Προσομοιωτικά Θέματα

STOPJOHN · #1

Καλημέρα , τα παρακάτω θέματα μου τα έδωσαν μαθητές στο σχολείο ...είναι από Διαγώνισμα προσομείωσης κάποιου σχολείου...μου είπανε να τους πω αν είναι ευκολα η δύσκολα ; πολλά ;...δεν έδωσα απάντηση ....
ΘΕΜΑ Γ
Δίνονται οι συναρτήσεις $f,g:R\rightarrow R$ για τις οποίες ισχύει ότι :
$\left|f(x)-f(y) \right|+\left|g(x)-g(y) \right|\leq \left|x-y \right|$ για κάθε χ,y πραγματικούς αριθμούς
α) Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις f,g

είναι συνεχείς στο R
β) Αν ισχύει ότι $f(1)\prec f(3)\prec f(2)$ να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

δεν αντιστρέφεται
γ) Αν υπάρχουν $\alpha ,\beta \epsilon R$ , $\alpha <\beta$ τέτοια ώστε $f(\alpha )=\alpha , f(\beta )=\beta$ τότε :
1) να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \epsilon \left(\alpha ,\beta \right)$ τέτοιο ώστε $f(\alpha +\beta -\xi )=\xi$
2) να αποδείξετε ότι υπάρχουν $x_{1},x_{2}\epsilon\left[\alpha ,\beta \right]$ που απέχουν μεταξύ τους $\frac{\beta -\alpha }{2}$ τέτοια ώστε $g(x_{1})=g(x_{2})$

ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται συνάρτηση $f:R\rightarrow R$ με συνεχή δευτερη παράγωγο . Για τους μιγαδικούς αριθμούς $z=\alpha +if(\alpha ), w=f(\beta )-\beta i$ όπου $0<\alpha <\beta$ ισχύει ότι :
$\left|z+w \right|=\left|z-w \right|$

α) Να αποδείξετε ότι $\frac{f(\alpha )}{\alpha }=\frac{f(\beta) }{\beta }$

β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο με κορυφές τις εικόνες των z,w

και την αρχή των αξόνων Ο είναι ορθογώνιο στο Ο

γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \epsilon \left(\alpha ,\beta \right)$ τέτοιο ώστε $\int_{0}^{\xi }{xf''(x)dx}=f(0)$

δ) Αν επιπλέον ισχύει ότι :
$\lim_{x\rightarrow a}\int_{\alpha }^{x}{\frac{f(x+\alpha -t)}{(x-\alpha )(x+\alpha -t)}dt}=1$

να αποδείξετε ότι :
1) $f(\alpha )=\alpha$

2) Υπάρχει $x_{0}\epsilon \left(\alpha ,\beta \right)$ τέτοιο ώστε $f'(x_{0})=1$

3) Yπάρχουν $x_{1},x_{2},x_{_{3}}\epsilon \left(\alpha ,\beta \right)$ διαφορετικά ανά δυο ώστε ;

$f'(x_{1})+f'(x_{2})+f'(x_{3})=3$

4) Υπάρχει $x_{4}\epsilon \left(\alpha ,\beta \right)$ τέτοιο ώστε $f'(x_{4})=1-x_{4}+f(x_{4})$

5) Yπάρχει $x_{5}\epsilon \left(\alpha ,\beta \right)$ τέτοιος ώστε

$f(x_{5})=\frac{2\alpha +\beta }{3}$

6) Υπάρχουν $x_{6},x_{7}\epsilon \left(\alpha ,\beta \right)$ τέτοια ώστε

$\frac{1}{f'(x_{6})}+\frac{2}{f'(x_{7})}=3$

Γιάννης

#2

Γιάννη καλημέρα. Δε γνωρίζω τη χρονική διάρκεια του διαγωνίσματος αλλά θεωρώ τα θέματα τετριμμένα ως επί το πλέιστον

κι από αυτά που οι μαθητές βλέπουν κατά κόρον στα φροντιστήρια ή στην τάξη τους. Αν η χρονική διάρκεια είναι ικανή, τότε είναι μία χαρά

αυτή είναι η εντυπωσή μου. Χαιρετώ.

BAGGP93 · #3

STOPJOHN έγραψε: ΘΕΜΑ Γ
Δίνονται οι συναρτήσεις $f,g:R\rightarrow R$ για τις οποίες ισχύει ότι :
$\left|f(x)-f(y) \right|+\left|g(x)-g(y) \right|\leq \left|x-y \right|$ για κάθε χ,y πραγματικούς αριθμούς
α) Να αποδείξετε ότι οι συναρτήσεις είναι συνεχείς στο R
β) Αν ισχύει ότι $f(1)\prec f(3)\prec f(2)$ να αποδείξετε ότι η συνάρτηση δεν αντιστρέφεται
γ) Αν υπάρχουν $\alpha ,\beta \epsilon R$ , $\alpha <\beta$ τέτοια ώστε $f(\alpha )=\alpha , f(\beta )=\beta$ τότε :
1) να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον $\xi \epsilon \left(\alpha ,\beta \right)$ τέτοιο ώστε $f(\alpha +\beta -\xi )=\xi$
2) να αποδείξετε ότι υπάρχουν $x_{1},x_{2}\epsilon\left[\alpha ,\beta \right]$ που απέχουν μεταξύ τους $\frac{\beta -\alpha }{2}$ τέτοια ώστε $g(x_{1})=g(x_{2})$

Καλησπέρα.

α) Έστω $\displaystyle{x_0\in\mathbb{R}}$ . Θέλουμε να δείξουμε ότι $\displaystyle{\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\,\,,\lim_{x\to x_0}g(x)=g(x_0)}$

ή ισοδύναμα ότι, $\displaystyle{\lim_{x\to x_0}\left(f(x)-f(x_0)\right)=0\,\,,\lim_{x\to x_0}\left(g(x)-g(x_0)\right)=0}$ .

Έστω οι συναρτήσεις $\displaystyle{F\,,G:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{F(x)=f(x)-f(x_0)\,,G(x)=g(x)-g(x_0)}$

και τώρα θέλουμε να δείξουμε ότι $\displaystyle{\lim_{x\to x_0}F(x)=\lim_{x\to x_0}G(x)=0}$ .

Η δοσμένη ανισοϊσότητα για $\displaystyle{y=x_0}$ δίνει : $\displaystyle{\left|F(x)\right|+\left|G(x)\right|\leq \left|x-x_0\right|\,,\forall\,x\in\mathbb{R}}$ , οπότε

$\displaystyle{\forall\,x\in\mathbb{R}:\left|F(x)\right|\leq \left|F(x)\right|+\left|G(x)\right|\leq \left|x-x_0\right|}$ , δηλαδή

$\displaystyle{\forall\,x\in\mathbb{R}:-\left|x-x_0\right|\leq F(x)\leq \left|x-x_0\right|}$ .

Επειδή $\displaystyle{\lim_{x\to x_0}\left|x-x_0\right|=0}$ , έπεται, από το κριτήριο της παρεμβολής, ότι $\displaystyle{\lim_{x\to x_0}F(x)=0}$ , όπως θέλαμε.

Όμοια εργαζόμαστε για τη συνάρτηση $\displaystyle{G}$ .

β) Επειδή η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής στο διάστημα $\displaystyle{\left[1,2\right]}$ με $\displaystyle{f(1)<f(2)}$

και $\displaystyle{f(1)<f(3)<f(2)}$ , έπεται, από το Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών, ότι υπάρχει $\displaystyle{t\in\left(1,2\right)}$

τέτοιο, ώστε $\displaystyle{f(t)=f(3)}$ , οπότε η $\displaystyle{f}$ δεν είναι αντιστρέψιμη.

γ) Θεωρούμε την, καλώς ορισμένη, συνάρτηση $\displaystyle{H:\left[\alpha,\beta\right]\longrightarrow \mathbb{R}}$ με τύπο $\displaystyle{H(x)=f\,\left(\alpha+\beta-x\right)-x}$ .

Η συνάρτηση αυτή είναι συνεχής στο $\displaystyle{\left[\alpha,\beta\right]}$ ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων και

ικανοποιεί τις $\displaystyle{H\,\left(\alpha\right)=f\,\left(\beta\right)-\alpha=\beta-\alpha>0\,\,,H\,\left(\beta\right)=f\,\left(\alpha\right)-\beta=\alpha-\beta<0}$ .

Σύμφωνα με το Θεώρημα του $\displaystyle{Bolzano}$ , υπάρχει $\displaystyle{\xi\in\left(\alpha,\beta\right)}$

τέτοιο, ώστε $\displaystyle{H\,\left(\xi\right)=0\Leftrightarrow f\,\left(\alpha+\beta-\xi\right)=\xi}$ .

Για το γ2) δεν έχω σκεφτεί κάτι. Κάποια βoήθεια ;

Tolaso J Kos · #4

Γ2. Από τη δοσμένη ανισότητα για $x=a, \quad y=b$ έχουμε: $\displaystyle{\left | g(a) -g(b)\right |\leq 0\Leftrightarrow g(b)=g(a)}$ . Έστω $\displaystyle{x_1<x_2\Rightarrow x_2=x_1+\frac{b-a}{2}}$ . Επειδή όμως $\displaystyle{x_2\leq b\Rightarrow x_1\leq \frac{a+b}{2}}$ , οπότε αρκεί να δειχθεί ότι $\displaystyle{\exists x_1\in \left ( a, \frac{a+b}{2} \right )\bigg|g(x_1)=g\left ( x_1+\frac{b-a}{2} \right )}$

Οπότε από θ. $\displaystyle{\rm{Bolzano}}$ για την $\displaystyle{h(x)=g(x)-g\left ( x+\frac{b-a}{2} \right )}$ η οποία είναι συνεχής στο $\displaystyle{\left [ a, \frac{a+b}{2} \right ]}$ έπεται το ζητούμενο. Βέβαια, υπάρχουν και τα άκρα γιατί το γίνομενο θα βγει αρνητικό ή ίσο με το μηδέν, άρα σε κάθε περίπτωση έχουμε το ζητούμενο.

STOPJOHN · #5

Χρήστο καλησπέρα νομίζω ότι τα θέματα έχουνε πολλά ερωτήματα και χρονικά θα δυσκόλεψαν τους καλούς μαθητές. Δηλαδή το θεμα Γ μπορεί να το λύσει με άνεση ένας καλός μαθητής ; είναι ένα θέμα ακόμη μιγαδικών με τέσσερα ερωτήματα και θεωρία που δεν την αποδίδουν καλά ...γιατί μαθαίνουνε τις αποδείξεις την τελευταία εβδομάδα....Ευχαριστώ που ασχολήθηκες
Καλό βραδυ
Γιάννης

STOPJOHN · #6

Ευχαριστώ τους Βαγγέλη και Τόλη για την ενασχόληση τους με τα θέματα .Αυριο θα δώσω τη δική μου λυση εκτός και αν λυθεί από κάποιον άλλον.............

Γιάννης

Tolaso J Kos · #7

Προσωπικά τα θέματα τα βρίσκω ωραία.. βέβαια έχουν πολλά ερωτήματα, αλλά δε πειράζει. Επίσης ακολουθούν λίγο πολύ την πεπατημένη.
Το θέμα Γ, είχε τύχει να το λύσω όταν έκανα προετοιμασία για τις εξετάσεις, και ούτε που το θυμόμουνα μέχρι που το ξανά ειδα. Προσωπικά δυσκολεύτηκα στο Γ1 , γιατί δεν ήξερα τι να κάνω αυτή τη σχέση. Τα άλλα τα είχα βγάλει άνετα, και μόνο το Γ1 δεν είχα απαντήσει.

Φιλικά

ansdimou · #8

Το θέμα Γ είναι θέμα από το βιβλίο "Επανάληψη" του Παπαδάκη (θέμα 3.33)
Το θέμα Δ από το ίδιο βιβλίο (Θέμα 5.60)

DimitrisH · #9

Θα ισχύει $f(x_2)-f(x_1)\leqslant x_2-x_1$ , $f(x_2)-x_2\leqslant f(x_1)-x_1$
Αρα η h(x)=f(x)-x

είναι φθίνουσα (όχι γνησίως).Αφού ομώς h(a)=h(b)=0

.Στο

η

θα είναι σταθερή αφου :
$h(x)\leqslant h(a)=0$ στο $[a,b],h(x)\leqslant 0$
Αν υπάρχει k : h(k)<0 ,

τότε $h(b)\leqslant h(k) < 0 , h(b)<0$ άρα άτοπο
h(x)=0,f(x)=x

,Άρα

αρα η

είναι σταθερή στο [a,b]

Υπάρχει κάποιο λάθος;

STOPJOHN · #10

Kαλησπέρα

δυο ερωτήσεις στα γραφόμενα σου :
Πως βρέθηκε h(k)=0

;
Στα απόλυτα πρέπει να διακρίνεις περιπτώσεις...

Φιλικά
Γιάννης
ΥΓ. Να περάσει η πίεση των θεμάτων της Τράπεζας ...και θα το δω με υπομονή .

Προσομοιωτικά Θέματα

Προσομοιωτικά Θέματα

Re: Προσομοιωτικά Θέματα

Re: Προσομοιωτικά Θέματα

Re: Προσομοιωτικά Θέματα

Re: Προσομοιωτικά Θέματα

Re: Προσομοιωτικά Θέματα

Re: Προσομοιωτικά Θέματα

Re: Προσομοιωτικά Θέματα

Re: Προσομοιωτικά Θέματα

Re: Προσομοιωτικά Θέματα

Μέλη σε σύνδεση