Διαφορι-κούλα 106

mathxl · #1

Δίνεται συνάρτηση f: [0,+∞)⟶ℝ

, δύο φορές παραγωγίσιμη, με συνεχή δεύτερη παράγωγο στο [0,+∞)

, για την οποία ισχύουν:
• $\displaystyle{f(x) = x + \int_1^\chi {\left( {\int_1^u {\frac{{{{(f'(t))}^2}}}{{f(t)}}dt} } \right)du} }$ για κάθε x > 0

• $f(x)f'(x) \ne 0$ για κάθε x > 0

και

.

Να βρείτε τον τύπο της

.

maiksoul · #2

Καλησπέρα, η συνθήκη f(0) = 0

είναι σίγουρα εντάξει; Διότι βρίσκω ότι $, f(x) = {e^{x - 1}} ,$ $,\forall x > 0 ,$ η οποία δεν ικανοποιεί το παραπάνω δεδομένο, αν και η συνάρτηση επαληθεύει την αρχική συνθήκη.

mathxl · #3

Καλό!! Όντως επαληθεύει τα πάντα (αν έκανα καλά τις πράξεις) εκτός την τιμή στο

που είναι και αρκετός λόγος για να απορριφθεί. Η πηγή στο τέλος...
Απάντηση

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Εάν θέλεις παρέθεσε τον τρόπο σου. Συνήθως οι "διαδρομές" επίλυσης είναι και οι πιο ωφέλιμες.

maiksoul · #4

maiksoul · #5

Η ταυτοτική συνάρτηση δεν επαληθεύει την αρχική συναρτησιακή σχέση, επομένως αυτό είναι αρκετό για να αποριφθεί ! .

maiksoul · #6

Είναι

Είναι $/f '(x) = 1 + \int\limits_1^x {\frac{{{{(f '(t))}^2}}}{{f(t)}}} dt/$ $,\forall x > 0 ,$ άρα ,f '(1) = ... = 1 ,

Επίσης $,\forall x > 0,$ $,f ''(x) = \frac{{{{(f '(x))}^2}}}{{f(x)}},(1)$
άρα αφού οι ,f,f ',

διατηρούν πρόσημο τότε είναι και οι δυο θετικές στο διάστημα $,(0, + \infty ),$
η ,(1),

γίνεται $,[\frac{{f '(x)}}{{f(x)}}] ' = 0, \to f '(x) = f(x)c,$ όμως εύκολα προκύπτει $,c = 1, \to f '(x) = f(x) \to f(x) = a{e^x},$ όμως εύκολα αφού $,f(1) = 1, \to a = {e^{ - 1}}$ άρα τελικά
$,f(x) = {e^{x - 1}}, \forall x > 0,$

mathxl · #7

Ουπς δεν έγραψα σωστά την σχέση...οπότε δίνω και την πηγή http://www.minedu.gov.gr/publications/d ... n_1306.pdf
Συγκεκριμένα δεν έβαλα τον άσσο στον αριθμητή.
$\displaystyle{f(x) = x + \int_1^\chi {\left( {\int_1^u {\frac{{{{(f'(t))}^2-1}}}{{f(t)}}dt} } \right)du} }$ , αυτήν είχα κατά νου και έγραψα για ταυτοτική.

Την συζητούσαμε σήμερα με ένα συνάδελφο και σκέφτηκα αν μπορώ να την βρω. Τελικά βρίσκεται και είναι η ταυτοτική!

maiksoul έγραψε: Είναι
Είναι $/f '(x) = 1 + \int\limits_1^x {\frac{{{{(f '(t))}^2}}}{{f(t)}}} dt/$ $,\forall x > 0 ,$ άρα
Επίσης $,\forall x > 0,$ $,f ''(x) = \frac{{{{(f '(x))}^2}}}{{f(x)}},(1)$
άρα αφού οι διατηρούν πρόσημο τότε είναι και οι δυο θετικές στο διάστημα $,(0, + \infty ),$
η γίνεται $,[\frac{{f '(x)}}{{f(x)}}] ' = 0, \to f '(x) = f(x)c,$ όμως εύκολα προκύπτει $,c = 1, \to f '(x) = f(x) \to f(x) = a{e^x},$ όμως εύκολα αφού $,f(1) = 1, \to a = {e^{ - 1}}$ άρα τελικά
$,f(x) = {e^{x - 1}}, \forall x > 0,$

Αυτή είναι μια ωραία λύση για την άσκηση με το τυπογραφικό μου, αλλάζοντας την αρχική συνθήκη όπως σωστά επεσήμανες εξαρχής. Απλά δεν είχα προσέξει ότι έγραψα εσφαλμένα την εκφώνηση (κακώς)

.

mathxl · #8

Μετά από τις κατάλληλες δικαιολογήσεις φτάνουμε στην $f''\left( x \right) = \frac{{{{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2} - 1}}{{f\left( x \right)}}$

Για x = 1

προκύπτει $f''\left( 1 \right) = 0$ . Επειδή στο $\left( {0, + \infty } \right)$ η $\frac{{{{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2} - 1}}{{f\left( x \right)}}$ είναι παραγωγίσιμη, έπεται ότι η

θα είναι τρεις φορές παραγωγίσιμη στο $\left( {0, + \infty } \right)$ .

Επομένως

$\displaystyle{f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) = \frac{{2f'\left( x \right)f''\left( x \right)f\left( x \right) - \left( {{{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2} - 1} \right)f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} \Rightarrow$

$\displaystyle\{f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) = \frac{{2f'\left( x \right)\left( {\frac{{{{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2} - 1}}{{f\left( x \right)}}} \right)f\left( x \right) - \left( {{{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2} - 1} \right)f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} \Rightarrow$

$\displaystyle\{f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^3} - f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} \Rightarrow$

$\displastyle\{f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) = \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2} - 1}}{{f\left( x \right)}} \Rightarrow$

$\displaystyle\{f^{\left( 3 \right)}}\left( x \right) = \frac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} \cdot f''\left( x \right) \Rightarrow$

$\displaystyle\{\left( {\frac{{f''\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} \right)^\prime } = 0 \Rightarrow \frac{{f''\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = {c_1}$

Για x = 1

προκύπτει ${c_1} = 0$
Άρα

$f''\left( x \right) = 0 \Rightarrow f'\left( x \right) = {c_2}$
Για x = 0

προκύπτει $1 = {c_2}$
Άρα $f'\left( x \right) = 1 \Rightarrow f\left( x \right) = x + {c_3}$ .
Για x = 1

προκύπτει $1 = 1 + {c_3} \Rightarrow {c_3} = 0$ .
Τελικά $f\left( x \right) = x$ , που ικανοποιεί την υπόθεση της άσκησης.

Ωραίο το θέμα στις επαναληπτικές viewtopic.php?f=133&t=37698&start=20

Διαφορι-κούλα 106

Διαφορι-κούλα 106

Re: Διαφορι-κούλα 106

Re: Διαφορι-κούλα 106

Re: Διαφορι-κούλα 106

Re: Διαφορι-κούλα 106

Re: Διαφορι-κούλα 106

Re: Διαφορι-κούλα 106

Re: Διαφορι-κούλα 106

Μέλη σε σύνδεση