πολυωνυμική συνάρτηση

Ιστοσελίδα · #1

Για τη πολυωνυμική συνάρτηση P(x)

ισχύει η σχέση
P(x+4)=P(x-4)

για κάθε $x\in\mathbb{R}$

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση P(x)

είναι σταθερή.

Μου την έδωσε μαθητής και έχω κάνει μια λύση αλλά μπάζει από παντού!!!!

kostas_zervos · #2

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:Για τη πολυωνυμική συνάρτηση ισχύει η σχέση
για κάθε $x\in\mathbb{R}$

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι σταθερή.

Μου την έδωσε μαθητής και έχω κάνει μια λύση αλλά μπάζει από παντού!!!!

Είναι $P(x+4+4)=P(x+4-4)\iff P(x+8)=P(x)$ .

Επομένως $P(0)=P(8)=P(16)=\cdots=P(8\cdot n)$ για κάθε $n\in\Bbb{N}$ .

Έστω f(x)=P(x)-P(0)

.

Αν υποθέσουμε ότι το f(x)

δεν είναι το μηδενικό και έστω

ο βαθμός του , τότε έχουμε $f(8\cdot m)=0$ για κάθε $m\in\Bbb{N}$ , άρα $f(x)=ax(x-8)\cdots (x-8m-8)\;,\;m\in\Bbb{N}$ με $a\neq 0$ .

Άρα $f(8m)=0\iff$

$\iff a8m(8m-8)\cdots (8m-8m-8)=0\iff a=0$ ΑΤΟΠΟ.

Άρα $f(x)=0\iff P(x)=P(0)$ .

#3

Καλημέρα σας,

Η βασική ιδέα, όπως δείχνει και η παραπάνω λύση, είναι ότι

Πολυωνυμική+περιοδική=σταθερή.

Η περίπτωση αυτή έχει συζητηθεί πολλές φορές στο forum στο παρελθόν. Μια πρόχειρη αναζήτηση δίνει τα

θέματα εδώ, εδώ, εδώ...(κι άλλα..)

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ιστοσελίδα · #4

Kώστα - Αχιλλέα

είχα άλλο προσανατολισμό και η λύση μου τελικά είναι λάθος

ευχαριστώ πολύ.

πολυωνυμική συνάρτηση

πολυωνυμική συνάρτηση

Re: πολυωνυμική συνάρτηση

Re: πολυωνυμική συνάρτηση

Re: πολυωνυμική συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση