Ζητείται Γ.Α.Τ.Ι.
Συντονιστής: gbaloglou
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Ζητείται Γ.Α.Τ.Ι.
Γεια σας.
Στο σχήμα έχουμε τρίγωνο με και
Θεωρούμε τα σημεία της πλευράς τέτοια ώστε
Ζητούμενο : Να αποδειχθεί η σχέση .
Η σχέση αυτή είναι ισοδύναμη με τριγωνομετρικό τύπο.
Αν ο τύπος θεωρηθεί με δεδομένη ισχύ τότε το ζητούμενο προκύπτει άμεσα !
Όμως εδώ ζητάμε το αντίθετο : Θέλουμε ν' αποδείξουμε την σχέση , κατά πρώτο λόγο,
μέσα στα πλαίσια της Ευκλείδειας Γεωμετρίας .
Έτσι θα έχει αποδειχθεί -Γεωμετρικά- η ισχύς του ισοδύναμου τριγ. τύπου .
Βεβαίως , στην συνέχεια , είναι ευπρόσδεκτες και λύσεις με κάθε τρόπο.
Φιλικά Γιώργος.
Στο σχήμα έχουμε τρίγωνο με και
Θεωρούμε τα σημεία της πλευράς τέτοια ώστε
Ζητούμενο : Να αποδειχθεί η σχέση .
Η σχέση αυτή είναι ισοδύναμη με τριγωνομετρικό τύπο.
Αν ο τύπος θεωρηθεί με δεδομένη ισχύ τότε το ζητούμενο προκύπτει άμεσα !
Όμως εδώ ζητάμε το αντίθετο : Θέλουμε ν' αποδείξουμε την σχέση , κατά πρώτο λόγο,
μέσα στα πλαίσια της Ευκλείδειας Γεωμετρίας .
Έτσι θα έχει αποδειχθεί -Γεωμετρικά- η ισχύς του ισοδύναμου τριγ. τύπου .
Βεβαίως , στην συνέχεια , είναι ευπρόσδεκτες και λύσεις με κάθε τρόπο.
Φιλικά Γιώργος.
- nsmavrogiannis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4455
- Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 7:13 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
- Επικοινωνία:
Re: Ζητείται Γ.Α.Τ.Ι.
Γεια σας
Η γεωμετρική κατάστρωση δεν παρουσιάζει δυσκολία. Κάποια φασαρία έχει το σκέλος του αλγεβρικού χειρισμού.
Στο ακόλουθο σχήμα ζητάμε το συναρτήσεις των και .
Χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα και το Θεώρημα της Διχοτόμου έχουμε:
Οπότε:
και
Λύνοντας την τελευταία έχουμε ή . Δεκτή είναι η δεύτερη οπότε:
Άρα:
αλλά και
Είναι:
και εξισώνοντας βρίσκουμε:
'Αρα
Δηλαδή (εδώ είναι το σημείο που έχει πράξεις: για την παραγοντοποίηση κατέφυγα στο Maple):
Ή θα είναι που δίνει δηλαδή πράγμα αδύνατον
'Η θα είναι από την οποία προκύπτει:
Άρα
Τελικά λοιπόν
και θέτοντας βρίσκουμε
δηλαδή το αποδεικτέο.
Στην ουσία έχουμε, με ένα κοπιώδη τρόπο, καταλήξει στην σχέση .
Μαυρογιάννης
Η γεωμετρική κατάστρωση δεν παρουσιάζει δυσκολία. Κάποια φασαρία έχει το σκέλος του αλγεβρικού χειρισμού.
Στο ακόλουθο σχήμα ζητάμε το συναρτήσεις των και .
Χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα και το Θεώρημα της Διχοτόμου έχουμε:
Οπότε:
και
Λύνοντας την τελευταία έχουμε ή . Δεκτή είναι η δεύτερη οπότε:
Άρα:
αλλά και
Είναι:
και εξισώνοντας βρίσκουμε:
'Αρα
Δηλαδή (εδώ είναι το σημείο που έχει πράξεις: για την παραγοντοποίηση κατέφυγα στο Maple):
Ή θα είναι που δίνει δηλαδή πράγμα αδύνατον
'Η θα είναι από την οποία προκύπτει:
Άρα
Τελικά λοιπόν
και θέτοντας βρίσκουμε
δηλαδή το αποδεικτέο.
Στην ουσία έχουμε, με ένα κοπιώδη τρόπο, καταλήξει στην σχέση .
Μαυρογιάννης
Αν κανείς δεν ελπίζει, δεν θα βρεί το ανέλπιστο, οι δρόμοι για το ανεξερεύνητο θα είναι κλειστοί.
Ηράκλειτος
Ηράκλειτος
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Ζητείται Γ.Α.Τ.Ι.
Kαλημέρα .
Θέλω να ευχαριστήσω πολύ τον Γενικό συντονιστή του κ. Νίκο Μαυρογιάννη για τον πολύτιμο χρόνο του που διέθεσε
και τον - όχι και λίγο - κόπο του , μέχρι να δώσει λύση (σύμφωνη και με τον περιορισμό που τέθηκε)
στο παρόν πρόβλημα.
Επίσης να αναλάβω την ηθική υποχρέωση ότι προσεχώς ( πάνω-κάτω σε μια εβδομάδα ), θα υποβάλω και την προσωπική μου Γεωμετρική προσέγγιση για την απόδειξη της ζητούμενης σχέσης.
Φιλικά Γιώργος.
Θέλω να ευχαριστήσω πολύ τον Γενικό συντονιστή του κ. Νίκο Μαυρογιάννη για τον πολύτιμο χρόνο του που διέθεσε
και τον - όχι και λίγο - κόπο του , μέχρι να δώσει λύση (σύμφωνη και με τον περιορισμό που τέθηκε)
στο παρόν πρόβλημα.
Επίσης να αναλάβω την ηθική υποχρέωση ότι προσεχώς ( πάνω-κάτω σε μια εβδομάδα ), θα υποβάλω και την προσωπική μου Γεωμετρική προσέγγιση για την απόδειξη της ζητούμενης σχέσης.
Φιλικά Γιώργος.
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Ζητείται Γ.Α.Τ.Ι.
Καλημέρα από την Άρτα.
Ας υποβάλω την προσωπική μου προσέγγιση επί του θέματος. Κατ' αρχήν ας δείξουμε την σχέση : ..
Από το Θ.διχοτόμου είναι
Άρα
που ισχύει (Πυθαγόρειο στο ορθ. ) συνεπώς η ισχύει .
Στην συνέχεια θα δείξουμε την σχέση
Για την απόδειξη αυτής θα κάνουμε χρήση των παρακάτω :
Στο σχήμα είναι οπότε το είναι ήδη εγγεγραμμένο άρα από Θ Πτολεμαίου
Τα τρίγωνα είναι όμοια αφού έχουν την κοινή και (βαίνουν στο τόξο )
άρα είναι
Ακόμη και στα ορθ :
ενώ από το εγγεγραμμένο παίρνουμε .
Έτσι έχουμε :
που βεβαίως ισχύει, άρα ισχύει και η .
Είναι ώρα (..αν και προχωρημένη ) να συνδέσουμε τις δύο σχέσεις που αποδείξαμε.
Τα ορθ. τρίγωνα είναι προφανώς όμοια οπότε
επομένως προκύπτει : και λόγω της
.
Γίνεται φανερό ότι με την ουσιαστικά δείξαμε την τριγωνομετρική σχέση
ενώ με την την
με τελικό σκοπό να βρεθεί : Γεωμετρική Απόδειξη (της) Τριγωνομετρικής Ισότητας :
Φιλικά Γιώργος.
Y.Γ. διόρθωσα-ζητώντας την κατανόησή σας- ..αβλεψίες κατά την πληκτρολόγηση .
Ας υποβάλω την προσωπική μου προσέγγιση επί του θέματος. Κατ' αρχήν ας δείξουμε την σχέση : ..
Από το Θ.διχοτόμου είναι
Άρα
που ισχύει (Πυθαγόρειο στο ορθ. ) συνεπώς η ισχύει .
Στην συνέχεια θα δείξουμε την σχέση
Για την απόδειξη αυτής θα κάνουμε χρήση των παρακάτω :
Στο σχήμα είναι οπότε το είναι ήδη εγγεγραμμένο άρα από Θ Πτολεμαίου
Τα τρίγωνα είναι όμοια αφού έχουν την κοινή και (βαίνουν στο τόξο )
άρα είναι
Ακόμη και στα ορθ :
ενώ από το εγγεγραμμένο παίρνουμε .
Έτσι έχουμε :
που βεβαίως ισχύει, άρα ισχύει και η .
Είναι ώρα (..αν και προχωρημένη ) να συνδέσουμε τις δύο σχέσεις που αποδείξαμε.
Τα ορθ. τρίγωνα είναι προφανώς όμοια οπότε
επομένως προκύπτει : και λόγω της
.
Γίνεται φανερό ότι με την ουσιαστικά δείξαμε την τριγωνομετρική σχέση
ενώ με την την
με τελικό σκοπό να βρεθεί : Γεωμετρική Απόδειξη (της) Τριγωνομετρικής Ισότητας :
Φιλικά Γιώργος.
Y.Γ. διόρθωσα-ζητώντας την κατανόησή σας- ..αβλεψίες κατά την πληκτρολόγηση .
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Ζητείται Γ.Α.Τ.Ι.
Χαίρετε ! Επανέρχομαι στο παρόν θέμα για μια νέα απόδειξη
εκφράζοντας ένα τεράστιο ευχαριστώ στον ΓΕΩΜΕΤΡΗ και άφθαστο καλλιτέχνη Μιχάλη Νάννο
για την ιδέα που μου έδωσε η θαυμάσια λύση του στο θέμα τούτο. Με χρήση του σχήματος : Το είναι το συμμετρικό του ως προς την . Έστω και
Η είναι διχοτόμος στο τρίγωνο οπότε με το Θ. διχοτόμου προκύπτει
Υψώνουμε στο τετράγωνο και κάνουμε τις πράξεις για να οδηγήσουμε την εξίσωση (με άγνωστο το ) στη μορφή
.
Θεωρούμε το α' μέλος ως πολυώνυμο , κάνουμε παραγοντοποίηση (με σχήμα Horner και )
και παίρνουμε
Είναι και άρα .
Προφανώς και συνεπώς ο τύπος αποδείχθηκε !
Ευχαριστώ για την προσοχή σας ... Φιλικά Γιώργος.
εκφράζοντας ένα τεράστιο ευχαριστώ στον ΓΕΩΜΕΤΡΗ και άφθαστο καλλιτέχνη Μιχάλη Νάννο
για την ιδέα που μου έδωσε η θαυμάσια λύση του στο θέμα τούτο. Με χρήση του σχήματος : Το είναι το συμμετρικό του ως προς την . Έστω και
Η είναι διχοτόμος στο τρίγωνο οπότε με το Θ. διχοτόμου προκύπτει
Υψώνουμε στο τετράγωνο και κάνουμε τις πράξεις για να οδηγήσουμε την εξίσωση (με άγνωστο το ) στη μορφή
.
Θεωρούμε το α' μέλος ως πολυώνυμο , κάνουμε παραγοντοποίηση (με σχήμα Horner και )
και παίρνουμε
Είναι και άρα .
Προφανώς και συνεπώς ο τύπος αποδείχθηκε !
Ευχαριστώ για την προσοχή σας ... Φιλικά Γιώργος.
Re: Ζητείται Γ.Α.Τ.Ι.
Η κάθετη στο άκρο τέμνει την στο . Γράφω, προς το μέρος του το ημικύκλιο διαμέτρου και κέντρου , στο οποίο η είναι εφαπτομένη .
Η σειρά είναι αρμονική.
Αλλά αφού και η σειρά , είναι αρμονική .
Αν (δεδομένο) και αφού .
Θέτω τώρα . Έτσι :
. Από τις πιο πάνω αρμονικές σημειοσειρές έχω:
και άρα
Οπότε και λόγω της ..
Η σειρά είναι αρμονική.
Αλλά αφού και η σειρά , είναι αρμονική .
Αν (δεδομένο) και αφού .
Θέτω τώρα . Έτσι :
. Από τις πιο πάνω αρμονικές σημειοσειρές έχω:
και άρα
Οπότε και λόγω της ..
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες