Vojtech Jarnik International Mathematics Competition 2014

Συντονιστής: Demetres

Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 649
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Oxford, United Kingdom

Vojtech Jarnik International Mathematics Competition 2014

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Σάβ Απρ 05, 2014 2:26 pm

Ο διαγωνισμός ήταν χτες, και μπορώ να πω ότι τα θέματα της μεγάλης κατηγορίας μου φάνηκαν εξαιρετικά!!! Αυτά της μικρής δεν τα έχω κοιτάξει και πολύ.

http://vjimc.osu.cz/j24results

Έχω βάλει λύσεις στα 1,2 και 4 των μεγάλων εδώ:

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=570532


Κολλιοπουλος Νικος -- Απόφοιτος ΣΕΜΦΕ - ΕΜΠ, Υποψήφιος διδάκτωρ στο πανεπιστήμιο της Οξφόρδης

https://www.maths.ox.ac.uk/people/nikolaos.kolliopoulos
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8113
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Vojtech Jarnik International Mathematics Competition 201

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Απρ 05, 2014 6:20 pm

Η επίσημη λύση του (3) των μεγάλων θέλει πράξεις αλλά έχω καλύτερη λύση :D

Έστω A_i το σύνολο των (k+2)-άδων (x_1,\ldots,x_{k+2}) φυσικών (περιλαμβάνεται το 0) με x_1 + \cdots + x_{k+2} = k και x_i \geqslant 2.

Για κάθε I \subseteq [k+2] με |I| = n και n \leqslant k/2, έχω \displaystyle{ \left| \bigcap_{j\in I} A_j\right| = \binom{2k-2n+1}{k+1}}. Για να το δούμε αυτό, θέτουμε y_j = x_j αν j \notin I και y_j = x_j-2. Τότε το \displaystyle{\left| \bigcap_{j\in I} A_j\right| } είναι ο αριθμός των (k+2)-άδων (y_1,\ldots,y_{k+2}) φυσικών με y_1 + \cdots + y_{k+2} = k-2n. Οπότε ο ισχυρισμός μου έπεται από το πιο κάτω γνωστό αποτέλεσμα:

Ο αριθμός των m-άδων (x_1,\ldots,x_m) φυσικών με x_1+\cdots+x_m = s ισούται με \displaystyle{ \binom{s+m-1}{m-1}}

Οπότε από θεώρημα αποκλεισμού-εγκλεισμού είναι:

\displaystyle{ \left|S\setminus(A_1 \cup \cdots \cup A_{k+2})\right| = \sum_{n=0}^{k/2} (-1)^n \binom{k+2}{n}\binom{2k-2n+1}{k+1}}

όπου S είναι το σύνολο των (k+2)-άδων (x_1,\ldots,x_{k+2}) φυσικών με x_1 + \cdots + x_{k+2} = k.

Άρα S\setminus(A_1 \cup \cdots \cup A_{k+2}) είναι το σύνολο των (k+2)-άδων (x_1,\ldots,x_{k+2}) φυσικών με x_1 + \cdots + x_{k+2} = k με x_i \in \{0,1\} για κάθε i. Άρα \displaystyle{ |S\setminus(A_1 \cup \cdots \cup A_{k+2})| = \binom{k+2}{k}} και το ζητούμενο αποδείχθηκε.

-----------------------
Όποτε εμφανίζεται το (-1)^n μέσα σε άθροισμα καλό είναι να προσπαθούμε να το συνδέσουμε με θεώρημα αποκλεισμού-εγκλεισμού. Εδώ το \binom{k+2}{n} μου έλεγε ότι πρέπει να ορίσω σύνολα A_1,\ldots,A_{k+2} με τέτοιο τρόπο ώστε το \displaystyle{ \left| \bigcap_{j\in I} A_j\right| = \binom{2k-2n+1}{k+1}} για κάθε I \subseteq [k+2] με |I| = n και n \leqslant k/2. Αυτό ήταν και το δύσκολο κομμάτι της άσκησης από την στιγμή που αποφασίσαμε να δοκιμάσουμε την αρχή αποκλεισμού-εγκλεισμού.


nikolaos p.
Δημοσιεύσεις: 266
Εγγραφή: Δευ Φεβ 14, 2011 11:44 pm

Re: Vojtech Jarnik International Mathematics Competition 201

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nikolaos p. » Σάβ Απρ 05, 2014 6:21 pm

Πολύ ωραία θέματα! :coolspeak:


ΕικόναΕικόνα
Απάντηση

Επιστροφή σε “Διαγωνισμοί για φοιτητές”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης