Συνδυαστική άσκηση ΘΜΤ - Rolle

dimplak · #1

Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[0,1] \rightarrow R$ , για την οποία ισχύουν οι σχέσεις f(0) = 1

και

. Να αποδείξετε ότι υπάρχει $x_{0}\epsilon (0,1)$ ώστε να ισχύει $f''(x_{0}) = 2$ .

Christos.N · #2

Ας θεωρήσουμε την:

$\displaystyle{ g(x) = f(x) - \left( {x - 1} \right)^2 }$ με πεδίο ορισμού $\displaystyle{ \left[ {0,1} \right] }$

ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle

συνεπώς υπάρχει τουλάχιστον ένα $\displaystyle{ c \in \left( {0,1} \right):g'(c ) = 0 \Rightarrow f'(c ) = 2\left( {c - 1} \right) }$

Εφαρμόζοντας το θεώρημα μέσης τιμής στην

στο διάστημα $\displaystyle{ \left[ {c ,1} \right] }$

προκύπτει άμεσα το ζητούμενο ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα $\displaystyle{ x_0 \in \left( {c,1} \right):f''(x_0) = \frac{{ - 2\left( {c - 1} \right)}}{{1 - c }} = 2 }$

#3

dimplak έγραψε:Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[0,1] \rightarrow R$ , για την οποία ισχύουν οι σχέσεις και . Να αποδείξετε ότι υπάρχει $x_{0}\epsilon (0,1)$ ώστε να ισχύει $f''(x_{0}) = 2$ .

Καλημέρα. Χωρίς συνδυασμό θεωρημάτων, απλά με Rolle.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $g(x)=f(x)-(x-1)^{2}, x\in [0,1].$

Είναι: g(0)=0,g(1)=0.

Από Rolle (ισχύουν οι προϋποθέσεις για τη

) έχουμε $g'(\xi)=f'(\xi)-2(\xi-1)=0,\xi \in (0,1)$

Αν συνεχίσουμε όμοια για την πρώτη παράγωγο στο $[\xi,1]$ προκύπτει το ζητούμενο.

dimplak · #4

Σας ευχαριστώ για τις άμεσες απαντήσεις! Παρόμοια λύση σκέφτηκα και εγώ αλλά πιστεύω ότι δεν είναι διδακτική, δηλαδή δεν μπορεί να σκεφτεί ο μαθητής τη συνάρτηση που πρέπει να εφαρμόσει το ΘΜΤ ή το Rolle! Υπάρχει κάποια άλλη ιδέα?

Εκτός κι αν προσθέσουμε στην εκφώνηση της άσκησης , πριν το ερώτημα, τη φράση: " Δίνεται επίσης η συνάρτηση $g(x) = f(x) - (x - 1)^{2} , x \epsilon [0,1]$ " .

dimplak · #5

Με βάση την άσκηση που έθεσα, κατασκεύασα άλλη μία άσκηση:

Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[0,2] \rightarrow R$ με f(0) = f'(2) = 0

και

. Να αποδείξετε ότι υπάρχει $x_{0} \epsilon (0,2)$ τέτοιο ώστε $f''(x_{0}) = - 1$ .

Πέρα από τη λύση, ο προβληματισμός παραμένει ο ίδιος: "Η μη χρήση στην εκφώνηση βοηθητικής συνάρτησης θέτει το πρόβλημα πέρα από τα όρια των εξετάσεων διότι σε αυτά δεν εντάσσεται η ικανότητα των μαθητών να ... μαντεύουν συναρτήσεις, ή αντίθετα η χρήση της στην εκφώνηση καθιστά το πρόβλημα "εύκολο" για το επίπεδο των εξετάσεων? "

#6

dimplak έγραψε:Με βάση την άσκηση που έθεσα, κατασκεύασα άλλη μία άσκηση:

Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:[0,2] \rightarrow R$ με και . Να αποδείξετε ότι υπάρχει $x_{0} \epsilon (0,2)$ τέτοιο ώστε $f''(x_{0}) = - 1$ .

Πέρα από τη λύση, ο προβληματισμός παραμένει ο ίδιος: "Η μη χρήση στην εκφώνηση βοηθητικής συνάρτησης θέτει το πρόβλημα πέρα από τα όρια των εξετάσεων διότι σε αυτά δεν εντάσσεται η ικανότητα των μαθητών να ... μαντεύουν συναρτήσεις, ή αντίθετα η χρήση της στην εκφώνηση καθιστά το πρόβλημα "εύκολο" για το επίπεδο των εξετάσεων? "

Καλημέρα.

Θεωρώ τη συνάρτηση $\displaystyle{g(x) = f(x) + \frac{{{x^2}}}{2} - 2x}$ , που ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος του Rolle, αφού είναι συνεχής, παραγωγίσιμη και $\displaystyle{g(0) = 0 = g(2)}$ .
Υπάρχει λοιπόν $\displaystyle{\xi \in (0,2)}$ , ώστε $\displaystyle{g'(\xi ) = 0 \Rightarrow f'(\xi ) + \xi - 2 = 0}$ .

Στη συνέχεια η

ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο $\displaystyle{[\xi ,2]}$ , αφού
είναι συνεχής, παραγωγίσιμη και $\displaystyle{g'(\xi ) = 0 = g'(2)}$ .

Επομένως υπάρχει $\displaystyle{{x_0} \in (\xi ,2) \subset (0,2)}$ , ώστε $\displaystyle{g''({x_0}) = 0 \Leftrightarrow }$ $\boxed{f''({x_0}) = - 1}$

Τώρα όσον αφορά τον προβληματισμό σου. Δεν μαντεύεις. Θα σου πω το σκεπτικό.
Θέλεις να αποδείξεις ότι $\displaystyle{f''({x_0}) = - 1}$ . Παίρνεις μία συνάρτηση

, ώστε $\displaystyle{g''(x) = f''(x) + 1}$ και την "κατεβάζεις" σε αρχικές συναρτήσεις.

$\displaystyle{g'(x) = f'(x) + x + {c_1}}$ και στη συνέχεια $\displaystyle{g(x) = f(x) + \frac{{{x^2}}}{2} + {c_1}x + {c_2}}$ .
Από τα στοιχεία της άσκησης προσδιορίζεις τα c_1, c_2

και είσαι έτοιμος.

dimplak · #7

Συνάδελφε, σε ευχαριστώ πολύ για τις επισημάνσεις σου!

Ο προβληματισμός μου ικανοποιείται συνεπώς αν η άσκηση τεθεί σε μία ευρύτερη επανάληψη της ύλης, εφόσον δηλαδή έχουν διδαχθεί και οι συνέπειες ΘΜΤ!

Άρα είναι προτιμότερο, αν η άσκηση τεθεί μετά την παράδοση του ΘΜΤ, να δίνεται η βοηθητική συνάρτηση, διαφορετικά ο μαθητής θα αναγκαστεί να μαντέψει!

Εκεί προβληματίστηκα και εγώ, διότι την συνάντησα σε βιβλίο, ως επαναληπτική πριν τις συνέπειες ΘΜΤ , χωρίς να δίνεται βοηθητική συνάρτηση!

Παρεμπιπτόντως, άλλη μία κατασκευή...

"Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση $f(x): [2,4] \rightarrow R$ με f(2) = - f'(2) = 2

και

. Να αποδείξετε ότι υπάρχει $x_{0} \epsilon (2,4)$ τέτοια ώστε $f''(x_{0}) = 1$ " .

math246 · #8

Η συνάρτηση που επιλέχθηκε για την εφαρμογή του θεωρήματος Rolle στηρίζεται στην λογική ότι το πολυώνυμο δευτέρου βαθμού,αφενός πρέπει να έχει μονάδα σαν συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου,για να μπορεί να προκύψει το ζητούμενο, και οι υπόλοιποι συντελεστές προσδιορίζονται από την αναγκαιότητα να ικανοποιείται το θεώρημα Rolle.

math246 · #9

Οι συναρτήσεις που εφαρμόζεται το θεώρημα rolle είναι άπειρες, καθώς ο σταθερός όρος του πολυωνύμου δευτέρου βαθμού είναι ελεύθερος.Δε είναι απαραίτητο δηλαδή να χρησιμοποιήσει κάποιος αναγκαστικά αυτή την συνάρτηση.

Συνδυαστική άσκηση ΘΜΤ - Rolle

Συνδυαστική άσκηση ΘΜΤ - Rolle

Re: Συνδυαστική άσκηση ΘΜΤ - Rolle

Re: Συνδυαστική άσκηση ΘΜΤ - Rolle

Re: Συνδυαστική άσκηση ΘΜΤ - Rolle

Re: Συνδυαστική άσκηση ΘΜΤ - Rolle

Re: Συνδυαστική άσκηση ΘΜΤ - Rolle

Re: Συνδυαστική άσκηση ΘΜΤ - Rolle

Re: Συνδυαστική άσκηση ΘΜΤ - Rolle

Re: Συνδυαστική άσκηση ΘΜΤ - Rolle

Μέλη σε σύνδεση