Χρήσιμα

#1

Με αφορμή μία πρόταση του Κώστα Σερίφη και ένα μήνυμα του Μπάμπη Στεργίου (viewtopic.php?f=52&t=3782&start=20) ανεβάζω ένα σύντομο σημείωμα με μικρά λήμματα που διδάσκω στους μαθητές μου της Γ' Τάξης. Ζητάω δε να τα ξέρουν μαζί με τις αποδείξεις τους ώστε να είναι σε θέση να τα ενσωματώνουν στις απαντήσεις τους εξετάσεις.
Ως γνωστόν η θεωρία του βιβλίου, και δεδομένης της δυσκολίας των θεμάτων, χρειάζεται κάποιες ενισχύσεις. Το ερώτημα είναι ποιές πρέπει να είναι αυτές. Και τι χρειάζεται η δεν χρειάζεται απόδειξη. Όπως είναι φυσικό είναι δύσκολο να συμφωνήσουμε όλοι σε όλα. Αυτό φαίνεται και στις καθημερινές μας συζητήσεις εδώ και αλλού. Χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελεί η κουβέντα που έγινε στο θέμα viewtopic.php?f=61&t=3511.
Η δική μου άποψη που υιοθετώ και στην διδασκαλία μου αποτυπώνεται στο συνημμένο κείμενο.

Astheory.pdf: (123.46 KiB) Μεταφορτώθηκε 869 φορές

Ο Κώστας και ο Μπάμπης πρότειναν να συγκεντρωθεί κάποιο ανάλογο υλικό μαζί με επισημάνσεις σε δύσκολα σημεία του βιβλίου και να διοχετευεθεί στο Παιδαγωγικό Ινστιτούτο. Δεδομένης της παροιμιώδους αδράνειας του συγκεκριμένου φορέα δεν πετάω και απ΄τη χαρά μου. Ας είναι. Dum spiro spero ήταν από τις πρώτες φράσεις στα Λατινικά που μαθαίναμε Γυμνασιόπαιδες.
Μαυρογιάννης

#2

Νίκο σε ευχαριστούμε πολύ! Το αρχείο είναι χρησιμότατο!!!

#3

Νίκο Μαυρογιάννη,σε ευχαριστούμε πολύ

mathxl · #4

Πάρα πολύ χρήσιμο έγγραφο!
Ας προσθέσουμε σε αυτό τις προτάσεις που μπορούν να χρησιμοποιηθούν χωρίς απόδειξη και δεν περιέχονται στο έγγραφο του Νίκου Μ.
Με ενδιαφέρει περισσότερο το "τι μπορεί να χρησιμοποιηθεί χωρίς απόδειξη παρά η ενίσχυση - συμπλήρωση (πχ περί φθίνουσας με παράγωγο) της θεωρίας"

Να αναφέρω ότι από το έγγραφο του Νίκου οι προτάσεις που θα ήθελα να χρησιμοποιούνται χωρίς απόδειξη είναι οι:
1,2,3,6,8,13,14,16,17,18,21,22,24.
Επίσης να συμπληρώσω και μια ακόμη.
Αν φ κυρτή στο Δ τότε η γραφική της παράσταση βρίσκεται κάτω από την χορδή που ορίζουν τα άκρα του Δ στα εσωτερικά σημεία του Δ (αντίστοιχα πάνω, όταν πρόκειται για κοίλη)
Όπως είπε και ο Νίκος σίγουρα δεν συμφωνούμε όλοι σε όλες τις προτάσεις. Καλό είναι όμως να δούμε τι μπορούμε να μαζέψουμε και στο τέλος ας βγάλουμε τον ελάχιστο αριθμό προτάσεων στον οποίο έχουμε σύμπνοια

Νίκο ευχαριστώ, πολύ καλή δουλειά.

ΥΓ: Το ίδιο θα ήθελα να γίνει και για την γενική παιδεία!

#5

Νίκο,

εξαιρεικό το αρχείο που επισύναψες. Όλη η πείρα σου συσσωρευμένη. Σε ευχαριστούμε θερμά.

Μου έπιασε την προσοχή μία πολύ αθώα επισήμανση, η 12: $(|z|^2 = z^2 \Leftrightarrow z \in \mathbb R)$ .

Δεν ξέρεις πόόόόόσες φορές έχω δει σε γραπτά των φοιτητών του Μαθηματικού τον ισχυρισμό ότι πάντα

. Έχει μαλλιάσει η γλώσσα μου να τους ρωτάω "για πες μου τι λεει αυτό αν z = i" ;

Αλλά και πάλι, συχνότατα, χωρίς αποτέλεσμα. Τον ρωτάς να αποδείξει
|z+w|^2 + |z-w|^2 = 2|z|^2+ 2|w|^2

και δεν έχει πρόβλημα να πει

|z+w|^2 + |z-w|^2 = (z+w)^2 + (z-w)^2 = z^2 + 2zw + w^2 + ...

και λοιπά. Άχχχχ.

Φιλικά,

Μιχάλης.

hsiodos · #6

Νίκο πολύ χρήσιμες επισημάνσεις.
Σε ευχαριστούμε πολύ!

Γιώργος

Βασίλης Καλαμάτας · #7

Όμορφη δουλειά. Έστω και μια από αυτές που περιέχει το έγγραφο να χρησιμεύσει σε κάποιον συνάδελφο, είναι κέρδος...
Να συνεχιστούν τέτοιες προτάσεις που να καταθέτουμε τι πρέπει να λέμε στους μαθητές και όχι τι δεν πρέπει να λέμε...

#8

Eίναι διαμαντάκι Νίκο, σε ευχαριστούμε πολύ!
Οι μαθητές σίγουρα θα το χαίρονται!

#9

Παρα πολύ χρήσιμο . Ευχαριστουμε

Σωτηρης

#10

Νίκο ευχαριστούμε πολύ! Αν δεν κάνω λάθος είναι ένα κομμάτι από εκείνο το υλικό που έχεις και στην ιστοσελίδα σου και έχεις μαζεμένα θεωρία/αποδείξεις/χρήσιμες προτάσεις έτσι? Πολύ όμορφο υλικό πράγματι...

Αλέξανδρος

k-ser · #11

Νίκο, μπράβο.
Πολύ καλό το αρχείο.

Να συμπληρώσω κάτι, επίσης χρήσιμο, στην πρόταση 6.

Η παράγωγος της συνάρτησης με παραγωγίσιμη στο Α.

Γράφουμε την

ως εξής: $g(x)=\sqrt{f^2(x)}$ οπότε, η

είναι παραγωγίσιμη στο

{ $x\in A : f(x)\ne 0$ }
με
$\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac{2f(x)f^{\prime}(x)}{2\sqrt{f^2(x)}}=\frac{f(x)}{|f(x)|}\cdot f^{\prime}(x)$

ακόμα, θα μπορούσαμε να το κάνουμε και έτσι:
Στο σύνολο Β:
$\ln{g(x)}=\ln{|f(x)|}$ .
Παραγωγίζοντας έχουμε εύκολα το ίδιο, με παραπάνω, αποτέλεσμα.

Να συμπληρώσω: Η συνάρτηση

ενδέχεται να είναι παραγωγίσιμη και στα x:f(x)=0

. Αν αυτό μας ενδιαφέρει, θα πρέπει να το εξετάσουμε με τη βοήθεια του ορισμού της παραγώγου.

Μάκης Χατζόπουλος · #12

Νίκο σε ευχαριστώ, ό,τι χρειαζόμουν, ότι έλειπε στη τελική επανάληψη των μαθητών πριν τις εξετάσεις... κάτι ανάλογο θυμάμαι τους πρότεινα και εγώ αλλά όχι με τόσες πολλές προτάσεις και περιπτώσεις

#13

Πάρα πολύ χρήσιμο!
Ευχαριστώ πολύ!
Να είστε καλά!

Νίκος

#14

Λοιπόν, ήδη ο Νίκος έκανε μια πολύ ωραία αρχή. Με αυτό το υλικό ως βάση , θα κινηθούμε σε δύο επίπεδα.

α) Το πρώτο θα περιέχει τις τελείως απαραίτητες βοηθητικές προτάσεις που αν χρησιμοποιηθούν θέλουν απόδειξη(πχ κάθε συνεχής και 1-1 είναι γνησίως μονότονη, που δεν θα χρειαστεί ποτέ πιστεύω στις εξετάσεις(αν και ''ποτέ μη λες ποτέ !!!'')) , αλλά και μερικές πολύ ωραίες προτάσεις που έχει το αρχείο του Νίκου.

β) Το δεύτερο θα περιέχει παρατηρήσεις ή απλές προτάσεις που απορρέουν άμεσα από τους ορισμούς και τα σχετικά θεωρήματα και θα μπορούν να χρησιμοποιθούν στις εξετάσεις χωρίς απόδειξη.
Για αυτές τις προτάσεις θα προσπαθήσω - το αναλαμβάνω εγώ - να πάρουμε μια σχετική εγκύκλιο από το ΠΙ που να τις κατοχυρώνει . Η διάθεση του ΠΙ είναι να προχωρήσει σε μια τέτοια ενέργεια, δεν ξέρω όμως τελικά αν θα τελεσφορήσει.

Μια και άνοιξε ο Νίκος αυτό το μήνυμα, ας συγκεντρώσουμε εδώ όλες τις σκέψεις που αφορούν και τα δύο επίπεδα. Πρωτίστως μας ενδιαφέρει το δεύτερο.
Γράψτε ελεύθερα τι νομίζετε ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί ή πρέπει να μπορεί να χρησιμοποιηθεί χωρίς απόδειξη στις εξετάσεις , αλλά και τις άλλες σκέψεις σας.
Όταν ολοκληρώσω τη συλλογη, θα σας κοινοποιήσω την πρότασή μου.

- ως συνημμένο, για να μην γράφουμε τα ίδια πράγματα δυο φορές. Με αυτόν τον τρόπο θα τελειώσουμε πιο γρήγορα.

Μπάμπης

#15

Ας κάνω εγώ την αρχή
Το βιβλίο έχει σε παράδειγμα το όριο $\lim_{x\rightarrow 0}xsin(\frac{1}{x})= 0$ , και βασικό το $\lim_{x\rightarrow o}\frac{sinx}{x}$ .
Ταυτόχρονα έχει ερώτηση σωστού - λάθους τα όρια $\lim_{x\rightarrow +\\apeiro}\frac{sinx}{x}$ =0 και $\lim_{x\rightarrow +apeiro}xsin(\frac{1}{x})$ =1 ή αντίστοιχα $\lim_{x\rightarrow +apeiro}xsin(\frac{a}{x})$ =α τα οποία θα πρέπει να αποδειχθούν με αλλαγή μεταβλητής και μετά να χρησιμοποιηθούν σε άλλα ερωτήματα.(δυσκολεύομαι να γράψω τις αποδείξεις στο latex)

Χρήσιμα

Χρήσιμα

Re: Χρήσιμα

Re: Χρήσιμα

Re: Χρήσιμα

Re: Χρήσιμα

Re: Χρήσιμα

Re: Χρήσιμα

Re: Χρήσιμα

Re: Χρήσιμα

Re: Χρήσιμα

Re: Χρήσιμα

Re: Χρήσιμα

Re: Χρήσιμα

Re: Χρήσιμα

Re: Χρήσιμα

Μέλη σε σύνδεση