Κατασκευή

[Φωτεινή]

Να χαράξετε κύκλο , ο οποίος να διέρχεται από σταθερό σημείο Α,να εφάπτεται σε σταθερή ευθεία (ε) και σε κύκλο κέντρου Ο

[R BORIS]

Ένα ωραίο άρθρο για αυτήν την Απολλώνια κατασκευή βρίσκεται στην Wikipedia Απολλώνιο πρόβλημα με πολλές ενδιαφέρουσες γενικεύσεις

http://www.google.gr/url?sa=t&source=we ... wgOzXsIVkg

[R BORIS]

Λύση

Έστω (Κ) ο ζητούμενος με κέντρο το Κ ο οποίος εφάπτεται της (ε) στο Β και του δοσμένου (Ο) στο Γ
Φέρνουμε την ΒΓ η οποία επανατέμνει τον (Ο) στο Δ
Τα ισοσκελή τρίγωνα ΚΒΓ και ΟΓΔ έχουν τις γωνίες ΚΓΒ και ΟΓΔ ίσες άρα και τις ΚΒΓ και ΓΔΟ που σημαίνει ότι ΟΔ // ΚΒ και οι δυο τους κάθετες στην (ε)
τότε Δ =σταθερό
Φέρνουμε την ΔΑ (Α το δοσμένο σημείο από το οποίο διέρχεται ο (Κ)) που επανατέμνει τον (Κ) στο Ε
τότε ΔΑ.ΔΕ=ΔΒ.ΔΓ=ΔΖ.ΔΗ όπου Ζ,Η είναι τα σημεία στα οποία η ΔΟ τέμνει τον κύκλο (Ο) και την ευθεία (ε) αντίστοιχα.
Επειδή τα Ζ και Η είναι σταθερά και το Ε βρίσκεται πάνω στην ΔΑ, τότε και το Ε είναι σταθερό.
Άρα το πρόβλημα ανάγεται στο να κατασκευαστεί κύκλος διερχόμενος δια των σημείων Α, Ε και εφαπτόμενος της ευθείας (ε).
Το πρόβλημα αυτό θεωρείται ευκολότερο του αρχικού
Έστω Μ το σημείο στο οποίο η ΑΕ τέμνει την (ε) τότε το Μ είναι σταθερό και επειδή ΜΒ^2=ΜΑ.ΜΕ και το Β προκύπτει σταθερό
Τελικά έχουμε να γράψουμε κύκλο από τα Α,Ε,Β οπότε το Κ είναι το περίκεντρο του τριγώνου ΑΕΒ και ακτίνα του η ΚΑ

Βεβαίως απαιτείται διερεύνηση , απόδειξη , κατασκευή αλλά για λόγους οικονομίας παραλείπεται

[Φωτεινή]

Ροδόλφε,σε ευχαριστώ πολύ

[Σεραφείμ]

Μια άλλη αντιμετώπιση είναι με γεωμετρία Ιησουϊτών. Με πόλο αντιστροφής το σημείο Α, και τυχαίο λόγο, ο κύκλος Ο αντιστρέφεται σε κύκλο, η ευθεία (ε) σε κύκλο και ο ζητούμενος (αντεστραμένος) είναι κοινή εφαπτόμενη ευθεία των παραπάνω αντεστραμένων κύκλων. Βρίσκουμε τις εφαπτόμενες ευθείες και μα αντιστροφή του σχήματος με αντίστροφο λόγο, παίρνουμε τον ή τους ζητούμενους κύκλους (πολύ αντιστρ.. έπεσε)!