Ελάχιστο εμβαδόν

KARKAR · #1

: Ελάχιστο εμβαδόν.png (8.56 KiB) Προβλήθηκε 314 φορές

Η εφαπτομένη του κύκλου (x-4)^2+(y-4)^2=9

, σε τυχόν σημείο του

,

τέμνει τους θετικούς ημιάξονες στα σημεία A,B

. Βρείτε το ελάχιστο του (OAB)

Christos.N · #2

Καλημέρα , δίνεται μια αντιμετώπιση που κάνει μια ισχυρή υπόθεση (διαισθητική), θα διαπιστωθεί αν ευσταθεί.
Βρίσκουμε το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από την ευθεία που διέρχεται από το κέντρο του κύκλου και τέμνει τους θετικούς ημιάξονες και στη συνέχεια την ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon )}$ αυτή που το σχηματίζει.

: Καταγραφή.PNG (11.35 KiB) Προβλήθηκε 259 φορές

$\displaystyle{ \begin{array}{l} \left. \begin{array}{l} (\varepsilon ):\,y = ax + b \\ K(4,4) \in (\varepsilon ) \Rightarrow b = 4 - 4a \\ \end{array} \right\} \Rightarrow (\varepsilon ):y = ax + 4 - 4a.,\,\left( {a \in R^* } \right) \\ \\ A':\left. \begin{array}{l} (\varepsilon ) \\ Ox \\ \end{array} \right\} \Rightarrow \left. \begin{array}{l} y = ax + 4 - 4a \\ y = 0,x > 0 \\ \end{array} \right\} \Rightarrow \left. \begin{array}{l} x = \frac{{4a - 4}}{a} \\ x > 0 \\ \end{array} \right\} \Rightarrow x = \frac{{4a - 4}}{a},\,\,a < 0 \wedge a > 1 \\ \\ B':\left. \begin{array}{l} (\varepsilon ) \\ Oy \\ \end{array} \right\} \Rightarrow \left. \begin{array}{l} y = ax + 4 - 4a \\ x = 0,y > 0 \\ \end{array} \right\} \Rightarrow \left. \begin{array}{l} y = 4 - 4a \\ y > 0 \\ \end{array} \right\} \Rightarrow y = 4 - 4a,\,\,a < 1 \\ \\ \left( {OA'B'} \right) = \frac{1}{2}\left( {4 - 4a} \right)\left( {\frac{{4a - 4}}{a}} \right) = - 8\frac{{\left( {a - 1} \right)^2 }}{a} = - 8\left( {a + \frac{1}{a} - 2} \right),a < 0 \\ \\ \left( {a + 1} \right)^2 \ge 0 \Rightarrow a^2 + 1 \ge - 2a\mathop \Rightarrow \limits^{a < 0} a + \frac{1}{a} \le - 2 \Rightarrow a + \frac{1}{a} - 2 \le - 4 \Rightarrow \left( {OA'B'} \right) \ge 32 \Rightarrow \left( {OA'B'} \right)_{\min } = 32/a = - 1 \Rightarrow (\varepsilon ):y = - x + 8 \\ \end{array} }$

Τέλος βρίσκουμε την παράλληλη εφαπτόμενη ευθεία $\displaystyle{(\varepsilon _1 )}$ του κύκλου, εγγύτερα της αρχής των αξόνων, και το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει με τους θετικούς ημιάξονες.

$\displaystyle{ \begin{array}{l} (\varepsilon _1 ):y = - x + b \\ \\ d\left( {(\varepsilon ),(\varepsilon _1 )} \right) = \frac{{|8 - b|}}{{\sqrt {1 + ( - 1)^2 } }} = 3 \Rightarrow |8 - b| = 3\sqrt 2 \Rightarrow b = 8 - 3\sqrt 2 \Rightarrow (\varepsilon _1 ):y = - x + 8 - 3\sqrt 2 \\ \\ A:\left. \begin{array}{l} (\varepsilon ) \\ Ox \\ \end{array} \right\} \Rightarrow x = 8 - 3\sqrt 2 \\ \\ B:\left. \begin{array}{l} (\varepsilon ) \\ Oy \\ \end{array} \right\} \Rightarrow y = 8 - 3\sqrt 2 \\ \\ \left( {OAB} \right)_{\min } = \frac{1}{2}\left( {8 - 3\sqrt 2 } \right)^2 \\ \end{array} }$

Και όπως ήταν πολύ φυσικό η διαίσθηση μου με πρόδωσε....

Ελάχιστο εμβαδόν

Ελάχιστο εμβαδόν

Re: Ελάχιστο εμβαδόν

Μέλη σε σύνδεση