Εύρεση τύπου συνάρτησης

BILLVED · #1

Καλησπέρα.
Δίνεται συνάρτηση

παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ με $\displaystyle{f(1)=1}$ και η οποία ικανοποιεί τη σχέση:
$e^{f(x)}+f΄(x)=e^{x}+1$ για κάθε πραγματικό αριθμό x.
Να βρεθεί ο τύπος της.
Η συνάρτηση είναι η $\displaystyle{f(x)=x}$ , αλλά δεν μπορώ να το αποδείξω. Αν έχει κανείς καμία ιδέα θα ήταν ευπρόσδεκτη.

mathxl · #2

${e^{f(x)}} + f'(x) = {e^x} + 1 \Leftrightarrow$

$1 + f'\left( x \right){e^{ - f(x)}} = \left( {{e^x} + 1} \right){e^{ - f(x)}} \Leftrightarrow$

${\left( {{e^{ - f(x)}}} \right)^\prime } + \left( {{e^x} + 1} \right){e^{ - f(x)}} = 1 \Leftrightarrow$

${\left( {{e^{x + {e^x} - f\left( x \right)}}} \right)^\prime } = {\left( {{e^{{e^x}}}} \right)^\prime } \Leftrightarrow$

${e^{x + {e^x} - f\left( x \right)}} = {e^{{e^x}}} + c$

Για x = 1

είναι

.

Έχουμε

${e^{x + {e^x} - f\left( x \right)}} = {e^{{e^x}}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = x,x \in R$ .

Παρόμοια (δες την παλιά λύση) viewtopic.php?f=56&t=43445

Εύρεση τύπου συνάρτησης

Εύρεση τύπου συνάρτησης

Re: Εύρεση τύπου συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση