Ιδιάζουσα εξίσωση

Al.Koutsouridis · #1

Να λυθεί η εξίσωση:

$\dfrac{(x^2 - x + 1)}{x^2(x - 1)^2} = \dfrac{(a^2 - a + 1)}{a^2(a - 1)^2}$ , για a > 1

.

#2

Al.Koutsouridis έγραψε:Να λυθεί η εξίσωση:

$\dfrac{(x^2 - x + 1)}{x^2(x - 1)^2} = \dfrac{(a^2 - a + 1)}{a^2(a - 1)^2}$ , για .

Η εξίσωση είναι τεταρτοβάθμια άρα έχουμε

ρίζες με προφανή την

. Αν ονομάσουμε f(x)

το αριστερό μέλος, είναι άμεσο (απλές πράξεις) ότι ισχύει f(x)=f(1-x)= f(1/x)

. Με χρήση αυτών και με "ανάδραση" έχουμε να προσθέσουμε ακόμη και άλλη μία ισότητα:

f(x)=f(1-x)= f(1/x)= f(1-1/x)

(H προσθήκη της τελευαταίας ισότητας μπορεί να επαληθευτεί απευθείας. Έγραψα το παραπάνω περί "ανάδρασης" για να δικαιολογήσω "που το σκέφτηκα" και για να δείξω ότι μπορούμε να γλυτώσουμε τις πράξεις).

Άρα από την ρίζα

έχουμε αμέσως αμέσως και τις $1-a, \, 1/a, \, 1-1/a$ που εύκολα βλέπουμε από την υπόθεση a>1

ότι είναι όλες διαφορετικές. Τελειώσαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης

nikoszan · #3

$\frac{{({x^2} - x + 1)}}{{{x^2}{{(x - 1)}^2}}} = \frac{{({a^2} - a + 1)}}{{{a^2}{{(a - 1)}^2}}}:\left( 1 \right),x \ne 0,x \ne 1$ .
Θέτω $r = {x^2} - x,b = {a^2} - a$ ,οπότε έχουμε $\frac{{r + 1}}{{{r^2}}} = \frac{{b + 1}}{{{b^2}}} \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow b = r \vee \left( {b + 1} \right)r + b = 0$
Είναι $b = r \Leftrightarrow {x^2} - x = {a^2} - a \Leftrightarrow \left( {x = a \vee x = 1 - a} \right)$ ,έτσι δύο ρίζες της εξισωσης $\left( 1 \right)$ ειναι :a,1 - a

Ακόμη έχουμε $\left( {b + 1} \right)r + b = 0 \Leftrightarrow \left( {b + 1} \right){x^2} - \left( {b + 1} \right)x + b = 0:\left( 2 \right)$
Είναι $D = \left( {b + 1} \right)\left( {1 - 3b} \right) = - \left( {{a^2} - a + 1} \right)\left( {3{a^2} - 3a - 1} \right)$ .
1)Αν $a \in \left( {1,\frac{{3 + \sqrt {21} }}{6}} \right)$ ,τότε D > 0

και η εξίσωση $\left( 2 \right)$ έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες ,που είναι οι ${x_{1,2}} = \frac{{{a^2} - a + 1 \pm \sqrt {\left( {{a^2} - a + 1} \right)\left( { - 3{a^2} + 3a + 1} \right)} }}{{2\left( {{a^2} - a + 1} \right)}}$
2)Αν $a = \frac{{3 + \sqrt {21} }}{6}$ ,τότε η εξίσωση $\left( 2 \right)$ έχει μία διπλή ρίζα την ${x_0} = \frac{1}{2}$
3)Αν $a > \frac{{3 + \sqrt {21} }}{6}$ ,τότε η εξίσωση $\left( 2 \right)$ έχει δύο μιγαδικές συζυγείς ρίζες ${x_{1,2}} = \frac{{{a^2} - a + 1 \pm i\sqrt {\left( {{a^2} - a + 1} \right)\left( {3{a^2} - 3a - 1} \right)} }}{{2\left( {{a^2} - a + 1} \right)}}$
Επομένως για το σύνολο

των ριζών της εξισωσης $\left( 1 \right)$ έχουμε
1)Αν $a \in \left( {1,\frac{{3 + \sqrt {21} }}{6}} \right)$ ,τότε $L = \left\{ {a,1 - a,\frac{{{a^2} - a + 1 + \sqrt {\left( {{a^2} - a + 1} \right)\left( { - 3{a^2} + 3a + 1} \right)} }}{{2\left( {{a^2} - a + 1} \right)}},\frac{{{a^2} - a + 1 - \sqrt {\left( {{a^2} - a + 1} \right)\left( { - 3{a^2} + 3a + 1} \right)} }}{{2\left( {{a^2} - a + 1} \right)}}} \right\}$
2)Αν $a = \frac{{3 + \sqrt {21} }}{6}$ ,τότε $L = \left\{ {\frac{{3 + \sqrt {21} }}{6},\frac{{3 - \sqrt {21} }}{6},\frac{1}{2}} \right\}$
3)Αν $a > \frac{{3 + \sqrt {21} }}{6}$ ,τότε $L = \left\{ {a,1 - a,\frac{{{a^2} - a + 1 + i\sqrt {\left( {{a^2} - a + 1} \right)\left( {3{a^2} - 3a - 1} \right)} }}{{2\left( {{a^2} - a + 1} \right)}},\frac{{{a^2} - a + 1 - i\sqrt {\left( {{a^2} - a + 1} \right)\left( {3{a^2} - 3a - 1} \right)} }}{{2\left( {{a^2} - a + 1} \right)}}} \right\}$
Ν.Ζ.

Al.Koutsouridis · #4

Το κατέστρεψα το θέμα πάλι διότι εξ αβλεψίας ξεχασα να υψώσω τους αριθμητές στον κύβο. Το σωστό είναι να λύσετε την εξίσωση:

$\dfrac{(x^2 - x + 1)^3}{x^2(x - 1)^2} = \dfrac{(a^2 - a + 1)^3}{a^2(a - 1)^2}$ , για a > 1

Σκοπός ήταν να αναδηχθεί η τεχνική που εφάρμοσε ο κύριος Λάμπρου.

Αλλά ευχαριστώ πολύ και τον nikoszan για το χρόνο και την επίλυση της λάθος εξίσωσης.

Η εξίσωση είναι τώρα έκτου βαθμού και σύμφωνα με την "ανάδραση" έχει ως λύση τις

$a, \frac{1}{a}, 1-a, \frac{1}{1-a}, 1-\frac{1}{a}, \frac{a}{1-a}$

Στην περίπτωση που ο αριθμητής δεν είναι υψωμένος στο κύβο η παράσταση για

και $\frac{1}{x}$ δεν παίρνει
την ίδια μορφή οπότε και οδηγούμαστε στη λύση του nikoszan

#5

Al.Koutsouridis έγραψε: $\dfrac{(x^2 - x + 1)^3}{x^2(x - 1)^2} = \dfrac{(a^2 - a + 1)^3}{a^2(a - 1)^2}$ , για

Σωστά. Το πρωί έγραφα υπό πίεση (*) και έκανα λάθος τις πράξεις για την περίπτωση του f(1/x)

. Με τον σωστό εκθέτη

, οι πράξεις ξαναγίνονται σωστές.

Ευχαριστώ τον Νίκο (nikoszan) που μου επεσήμανε σε Π.Μ. ότι το f(1/x)

δεν ισούται με τα f(x)= f(1-x)

στην αρχική διατύπωση. Με την νέα διατύπωση, σώζεται. Τι τύχη.

Και ένα ακόμη σχόλιο: Επειδή η καμπύλη y=f(x)

του αριστερού μέλους αποτελείται από τρία

με κάθετες ασύμπτωτες στα $x=0, \, x=1$ μπορεί να μην έχει έξι διαφορετικές ρίζες αλλά λιγότερες. Ο λόγος είναι γιατί έχει ολικό ελάχιστο σε τρία σημεία (τις κάτω κορυφές των

) και μάλιστα ίσες μεταξύ τους. Αν έκανα σωστά τις πράξεις το ολικό ελάχιστο είναι στο x=2

και αυτόματα (λόγω των f(2) = f(1-2)= f(1/2)

) στα $x=-1, \, x=1/2$ . Συμπεραίνουμε ότι η οριζόντια y=f(2)

εφάπτεται της καμπύλης, οπότε έχουμε διπλές ρίζες. Ως επιβεβαίωση το a=2

(η τιμή του

στο ελάχιστο) δίνει την εξίσωση

$\dfrac{(x^2 - x + 1)^3}{x^2(x - 1)^2} = \dfrac{27}{4}$

Αυτή ισοδυναμεί με την (έκανα προσεκτικά τις πράξεις)

$\displaystyle{(x-2)^2(2x-1)^2(x+1)^2=0}$

Με άλλα λόγια έχουμε τρεις διπλές ρίζες (όπως αναμενόταν) $\displaystyle{x=2, \, x=1-2=-1, \, x=1-1/2=1/2.}$

Φιλικά,

Μιχάλης.

(*) Επίκειται ο διαγωνισμός Καγκουρό που οργανώνω, ο οποίος προσεγγίζει τους

χιλιάδες μαθητές σε

Κέντρα Εξέτασης, οπότε αυτές τις μέρες τραβώ κουπί αποστέλλοντας περί τους 6 τόνους υλικό στα Κέντρα Εξέτασης!

Ιδιάζουσα εξίσωση

Ιδιάζουσα εξίσωση

Re: Ιδιάζουσα εξίσωση

Re: Ιδιάζουσα εξίσωση

Re: Ιδιάζουσα εξίσωση

Re: Ιδιάζουσα εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση