Μονοτονία και εξισώσεις - ανισώσεις

Ιστοσελίδα · #1

Δίνεται f γνησίως μονότονη ορισμένη στους πραγματικούς αριθμούς με f(5)=9 και f(2)=3.
α) Να λυθεί η εξίσωση : $f(3 + f^{-1}(x^2+2x)) = 9$
β) Να λυθεί η ανίσωση : $f(f^{-1}(x^2 - 8x) -2)<2$

#2

Η f είναι γνησίως αύξουσα, άρα και 1-1.

α) Ισχύει: $3+f^{-1}(x^{2}+2x)=5\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow f^{-1}(x^{2}+2x)=f^{-1}(3)\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x^{2}+2x-3=0\Leftrightarrow x = 1$ ή x = -3

.

β) Ισχύει: $f^{-1}(x^{2}-8x)<5\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow x^{2}-8x-9<0 \Leftrightarrow -1<x<9$

#3

Καλησπέρα . Μιας και είχα την απορία στα πρόσφατα ΠΕΚ ( είμαι ''στραβάδι'' νεοδιόριστος και επιμορφώθηκα) στο α) είναι σωστό να βάζουμε ισοδυναμίες;

#4

chris_gatos έγραψε:Καλησπέρα . Μιας και είχα την απορία στα πρόσφατα ΠΕΚ ( είμαι ''στραβάδι'' νεοδιόριστος και επιμορφώθηκα) στο α) είναι σωστό να βάζουμε ισοδυναμίες;

Εγώ ψηφίζω "ναι"! Η μια κατεύθυνση έχει να κάνει ότι η εκάστοτε

, ή $f^{-1}$ , ή ότιδήποτε τέλος πάντων είναι συνάρτηση, και η άλλη κατεύθυνση με το ότι είναι 1-1

.

Ιστοσελίδα · #5

Ωραία, αυτό ήθελα να δω!
Τη μονοτονία της $f^{-1}$ για την οποία δεν αναφέρει τίποτα το βιβλίο, πρέπει ο μαθητής να την αποδείξει?

#6

Για το (α) αφού η f είναι αντιστρέψιμη δεν έχεις πρόβλημα.

Για παράδειγμα γενικά ισχύει $x_{1}=x_{2} \Rightarrow f(x_{1})=f(x_{2})$ , ενώ δεν ισχύει $f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow x_{1}=x_{2}$ ,

ενώ αν η f αντιστρέφεται ισχύει: $f(x_{1})=f(x_{2}) \Rightarrow f^{-1}((f(x_{1}))=f^{-1}(f(x_{2})) \Rightarrow x_{1}=x_{2}$ .

Όσο για το (β) αφού αποδείξουμε ότι η $f^{-1}$ είναι επίσης γνησίως αύξουσα δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα.

mathxl · #7

Για το β) μπορούμε να μην χρησιμοποιήσουμε την μονοτονία της αντίστροφης και να χρησιμοποιήσουμε την μονοτονία της f
f^(-1)(x^2-8x)<5 μετά βάζουμε f στα μέλη

#8

mathxl έγραψε:Για το β) μπορούμε να μην χρησιμοποιήσουμε την μονοτονία της αντίστροφης και να χρησιμοποιήσουμε την μονοτονία της f
f^(-1)(x^2-8x)<5 μετά βάζουμε f στα μέλη

Σε συνέχεια προηγούμενης κουβέντας στο mathematica, από τον ορισμό της γνησίως αύξουσας συνάρτησης του σχολικού βιβλίου ισχύει: $x_{1}<x_{2}\Rightarrow f(x_{1})<f(x_{2})$ , χωρίς να ισχύει το αντίστροφο. Επομένως κατά τη γνώμη μου είτε αποδεικνύουμε το αντίστροφο της πρότασης, είτε ότι η αντίστροφη είναι γνησίως αύξουσα, ειδικά σε επίπεδο πανελλαδικών εξετάσεων.

#9

Επανέρχομαι στην απορία μου και ας μου εξηγήσει κάποιος:
Πως γίνεται να ισχύει και αντιστρόφως, αφού για δύο διαφορετικά χ (χ=1 και χ=-3) έχω το ίδιο y;

#10

chris_gatos έγραψε:Επανέρχομαι στην απορία μου και ας μου εξηγήσει κάποιος:
Πως γίνεται να ισχύει και αντιστρόφως, αφού για δύο διαφορετικά χ (χ=1 και χ=-3) έχω το ίδιο y;

Χρήστο αυτά τα δύο x σου δίνουν το ίδιο x^2+2x

. Γι' αυτό δεν έχεις πρόβλημα.

Μονοτονία και εξισώσεις - ανισώσεις

Μονοτονία και εξισώσεις - ανισώσεις

Re: Μονοτονία και εξισώσεις - ανισώσεις

Re: Μονοτονία και εξισώσεις - ανισώσεις

Re: Μονοτονία και εξισώσεις - ανισώσεις

Re: Μονοτονία και εξισώσεις - ανισώσεις

Re: Μονοτονία και εξισώσεις - ανισώσεις

Re: Μονοτονία και εξισώσεις - ανισώσεις

Re: Μονοτονία και εξισώσεις - ανισώσεις

Re: Μονοτονία και εξισώσεις - ανισώσεις

Re: Μονοτονία και εξισώσεις - ανισώσεις

Μέλη σε σύνδεση