Επαναληπτικές εξετάσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2013

parmenides51 · #21

τα θέματα των εσπερινών

Giorgos S · #22

η απάντηση του φίλου με την αντιπαραγώγιση πού πήγε; μου φάνηκε πολύ καλή...

fdns · #23

Χίλια συγγνώμη για την παρεξήγηση.
Διέγραψα τη λύση διότι περιείχε ένα σοβαρό λάθος.

Giorgos S · #24

είναι εύκολο να μου εξηγήσεις σύντομα;
ευχαριστω...

nikostz · #25

kostas_zervos έγραψε:Με πρόλαβε ο Γιώργος , αλλά αφού έκανα τον κόπο....
Για το Δ.

Δ1
Η είναι συνεχής στο $(0,+\infty)$ ως παραγωγίσιμη και αφού $f(x)\cdot f'(x)\neq 0$ , θα είναι $f(x)\neq 0$ για κάθε .
Επίσης η είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη , άρα $\left(f'(x)\right)^2$ συνεχής , επομένως $\displaystyle \frac{\left(f'(x)\right)^2-1}{f(x)}$ συνεχής , άρα $\displaystyle \int_{1}^{u}\frac{\left(f'(t)\right)^2-1}{f(t)}dt$ συνεχής ως παραγωγίσιμη , επομένως $\displaystyle \int_{1}^{x}\left(\int_{1}^{u}\frac{\left(f'(t)\right)^2-1}{f(t)}dt\right)du$ , παραγωγίσιμη .
Άρα $\displaystyle f'(x)=1+\int_{1}^{x}\frac{\left(f'(t)\right)^2-1}{f(t)}dt$ και $\displaystyle f''(x)=\frac{\left(f'(x)\right)^2-1}{f(x)}\iff f(x)\cdot f''(x)+1=\left(f'(x)\right)^2$ .

Δ2
α)
Αφού $f(x)\neq 0$ για κάθε και συνεχής στο $(0,+\infty)$ , θα διατηρεί σταθερό πρόσημο α' αυτό. Αλλά , άρα .

Αφού $f'(x)\neq 0$ για κάθε και συνεχής στο $(0,+\infty)$ , θα διατηρεί σταθερό πρόσημο α' αυτό. Αλλά , άρα .
β) Η είναι συνεχής στο $[0,+\infty)$ , άρα $\displaystyle f'(0)=\lim_{x\to o^+}f'(x)=\lim_{x\to o^+}1+\int_{1}^{x}\frac{\left(f'(t)\right)^2-1}{f(t)}dt=1+0=1$ (αφού η $\displaystyle \int_{1}^{x}\frac{\left(f'(t)\right)^2-1}{f(t)}dt$ είναι συνεχής ως παραγωγίσμη).

Δ3
α)
Από τη σχέση $f(x)\cdot f''(x)+1=\left(f'(x)\right)^2$ για έχουμε .

Βρίσκουμε τη εφαπτόμενη της στο :
$\displaystyle g(1)=\frac{f'(1)}{f(1)}=1$ .
$\displaystyle g'(x)=\frac{f''(x)\cdot f(x)-\left(f'(x)\right)^2}{\left(f(x)\right)^2}$ , άρα $\displaystyle g'(1)=\frac{f''(1)\cdot f(1)-\left(f'(1)\right)^2}{\left(f(1)\right)^2}=-1$ .
Έτσι η εφαπτόμενη είναι η $\varepsilon:y-1=-1(x-1) \iff y=2-x$ .

Αφού η είναι κυρτή , η θα βρίσκεται πάνω από την $(\varepsilon)$ (εκτός από το σημείο επαφής) , άρα $g(x)\geq 2-x$ για κάθε .
β)
Αφού $g(x)\geq 2-x$ και , θα είναι $f(x)\cdot g(x)\geq (2-x)\cdot f(x)\iff f(x)\cdot g(x)-(2-x)\cdot f(x)>0$ και όχι μηδέν για κάθε $x\in[0,1]$ .
Άρα $\displaystyle \int_{0}^{1}\left[f(x)\cdot g(x)-(2-x)\cdot f(x)\right]dx>0 \iff$
$\displaystyle \iff \int_{0}^{1}f(x)\cdot g(x)dx>\int_{0}^{1}(2-x)\cdot f(x)dx$ .

Αλλά $\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)\cdot g(x)dx=\int_{0}^{1}f(x)\cdot \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\int_{0}^{1}f'(x)dx=[f(x)]_{0}^{1}=$
.

Άρα $\displaystyle \int_{0}^{1}(2-x)\cdot f(x)dx<1$ .
Δ4
Αφού $f(x)\geq 0$ για κάθε $x\geq 0$ και συνεχής , το ζητούμενο εμβαδόν είναι ίσο με
$\displaystyle E=\int_{0}^{1}\left[\left(f'(x)\right)^3\right]dx=\int_{0}^{1}\left[f'(x)\cdot\left(f'(x)\right)^2\right]dx=$
$\displaystyle =\left[f(x)\cdot\left(f'(x)\right)^2\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}2f(x)\cdot f'(x)\cdot f''(x)\right]dx$

Αλλά $f(x)\cdot f''(x)=\left(f'(x)\right)^2-1$ , άρα

$\displaystyle E=1-2\cdot\int_{0}^{1}f'(x)\cdot \left[\left(f'(x)\right)^2-1\right]dx\iff$
$\displaystyle \iff E=1-2E+2\cdot\int_{0}^{1}f'(x)dx \iff$
$\displaystyle \iff E=1-2E+2 \iff$
$\displaystyle \iff E=1$ .

Στο Δ2το β γιατί το όριο κάνει μηδεν του ολοκληρώματος;

lafkasd · #26

Οι εκφωνήσεις σε Word μετά από μια μικρή επεξεργασία

ΕκφωνήσειςΜαθΚατΕπαναλ_2013.doc: (96 KiB) Μεταφορτώθηκε 326 φορές

kostas_zervos · #27

nikostz έγραψε:
kostas_zervos έγραψε:Με πρόλαβε ο Γιώργος , αλλά αφού έκανα τον κόπο....
Για το Δ.

Δ1
Η είναι συνεχής στο $(0,+\infty)$ ως παραγωγίσιμη και αφού $f(x)\cdot f'(x)\neq 0$ , θα είναι $f(x)\neq 0$ για κάθε .
Επίσης η είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη , άρα $\left(f'(x)\right)^2$ συνεχής , επομένως $\displaystyle \frac{\left(f'(x)\right)^2-1}{f(x)}$ συνεχής , άρα $\displaystyle \int_{1}^{u}\frac{\left(f'(t)\right)^2-1}{f(t)}dt$ συνεχής ως παραγωγίσιμη , επομένως $\displaystyle \int_{1}^{x}\left(\int_{1}^{u}\frac{\left(f'(t)\right)^2-1}{f(t)}dt\right)du$ , παραγωγίσιμη .
Άρα $\displaystyle f'(x)=1+\int_{1}^{x}\frac{\left(f'(t)\right)^2-1}{f(t)}dt$ και $\displaystyle f''(x)=\frac{\left(f'(x)\right)^2-1}{f(x)}\iff f(x)\cdot f''(x)+1=\left(f'(x)\right)^2$ .

Δ2
α)
Αφού $f(x)\neq 0$ για κάθε και συνεχής στο $(0,+\infty)$ , θα διατηρεί σταθερό πρόσημο α' αυτό. Αλλά , άρα .

Αφού $f'(x)\neq 0$ για κάθε και συνεχής στο $(0,+\infty)$ , θα διατηρεί σταθερό πρόσημο α' αυτό. Αλλά , άρα .
β) Η είναι συνεχής στο $[0,+\infty)$ , άρα $\displaystyle f'(0)=\lim_{x\to o^+}f'(x)=\lim_{x\to o^+}1+\int_{1}^{x}\frac{\left(f'(t)\right)^2-1}{f(t)}dt=1+0=1$ (αφού η $\displaystyle \int_{1}^{x}\frac{\left(f'(t)\right)^2-1}{f(t)}dt$ είναι συνεχής ως παραγωγίσμη).

Δ3
α)
Από τη σχέση $f(x)\cdot f''(x)+1=\left(f'(x)\right)^2$ για έχουμε .

Βρίσκουμε τη εφαπτόμενη της στο :
$\displaystyle g(1)=\frac{f'(1)}{f(1)}=1$ .
$\displaystyle g'(x)=\frac{f''(x)\cdot f(x)-\left(f'(x)\right)^2}{\left(f(x)\right)^2}$ , άρα $\displaystyle g'(1)=\frac{f''(1)\cdot f(1)-\left(f'(1)\right)^2}{\left(f(1)\right)^2}=-1$ .
Έτσι η εφαπτόμενη είναι η $\varepsilon:y-1=-1(x-1) \iff y=2-x$ .

Αφού η είναι κυρτή , η θα βρίσκεται πάνω από την $(\varepsilon)$ (εκτός από το σημείο επαφής) , άρα $g(x)\geq 2-x$ για κάθε .
β)
Αφού $g(x)\geq 2-x$ και , θα είναι $f(x)\cdot g(x)\geq (2-x)\cdot f(x)\iff f(x)\cdot g(x)-(2-x)\cdot f(x)>0$ και όχι μηδέν για κάθε $x\in[0,1]$ .
Άρα $\displaystyle \int_{0}^{1}\left[f(x)\cdot g(x)-(2-x)\cdot f(x)\right]dx>0 \iff$
$\displaystyle \iff \int_{0}^{1}f(x)\cdot g(x)dx>\int_{0}^{1}(2-x)\cdot f(x)dx$ .

Αλλά $\displaystyle \int_{0}^{1}f(x)\cdot g(x)dx=\int_{0}^{1}f(x)\cdot \frac{f'(x)}{f(x)}dx=\int_{0}^{1}f'(x)dx=[f(x)]_{0}^{1}=$
.

Άρα $\displaystyle \int_{0}^{1}(2-x)\cdot f(x)dx<1$ .
Δ4
Αφού $f(x)\geq 0$ για κάθε $x\geq 0$ και συνεχής , το ζητούμενο εμβαδόν είναι ίσο με
$\displaystyle E=\int_{0}^{1}\left[\left(f'(x)\right)^3\right]dx=\int_{0}^{1}\left[f'(x)\cdot\left(f'(x)\right)^2\right]dx=$
$\displaystyle =\left[f(x)\cdot\left(f'(x)\right)^2\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}2f(x)\cdot f'(x)\cdot f''(x)\right]dx$

Αλλά $f(x)\cdot f''(x)=\left(f'(x)\right)^2-1$ , άρα

$\displaystyle E=1-2\cdot\int_{0}^{1}f'(x)\cdot \left[\left(f'(x)\right)^2-1\right]dx\iff$
$\displaystyle \iff E=1-2E+2\cdot\int_{0}^{1}f'(x)dx \iff$
$\displaystyle \iff E=1-2E+2 \iff$
$\displaystyle \iff E=1$ .
Στο Δ2το β γιατί το όριο κάνει μηδεν του ολοκληρώματος;

Δίκιο το διόρθωσα...

cristsuk · #28

Και τα θέματα των Εσπερινών σε Word. Οι διαφορές με των Γενικών:
Ίδιο Θέμα Α (1 Σ-Λ διαφορετικό)
Ίδιο Θέμα Β (χωρίς το Β4)
Ίδιο Θέμα Γ (διαφορετικό Γ4)
Άλλο Θέμα Δ

pito · #29

Τα θέματα των επαναληπτικών κατεύθυνσης είναι για μένα πολύ έξυπνα , με το θέμα Δ να είναι ιδιαίτερα εμπνευσμένο. Είναι πιο εύκολα από τα αντίστοιχα του Μαίου , αφού δεν υπάρχει το ουρανοκατέβατο Β3 όπως το Μάη και το θέμα Γ είναι ,για μένα πάντα, σαφώς ευκολότερο.

Christos75 · #30

Ας μου επιτραπεί και εμένα να δώσω την δική μου πρόταση για τη λύση του θέματος Β των εν λόγω εξετάσεων.
Πάμε λοιπόν...

B1
Δίνεται η εξίσωση: $\displaystyle{2x^{2}-\left |w-4-3i \right |x=-2\left | z \right |}$ ή ισοδυνάμως $\displaystyle{2x^{2}-\left |w-4-3i \right |x+2\left | z \right |=0}$ με $x\in \mathbb{R}$ . Σχέση (1)

.
Αφού

είναι πραγματικός αριθμός, η δοσμένη σχέση είναι τριώνυμο με :
$\alpha =2, \beta =-\left | w-4-3i \right |, \gamma =2\left | z \right |$

Αφού το τριώνυμο αυτό έχει διπλή ρίζα την $\displaystyle{x=1}$ $\Leftrightarrow$ $\displaystyle{x=-\frac{\beta }{2\alpha } =1}$ δηλαδή:

$\displaystyle{\frac{-[-\left |w-4-3i \right |]}{2.2}=1\Leftrightarrow \frac{\left |w-4-3i \right |}{4}=1\Leftrightarrow \left | w-4-3i \right |=4\Leftrightarrow \left | w-(4+3i) \right |=4}$

που σημαίνει ότι ο μιγαδικός αριθμός

κινείται σε κύκλο με κέντρο: $K_{2}(4,3)$ και ακτίνα $\varrho _{2}=4$ .

Επίσης αφού η x=1

έχει διπλή ρίζα σημαίνει ότι $\Delta =\beta ^{2}-4\alpha \gamma =0\Leftrightarrow [-\left | w-4-3i \right |]^{2}-4.2.2\left | z \right |=0\Leftrightarrow \left | w-(4+3i) \right |^{2}-16\left | z \right |=0\overset{\left | w-(4+3i) \right |=4}{\rightarrow} 16-16\left | z \right |=0\Leftrightarrow \left | z \right |=1$

Άρα ο μιγαδικός αριθμός

κινείται σε κύκλο με κέντρο το : $K_{1}(0,0)\equiv O(0,0)$ και ακτίνα $\varrho _{1}=1$ .

B2

Παρατηρούμε ότι για την διάκεντρο των δύο κύκλων ισχύει: $\delta ^{2}=(4-0)^{2}+(3-0)^{2}=16+9=25\Leftrightarrow \delta =5=\varrho _{1}+\varrho _{2}$
Από την παραπάνω σχέση συνάγουμε ότι οι δύο κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά. Συνεπώς, υπάρχει μόνο ένα σημείο κοινό των δύο αυτών κύκλων. Δηλαδή μοναδικός μιγαδικός
αριθμός που ανήκει στους δύο παραπάνω γεωμετρικούς τόπους.

Β3

Γνωρίζουμε ότι $\left | z \right |=1, \left | w-(4+3i) \right |=4$ από Β1

Επίσης γνωρίζουμε την τριγωνική ανισότητα στους μιγαδικούς, δηλαδή:
$\left | \left | z_{1} \right |-\left | z_{2} \right | \right |\leq \left | z_{1}-z_{2} \right |\leq \left | z_{1} \right |+\left | z_{2} \right |$

Αν θέσω όπου $z_{2}$ το $-z_{2}$ θα έχουμε: $\left | \left | z_{1} \right |-\left | -z_{2} \right | \right |\leq \left | z_{1}+z_{2} \right |\leq \left | z_{1} \right |+\left | -z_{2} \right |$ δηλαδή τελικά: $\left | \left | z_{1} \right |-\left | z_{2} \right | \right |\leq \left | z_{1}-z_{2} \right |\leq \left | z_{1} \right |+\left | z_{2} \right |$

Αν τώρα θέσουμε όπου $z_{1}$ το

και όπου $z_{2}$ το

το

θα έχουμε: $\left | z-w \right |\leq \left | z \right |+\left | -w \right |\leq 1+9= 10$

Άρα: $\left | z-w \right |\leq 10, \left | z+w \right |\leq 10$

B4

Από τη δοσμένη σχέση έχουμε: $\left | 2z^{2}-3z-2z\bar{z} \right |=5\Leftrightarrow \left | z(2z-3-2\bar{z}) \right |=5\Leftrightarrow \left | z \right |\left | 2(z-\bar{z})-3 \right |=5\overset{\left | z \right |=1}{\rightarrow} \left | 2(z-\bar{z})-3 \right |=5$

Όμως $z-\bar{z}=x+yi-(x-yi)=2yi$
Άρα η προηγούμενη σχέση γίνεται: $\left | 2.2yi-3 \right |=5\Leftrightarrow \left | -3+4yi \right |=5\Leftrightarrow 9+16y^{2}=25\Leftrightarrow 16y^{2}=16\Leftrightarrow y^{2}=1\Leftrightarrow y=1, y=-1$

Επίσης αφού ζητάμε τους μιγαδικούς αριθμούς του B1 ισχύει: $\left | z \right |=1\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=1\Leftrightarrow x^{2}+(+,-1)^{2}=1\Leftrightarrow x^{2}+1=1\Leftrightarrow x^{2}=0\Leftrightarrow x=0$

Οπότε οι ζητούμενοι μιγαδικοί αριθμοί είναι:
$z_{1}=0-i=-i$ και $z_{2}=0+i=+i$ .

lafkasd · #31

Christos75 έγραψε:Ας μου επιτραπεί και εμένα να δώσω την δική μου πρόταση για τη λύση του θέματος Β των εν λόγω εξετάσεων.
Πάμε λοιπόν...

Αναλυτικότατος

Christos75 · #32

lafkasd έγραψε:
Christos75 έγραψε:Ας μου επιτραπεί και εμένα να δώσω την δική μου πρόταση για τη λύση του θέματος Β των εν λόγω εξετάσεων.
Πάμε λοιπόν...
Αναλυτικότατος

Χαχαχαχαχα....ε ναι, είπα αφού το κάνω, να το κάνω καλά και βεβαίως...αναλυτικά!

lafkasd · #33

Οι λύσεις σε Word
με μερικές διορθώσεις
i) τυπογραφικο στο θέμα Β1 s=2 όχι s=0
ii) λεκτικό στη δικαιολόγιση του Δ
iii) μετατροπή των συνεπαγωγών σε ισοδυναμίες στην ανίσωση στo Θέμα Γ3 (μετά από υπόδειξη του Μπάμπη Στεργίου τον οποίο και ευχαριστώ)
Δεν ξέρω πως να κάνω edit
Επλίζω να έγινα κατανοητός

ΛύσειςΜαθΚατ Επαναληπτικές 2013_1.docx: (376.34 KiB) Μεταφορτώθηκε 210300 φορές

#34

lafkasd έγραψε:Οι λύσεις σε Word
ΛύσειςΜαθΚατ Επαναληπτικές 2013.docx

Συγχαρητήρια !!!

Το μεράκι δύσκολα αντικαθίσταται με κάτι άλλο και δεν ξέρω ακόμα τι μπορεί να είναι αυτό το ''κάτι άλλο '' !

Μπάμπης

Christos75 · #35

lafkasd έγραψε:Οι λύσεις σε Word
ΛύσειςΜαθΚατ Επαναληπτικές 2013.docx

Και τα δικά μου συγχαρητήρια για τις οργανωμένες λύσεις!

Γιώργος Απόκης · #36

lafkasd έγραψε:Οι λύσεις σε Word
ΛύσειςΜαθΚατ Επαναληπτικές 2013.docx

dimkat · #37

Εχω΄την εντύπωση ότι στη λύση του Δ3β δεν εξηγείται γιατί η ανισότητα ισχύει στο 0.

mathxl · #38

Μία εύρεση του τύπου εδώ viewtopic.php?f=56&t=43668

Επαναληπτικές εξετάσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2013

Re: Επαναληπτικές εξετάσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2013

Re: Επαναληπτικές εξετάσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2013

Re: Επαναληπτικές εξετάσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2013

Re: Επαναληπτικές εξετάσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2013

Re: Επαναληπτικές εξετάσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2013

Re: Επαναληπτικές εξετάσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2013

Re: Επαναληπτικές εξετάσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2013

Re: Επαναληπτικές εξετάσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2013

Re: Επαναληπτικές εξετάσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2013

Re: Επαναληπτικές εξετάσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2013

Re: Επαναληπτικές εξετάσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2013

Re: Επαναληπτικές εξετάσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2013

Re: Επαναληπτικές εξετάσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2013

Re: Επαναληπτικές εξετάσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2013

Re: Επαναληπτικές εξετάσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2013

Re: Επαναληπτικές εξετάσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2013

Re: Επαναληπτικές εξετάσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2013

Re: Επαναληπτικές εξετάσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2013

Μέλη σε σύνδεση