ΘΑΛΗΣ 2011 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

parmenides51 · #1

1. Να λυθεί στους πραγματικούς αριθμούς η εξίσωση $\displaystyle{(x^2+3x+2)^4+(x^2+x-2)^4=16(x+2)^4}$

2. Να προσδιορίσετε την τιμή της παραμέτρου $\displaystyle{\alpha \in \mathbb{R}}$ , αν το σύστημα $\displaystyle{\left\{\alpha(x^2+y^2)+2x+y=\lambda , 2x-y =-\lambda\right\}}$ $\displaystyle{ (\Sigma)}$
έχει λύση στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ , για κάθε τιμή της παραμέτρου $\displaystyle{{\color{red}\lambda}\in \mathbb{R}}$ .

3. Η ακολουθία $\displaystyle{\alpha_n,n=0,1,2, ... }$ είναι τέτοια ώστε η ακολουθία $\displaystyle{d_n=\alpha_{n}-\alpha_{n-1}}$ με $\displaystyle{n=1,2,3,... }$ είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά $\displaystyle{\omega=\alpha_{1}-\alpha_{0}}$ .

α) Να προσδιορίσετε, συναρτήσει των $\displaystyle{\alpha_0,\omega}$ και $\displaystyle{n}$ τον γενικό όρο $\displaystyle{\alpha_n}$ και το άθροισμα $\displaystyle{S_{n+1}=\alpha_0+\alpha_1+...+\alpha_n}$

β) Αν είναι $\displaystyle{\alpha_0=1}$ και $\displaystyle{\alpha_1=7}$ , να προσδιορίσετε τον ελάχιστο θετικό ακέραιο $\displaystyle{n}$ για τον οποίο συναληθεύουν οι ανισώσεις : $\displaystyle{\alpha_n>10^3}$ και $\displaystyle{S_{n+1}\le 8\cdot 10^3}$

4. Δίνεται οξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{AB <A\Gamma <B\Gamma}$ , εγγεγραμμένο σε κύκλο $\displaystyle{(c)}$ και τυχόν σημείο $\displaystyle{\Delta}$ της πλευράς $\displaystyle{B\Gamma}$ .
Η διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\widehat{B}}$ , τέμνει τον κύκλο $\displaystyle{(c)}$ στο σημείο $\displaystyle{\Sigma}$ , τη διχοτόμο της γωνίας $\displaystyle{\widehat{A\Delta B} }$ στο σημείο $\displaystyle{ K}$ και τη διχοτόμο της γωνίας $\displaystyle{\widehat{A\Delta \Gamma} }$ στο σημείο $\displaystyle{M}$ .
Η διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\widehat{\Gamma} }$ , τέμνει τον κύκλο $\displaystyle{(c)}$ στο σημείο $\displaystyle{T}$ , τη διχοτόμο της γωνίας $\displaystyle{\widehat{A\Delta \Gamma} }$ στο σημείο $\displaystyle{\Lambda}$ και τη διχοτόμο της γωνίας $\displaystyle{\widehat{A\Delta B} }$ στο σημείο $\displaystyle{N}$ .
Να αποδείξετε ότι:
α) Τα σημεία $\displaystyle{A,I,\Lambda, M}$ και $\displaystyle{A,I,K,N}$ , όπου $\displaystyle{I}$ το έκκεντρο του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ , είναι ομοκυκλικά σε δύο διαφορετικούς κύκλους, έστω $\displaystyle{(c_1)}$ και $\displaystyle{(c_2)}$ , αντίστοιχα
β) Αν η $\displaystyle{A\Delta }$ ταυτιστεί με το ύψος του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ που αντιστοιχεί στη κορυφή $\displaystyle{A}$ , τότε οι κύκλοι $\displaystyle{(c_1)}$ και $\displaystyle{(c_2)}$ είναι ίσοι μεταξύ τους.

edit
διόρθωση στο 2ο

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:1. Να λυθεί στους πραγματικούς αριθμούς η εξίσωση $\displaystyle{(x^2+3x+2)^4+(x^2+x-2)^4=16(x+2)^4}$

εδώ

parmenides51 έγραψε:2. Να προσδιορίσετε την τιμή της παραμέτρου $\displaystyle{\alpha \in \mathbb{R}}$ , αν το σύστημα $\displaystyle{\left\{\alpha(x^2+y^2)+2x+y=\lambda , 2x-y =-\lambda\right\}}$ $\displaystyle{ (\Sigma)}$
έχει λύση στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ , για κάθε τιμή της παραμέτρου $\displaystyle{{\color{red}\lambda}\in \mathbb{R}}$ .

εδώ , εδώ κι εδώ (με μια παρατήρηση εδώ)

parmenides51 έγραψε:3. Η ακολουθία $\displaystyle{\alpha_n,n=0,1,2, ... }$ είναι τέτοια ώστε η ακολουθία $\displaystyle{d_n=\alpha_{n}-\alpha_{n-1}}$ με $\displaystyle{n=1,2,3,... }$ είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά $\displaystyle{\omega=\alpha_{1}-\alpha_{0}}$ .

α) Να προσδιορίσετε, συναρτήσει των $\displaystyle{\alpha_0,\omega}$ και $\displaystyle{n}$ τον γενικό όρο $\displaystyle{\alpha_n}$ και το άθροισμα $\displaystyle{S_{n+1}=\alpha_0+\alpha_1+...+\alpha_n}$

β) Αν είναι $\displaystyle{\alpha_0=1}$ και $\displaystyle{\alpha_1=7}$ , να προσδιορίσετε τον ελάχιστο θετικό ακέραιο $\displaystyle{n}$ για τον οποίο συναληθεύουν οι ανισώσεις : $\displaystyle{\alpha_n>10^3}$ και $\displaystyle{S_{n+1}\le 8\cdot 10^3}$

εδώ

parmenides51 έγραψε:4. Δίνεται οξυγώνιο σκαληνό τρίγωνο $\displaystyle{AB\Gamma}$ με $\displaystyle{AB <A\Gamma <B\Gamma}$ , εγγεγραμμένο σε κύκλο $\displaystyle{(c)}$ και τυχόν σημείο $\displaystyle{\Delta}$ της πλευράς $\displaystyle{B\Gamma}$ .
Η διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\widehat{B}}$ , τέμνει τον κύκλο $\displaystyle{(c)}$ στο σημείο $\displaystyle{\Sigma}$ , τη διχοτόμο της γωνίας $\displaystyle{\widehat{A\Delta B} }$ στο σημείο $\displaystyle{ K}$ και τη διχοτόμο της γωνίας $\displaystyle{\widehat{A\Delta \Gamma} }$ στο σημείο $\displaystyle{M}$ .
Η διχοτόμος της γωνίας $\displaystyle{\widehat{\Gamma} }$ , τέμνει τον κύκλο $\displaystyle{(c)}$ στο σημείο $\displaystyle{T}$ , τη διχοτόμο της γωνίας $\displaystyle{\widehat{A\Delta \Gamma} }$ στο σημείο $\displaystyle{\Lambda}$ και τη διχοτόμο της γωνίας $\displaystyle{\widehat{A\Delta B} }$ στο σημείο $\displaystyle{N}$ .
Να αποδείξετε ότι:
α) Τα σημεία $\displaystyle{A,I,\Lambda, M}$ και $\displaystyle{A,I,K,N}$ , όπου $\displaystyle{I}$ το έκκεντρο του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ , είναι ομοκυκλικά σε δύο διαφορετικούς κύκλους, έστω $\displaystyle{(c_1)}$ και $\displaystyle{(c_2)}$ , αντίστοιχα
β) Αν η $\displaystyle{A\Delta }$ ταυτιστεί με το ύψος του τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ που αντιστοιχεί στη κορυφή $\displaystyle{A}$ , τότε οι κύκλοι $\displaystyle{(c_1)}$ και $\displaystyle{(c_2)}$ είναι ίσοι μεταξύ τους.

εδώ κι εδώ, υποδείξεις: εδώ κι εδώ

Σχόλιο για το 4ο: ο περιγεγραμμένος κύκλος και τα σημεία $\displaystyle{T,S}$ είναι περιττά δεδομένα

edit
διόρθωση στην εκφώνηση στο 2ο

Νίκος Αϊνστάιν · #3

parmenides51 έγραψε:2. Να προσδιορίσετε την τιμή της παραμέτρου $\displaystyle{\alpha \in \mathbb{R}}$ , αν το σύστημα $\displaystyle{\left\{\alpha(x^2+y^2)+2x+y=\lambda , 2x-y =-\lambda\right\}}$ $\displaystyle{ (\Sigma)}$
έχει λύση στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ , για κάθε τιμή της παραμέτρου $\displaystyle{\alpha \in \mathbb{R}}$ .

Νομίζω ότι πρέπει να αλλαχθούν τα κόκκινα γράμματα ως εξής:
"για κάθε τιμή της παραμέτρου $\displaystyle{\lambda \in \mathbb{R}}$ ."

parmenides51 · #4

θενξ, διορθώθηκε

ΘΑΛΗΣ 2011 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΑΛΗΣ 2011 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2011 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2011 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Re: ΘΑΛΗΣ 2011 - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μέλη σε σύνδεση