Με γραμμική απεικόνιση!

sokratis lyras · #1

Έστω $\displaystyle f: \mathbb F^{nxn}\rightarrow \mathbb F$ μια γραμμική απεικόνιση τέτοια ώστε f(AB)=f(BA)

για κάθε $A,B\in \mathbb F^{nxn}$ .
Να δειχθεί ότι υπάρχει $k\in \mathbb F$ έτσι ώστε $f(A)=k\cdot tr(A)$ δια κάθε

.

#2

Για $\displaystyle{i,j \in \left\{ {1,2, \ldots ,n} \right\}}$ θεωρούμε τον πίνακα $\displaystyle{{E_{ij}}}$ με

στη θέση $\displaystyle{\left( {i,j} \right)}$ και όλα τα άλλα στοιχεία του ίσα με

. Παρατηρούμε ότι

$\displaystyle{{E_{ij}}{E_{kl}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {O,}&{j \ne k}\\ {{E_{il}},}&{j = k} \end{array}} \right.}$

και άρα για κάθε $\displaystyle{i,j \in \left\{ {1,2, \ldots ,n} \right\}}$ με $\displaystyle{i \ne j}$ έχουμε ότι

$\displaystyle{{E_{ij}} = {E_{i1}}{E_{1j}},}$

οπότε από την υπόθεση

$\displaystyle{f\left( {{E_{ij}}} \right) = f\left( {{E_{i1}}{E_{1j}}} \right) = f\left( {{E_{1j}}{E_{i1}}} \right) = f\left( O \right) = 0.}$

Επίσης, για κάθε $\displaystyle{i,j \in \left\{ {1,2, \ldots ,n} \right\}}$ έχουμε ότι

$\displaystyle{f\left( {{E_{ii}}} \right) = f\left( {{E_{i1}}{E_{1i}}} \right) = f\left( {{E_{1i}}{E_{i1}}} \right) = f\left( {{E_{11}}} \right).}$

Τώρα, έστω $\displaystyle{A = \left( {{a_{ij}}} \right) \in \mathbb{F}^{n \times n}$ . Παρατηρούμε ότι

$\displaystyle{A = \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {{a_{ij}}{E_{ij}}} } }$

και άρα από τη γραμμικότητα της

,

$\displaystyle{f\left( A \right) = f\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {{a_{ij}}{E_{ij}}} } } \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {{a_{ij}}f\left( {{E_{ij}}} \right)} = } \sum\limits_{i = 1}^n {{a_{ii}}} f\left( {{E_{ii}}} \right) = f\left( {{E_{11}}} \right)\sum\limits_{i = 1}^n {{a_{ii}}} = k \cdot {\rm{tr}}\left( A \right),}$

όπου $\displaystyle{k: = f\left( {{E_{11}}} \right) \in \mathbb{F}.}$

Με γραμμική απεικόνιση!

Με γραμμική απεικόνιση!

Re: Με γραμμική απεικόνιση!

Μέλη σε σύνδεση