετά να λύσουμε αυτή που προκύπτει. Δεν θα υπάρχουν περιορισμοί.

Νίκος Αϊνστάιν · #1273

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 417: Ένας χωρικός πουλάει κότες, χήνες και πάπιες. Κάθε κότα στοιχίζει $\displaystyle{10}$ ευρώ, κάθε πάπια $\displaystyle{12}$ ευρώ και

κάθε χήνα $\displaystyle{15}$ ευρώ. Ένας πελάτης διαθέτει ακριβώς $\displaystyle{240}$ ευρώ και θέλει να αγοράσει $\displaystyle{20}$ πτηνά, με την προϋπόθεση να υπάρχει τουλάχιστον

ένα πτηνό από το κάθε είδος. Πόσα πτηνά θα πάρει από το κάθε είδος;

Έστω

οι κότες,

οι πάπιες και

οι χήνες.

Έχουμε το σύστημα:
$\left.{\begin{matrix} 10x + 12y + 15z = 240\\ x + y + z = 20 \end{matrix}\right\} \Leftrightarrow \left.\begin {matrix} 10x + 12y + 15z = 240 \\ x = 20 - y - z \end{matrix}\right\} \Leftrightarrow \left.\begin {matrix}10 (20 - y - z) + 12y + 15z = 240 \\ x = 20 - y - z \end{matrix}\right\}$

$\left.\begin{matrix} 200 - 10y - 10z + 12y + 15z = 240 \\ x = 20 - y - z \end{matrix}\right\} \Leftrightarrow \left.\begin{matrix} 2y + 5z = 40 \\ x = 20 - y - z \end{matrix}\right\}$

Παρατηρούμε στην πρώτη εξίσωση ότι $z = 2k \Leftrightarrow z = \{2, 4 \}$
$\bullet$ Για z = 2

: $2y = 30 \Leftrightarrow y = 15$ και x = 20 - 15 - 2 = 3

. Άρα, μια λύση είναι η (x, y, z) = (3, 15, 2)

$\bullet$ Για z = 4

: $2y = 20 \Leftrightarrow y = 10$ και x = 20 - 10 - 4 = 6

. Άρα, η άλλη λύση είναι η (x, y, z) = (6, 10, 4)

*Υπάρχει τρόπος να βελτιώσω την ποιότητα της δημοσίευσής μου;

Νίκος Αϊνστάιν · #1274

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 416: Με πόσους τρόπους μπορεί να συμπληρωθεί το ποσόν των $\displaystyle{300}$ ευρώ, χρησιμοποιώντας ένα τουλάχιστον χαρτονόμισμα

των $\displaystyle{20}$ ευρώ και ένα τουλάχιστον χαρτονόμισμα των $\displaystyle{50}$ ευρώ.

Υπάρχει περιορισμός στα ποια χαρτονομίσματα ή κέρματα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε;

#1275

Νίκος Αϊνστάιν έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 416: Με πόσους τρόπους μπορεί να συμπληρωθεί το ποσόν των $\displaystyle{300}$ ευρώ, χρησιμοποιώντας ένα τουλάχιστον χαρτονόμισμα

των $\displaystyle{20}$ ευρώ και ένα τουλάχιστον χαρτονόμισμα των $\displaystyle{50}$ ευρώ.

Υπάρχει περιορισμός στα ποια χαρτονομίσματα ή κέρματα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε;

Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μόνο χαρτονομίσματα των

και των

ευρώ, (όχι κέρματα), αλλά πρέπει να πάρουμε ένα τουλάχιστον εικοσάευρο και ένα τουλάχιστον πενηντάευρο.

Νίκος Αϊνστάιν · #1276

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 416: Με πόσους τρόπους μπορεί να συμπληρωθεί το ποσόν των $\displaystyle{300}$ ευρώ, χρησιμοποιώντας ένα τουλάχιστον χαρτονόμισμα

των $\displaystyle{20}$ ευρώ και ένα τουλάχιστον χαρτονόμισμα των $\displaystyle{50}$ ευρώ.

Έχουμε την εξίσωση 20x + 50y = 300

, όπου

ο αριθμός των εικοσάευρων και

ο αριθμός τον χαρτονομισμάτων των

ευρώ.
Η εξίσωση γίνεται $20x + 50y = 300 \Leftrightarrow 2x + 5y = 30$
Παρατηρούμε ότι ο

πρέπει να είναι άρτιος, διαφορετικά καταλήγουμε σε άτοπο.
Επίσης, αφού $x,y \in N$ και $x, y \geq 1$ , πρέπει $50y < 300 \Leftrightarrow y < 6$
Άρα, έχουμε δύο περιπτώσεις:
1. Για y = 2

2. Για

και έχουν λύση.
Επομένως, μπορούμε να συμπληρώσουμε το ποσό των 300

ευρώ με δύο τρόπους.

#1277

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:AΣΚΗΣΗ 413: Να λυθεί στο σύνολο των ακεραίων η εξίσωση $\displaystyle{2x+9y=11}$

Μια ακόμα λύση, (εκτός από αυτήν που έδωσε ο Νίκος), ώστε να αξιοποιηθορύν τα πιο πάνω θεωρητικά στοιχεία:

Έχουμε $\displaystyle{(2,9)=1}$ και αφού $\displaystyle{1|11}$ άρα η δοσμένη εξίσωση έχει ακέραιες λύσεις. Αν λύσουμε ως προς $\displaystyle{x}$ , βρίσκουμε:

$\displaystyle{x=\frac{11-9y}{2}}$ . Τότε υπάρχει $\displaystyle{y_0 \in \{0 , 1\}}$ , ώστε ο αριθμός $\displaystyle{x_0 =\frac{11-9y_0}{2}}$ να είναι ακέραιος. Πράγματι, για $\displaystyle{y_0 =1}$

έχουμε $\displaystyle{x_0 =1}$ και άρα μια λύση της εξίσωσης είναι η $\displaystyle{(x_0 , y_0 )=(1 , 1)}$ . Συνεπώς όλες οι ακέραιες λύσεις της δίνονται από τις σχέσεις:

$\displaystyle{x=1+\frac{9}{1}t , y=1-\frac{2}{1}t}$ , δηλαδή $\displaystyle{x=1+9t , y=1-2t}$ , όπου $\displaystyle{t\in Z}$

#1278

ΑΣΚΗΣΗ 418: (Γ Γυμνασίου) Να εξετάσετε αν υπάρχει ακέραιος $\displaystyle{n}$ τέτοιος ώστε τα κλάσματα $\displaystyle{\frac{7n-1}{4}}$ και

$\displaystyle{\frac{5n+3}{12}}$ να είναι συγχρόνως ακέραιοι αριθμοί.

raf616 · #1279

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 418: (Γ Γυμνασίου) Να εξετάσετε αν υπάρχει ακέραιος $\displaystyle{n}$ τέτοιος ώστε τα κλάσματα $\displaystyle{\frac{7n-1}{4}}$ και

$\displaystyle{\frac{5n+3}{12}}$ να είναι συγχρόνως ακέραιοι αριθμοί.

Καλησπέρα. Μία λύση:

Ας είναι:

$\dfrac{7n - 1}{4} = k \Leftrightarrow n = \dfrac{4k + 1}{7}$

$\dfrac{5n + 3}{12} = m \Leftrightarrow n = \dfrac{12m - 3}{5}$

Εξισώνοντας θα πάρουμε:

$\displaystyle{\dfrac{4k + 1}{7} = \dfrac{12m - 3}{5} \Leftrightarrow 20k + 5 = 84m - 21 \Leftrightarrow 20k - 84m = -26 \Leftrightarrow 42m - 10k = 13}$

Το αριστερό μέλος όμως είναι άρτιος και το δεξί περιττός και άρα δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός.

*Υ.Γ: Θα παρακαλούσα αν είναι εφικτό να βάλουμε κάποιες ασκήσεις συνδυαστικής όπως ακριβώς έχουμε κάνει και με άλλους τομείς(π.χ ανισότητες, θεωρία αριθμών).

#1280

raf616 έγραψε:
ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 418: (Γ Γυμνασίου) Να εξετάσετε αν υπάρχει ακέραιος $\displaystyle{n}$ τέτοιος ώστε τα κλάσματα $\displaystyle{\frac{7n-1}{4}}$ και

$\displaystyle{\frac{5n+3}{12}}$ να είναι συγχρόνως ακέραιοι αριθμοί.
Καλησπέρα. Μία λύση:

Ας είναι:

$\dfrac{7n - 1}{4} = k \Leftrightarrow n = \dfrac{4k + 1}{7}$

$\dfrac{5n + 3}{12} = m \Leftrightarrow n = \dfrac{12m - 3}{5}$

Εξισώνοντας θα πάρουμε:

$\displaystyle{\dfrac{4k + 1}{7} = \dfrac{12m - 3}{5} \Leftrightarrow 20k + 5 = 84m - 21 \Leftrightarrow 20k - 84m = -26 \Leftrightarrow 42m - 10k = 13}$

Το αριστερό μέλος όμως είναι άρτιος και το δεξί περιττός και άρα δεν υπάρχει τέτοιος αριθμός.

*Υ.Γ: Θα παρακαλούσα αν είναι εφικτό να βάλουμε κάποιες ασκήσεις συνδυαστικής όπως ακριβώς έχουμε κάνει και με άλλους τομείς(π.χ ανισότητες, θεωρία αριθμών).

Καλό είναι να μπουν ασκήσεις συνδυαστικής στο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ - ΓΥΜΝΑΣΙΟ. Θα κάνω την αρχή ίσως και σήμερα.

Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Re: Εισαγωγή σε Διαγωνιστικά Μαθηματικά για Γυμνάσιο

Μέλη σε σύνδεση