Γεωμετρικός τόπος με ολοκλήρωμα.

N.E. Kantidakis · #1

Μία άσκηση που έχουμε εκκρεμότητα:

Αν για μία f συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο R, ισχύει:
$\int_{\left| u \right|}^{5\left| u \right| - 4} {f\left( t \right)dt} = 2\int_1^{\left| u \right|} {f\left( t \right)dt}$
να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των μιγαδικών u.

GMANS · #2

N.E. Kantidakis έγραψε:Μία άσκηση που έχουμε εκκρεμότητα:

Αν για μία f συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο R, ισχύει:
$\int_{\left| u \right|}^{5\left| u \right| - 4} {f\left( t \right)dt} = 2\int_1^{\left| u \right|} {f\left( t \right)dt}$
να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των μιγαδικών u.

Αν $x=\left | u \right |\geq 0$ (και με δεδομένο ότι

συνεχής) είναι παρ/μες οι συναρτήσεις
$\int_{x}^{5x-4}f(t)dt,\int_{1}^{x}f(t)dt$
οπότε παραγωγίζοντας την δοσμένη παίρνουμε :
$5f(5x-4)-f(x)=2f(x)\Leftrightarrow 5f(5x-4)=3f(x)(1)$
για x=1 η (1) $\rightarrow 5f(1)=3f(1)\Leftrightarrow f(1)=0$
και f γνησίως αύξουσα άρα:
για $x>1\rightarrow f(x)>0$
για $x<1\rightarrow f(x)<0$
Αν $x>1\Rightarrow 5x-4>x\Rightarrow 5f(5x-4)>5f(x)>3f(x)$

Αν $x<1\Rightarrow 5x-4<x\Rightarrow 5f(5x-4)<5f(x)<3f(x)$

άρα για να ισχύει η (1) πρέπει
$x=1\Leftrightarrow \left | u \right |=1$ άρα ο ζητούμενος γ.τ. είναι κύκλος κέντρου Ο(0,0) ακτίνας 1

Γεωμετρικός τόπος με ολοκλήρωμα.

Γεωμετρικός τόπος με ολοκλήρωμα.

Re: Γεωμετρικός τόπος με ολοκλήρωμα.

Μέλη σε σύνδεση