Εύρεση Συνάρτησης - Όριο.

Σπύρος Φρόνιμος · #1

Δίνεται συνάρτηση $f:(0,\pi/2)\rightarrow\mathbb{R}$ συνεχής η οποία ικανοποιεί τη σχέση :
$x^2f(x)+1=\displaystyle\int_{1}^{x}{\left(f(t)+\displaystyle\frac{t^2}{\cos^2(t)}\right)dt}$

α) Να δειχθεί οτι η

είναι παραγωγίσιμη και να βρεθεί ο τύπος της.
β) Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}{f(x)}$ .

Christos.N · #2

Σπύρος Φρόνιμος έγραψε:Δίνεται συνάρτηση $f:(0,\infty )\rightarrow\mathbb{R}$ συνεχής η οποία ικανοποιεί τη σχέση :
$x^2f(x)+1=\displaystyle\int_{1}^{x}{\left(f(t)+\displaystyle\frac{t^2}{\cos^2(t)}\right)dt}$

Η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση δεν είναι καλά ορισμένη , εκτός αν η σχέση ορίζεται στο διάστημα $\displaystyle{ \left( {0,\frac{\pi } {2}} \right) }$ είναι όμως κρίσιμος περιορισμός για την επίλυση της άσκησης.

Φιλικά ...

Σπύρος Φρόνιμος · #3

Πολύ σωστά σημαντική παράβλεψη!
Διώρθωσα το λάθος.

Tolaso J Kos · #4

Σπύρος Φρόνιμος έγραψε:Δίνεται συνάρτηση $f:(0,\pi/2)\rightarrow\mathbb{R}$ συνεχής η οποία ικανοποιεί τη σχέση :
$x^2f(x)+1=\displaystyle\int_{1}^{x}{\left(f(t)+\displaystyle\frac{t^2}{\cos^2(t)}\right)dt}$

α) Να δειχθεί οτι η είναι παραγωγίσιμη και να βρεθεί ο τύπος της.
β) Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}{f(x)}$ .

Μετά την καινούργια τροποποίηση , πάλι δε μπορώ να λύσω τη διαφορική.
Για παράδειγμα από τη σχέση που μας δίδεται βγάζω για $\displaystyle{x=1}$ ότι $\displaystyle{f(1)=-1}$ .
Σκέφτηκα ότι αυτό το

γράφεται ως $\displaystyle{\sin^2 x+\cos^2 x=1}$ δεδομένου ότι έχουμε ένα $\cos x$ μέσα στο ολοκλήρωμα. Ίσως κάπου να βοηθούσε που εγώ δε βλέπω.
Τώρα να σπάσουμε το ολοκλήρωμα σε δύο επιμέρους ολοκληρώματα δε ξέρω αν θα βοηθούσε , γιατί θα μέναμε με το ολοκλήρωμα $\displaystyle{\int_{1}^{x}\frac{t^2}{\cos^2 t}dt}$ το οποίο υπολογίζεται με παραγοντική ολοκλήρωση άλλα δε λέει κάτι γιατί θα μένουμε για παράδειγμα με $\displaystyle{\tan 1}$ . Πόσο κάνει αυτό; Και πού θα βοηθήσει για παράδειγμα;

Κατά συνέπεια έχω κολλήσει. Θα μπορούσα να έχω μία υπόδειξη;
Ευχαριστώ.

Edit:Βασικά η $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη αφού αν μεταφέρουμε όλα στο δεύτερο μέλος και διαιρέσουμε με το

, αφού είναι διάφορο του μηδένος, το δεύτερο μέλος είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση , άρα και το πρώτο. ΟΚ, πώς θα συνεχίσουμε όμως;

mtsarduckas · #5

Ούτε εγώ ούτε το Mathematica καταφέραμε να λύσουμε τη διαφορική που προκύπτει παραγωγίζοντας τη δοσμένη σχέση... Μήπως θα μπορούσαμε να έχουμε κάποια υπόδειξη ;

#6

Εμένα η διαίσθησή μου λέει ότι η άσκηση δε λύνεται , τουλάχιστον με κανονικές σχολικές διαδικασίες ! Διαφορετικά η λύση είναι πολύ δύσκολη. ΑΝ κάποιος μας βεβαιώσει ότι η άσκηση λύνεται, θα κάνουμε ένα ακόμα ξενύχτι , αλλά θα τη λύσουμε

.

Μπάμπης

dennys · #7

Aπο την σχέση που δίνεται ,λ'υνοντας ως πρός f(x)

$\displaystyle f(x)=\cfrac{1}{x^2} (−1+\int_{1}^{x}(f(t)+\cfrac{t^2}{cos^2t}) dt)$

απο οπου f(1)=−1

και η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο $(0,\pi/2)$
$\displaystyle {x^2 f′(x)+(2x−1) f(x)=\cfrac{x^2}{cos^2(x)}, f(1)=-1$

πολλαπλασιάζω και τα δύο μέλη με το $e^{1/x}$
$\displaystyle (x^{2}{e^{1/x}}f(x))' = \cfrac{x^{2} e^{1/x}}{cos^{2}x}, f(1)=−1$

και oλοκληρώνοντας :
$\displaystyle x^{2} e^{1/x} f(x)+e=\int_{1}^{x}(t^{2} e^{1/t} f(t))′ dt=\int_{1}^{x}\cfrac{t^2 e^{1/t}}{cos^{2}(t)} dt$

και έτσι έχουμε για την συνάρτηση:
$\displaystyle f(x)=\cfrac{1}{x^2 e^{1/x}}(−e+\int_{1}^{x}\cfrac{t^2 e^{1/t}}{cos^2(t)} dt)$ .(1)

Aπο την σχέση (1) έχουμε :
$\lim_{x\to →0^{+}}f(x) =\lim_{x\to →0+}\cfrac{1}{x^2 e^{1/x}} (−e+\int_{1}^{x}\cfrac{t^2 e^{1/t}}{cos^2(t)} dt)$ ,

και απο την μορφή $\cfrac{+\infty}{\infty}$ , μιάς και το $\int_{1}^{x}\cfrac{t^2 e^{1/t}}{cos^2(t)} dt$ ,για x→0

; και απο θεώρημα de l'Hôpital :
$\lim_{x\to →0+}f(x)=DL'H \lim_{x\to →0+}\cfrac{1}{(2x−1) e^{1/x}}\cfrac{ x^2 e^{1/x}}{cos^2(x)}=0.$

dennys (Βουτσάς Διονύσης)

Tolaso J Kos · #8

Τελικά ποια είναι η συνάρτηση;
Διότι αν είναι αυτή που βλέπω με το ολοκλήρωμα, τότε μάλλον δε πρέπει να υπάρχει κλειστός τύπος.

dennys · #9

Χαίρετε
H συνάρτηση που δίνω, γιατί δεν κάνει ;

Tolaso J Kos · #10

dennys έγραψε:Χαίρετε
H συνάρτηση που δίνω, γιατί δεν κάνει ;

Δεν είπα δε κάνει, αλλά συνάρτηση με ολοκλήρωμα; (όχι στα δεδομένα, αλλά στον τελικό τύπο)
Δεν είναι και τόσο σύνηθες να το βλέπουμε. Όταν ζητάμε να βρεθεί μία

, συνήθως περιμένουμε να έχει έναν κλειστό τύπο , π. χ $\displaystyle{f(x)=\ln x+ e^x +2, \,\,\,\, x>0}$ . ή κάτι παρόμοιο.

Αν παρεξηγήθηκε το μήνυμα μου, ζητώ συγνώμη.

dennys · #11

Φυσικά και δεν παρεξηγηθήκατε ,αλλά όταν ζητιέται

μια συνάρτηση νομίζω σε κανένα σύγγραμα δεν ζητάν την συνάρτηση αν δοθεί έτσι όπως την έδωσα,

απλά γιατί ήδη δίνεται ο τύπος.Oπως αν δίνεται ότι $F(x)=\int_{1}^{x}e^{t^2}dt$

και ζητάμε την

Ευχαριστώ

#12

dennys έγραψε:........................
και έτσι έχουμε για την συνάρτηση:
$\displaystyle f(x)=\cfrac{1}{x^2 e^{1/x}}(−e+\int_{1}^{x}\cfrac{t^2 e^{1/t}}{cos^2(t)} dt)$ .(1)

...................

Διονύση, αυτό οδηγεί στη λύση του επόμενου ερωτήματος, αλλά δεν αποτελεί απάντηση στο πρώτο ερώτημα. Την ίδια συνάρτηση βρήκαμε και μεις όταν τη λύναμε τηλεφωνικά με ένα συνάδελφο . Ευτυχώς βέβαια που είναι έτσι , γιατί με την ίδια λογική σε κάποιο άλλο πρόβλημα ένας μαθητής θα μπορούσε να απαντήσει ότι η ζητούμενη συνάρτηση είναι η

$\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x}e^t dt$

κάτι που προφανώς σωστά δεν είναι αποδεκτή ως πλήρης απάντηση.Δεν χωράει αμφιβολία ότι και αυτή (που έγραψες) είναι μια συνάρτηση, αλλά στα σχολικά μαθητικά με τον όρο '' εύρεση συνάρτησης '' εννούμε μια συνάρτηση που να εκφράζεται μέσω πιο στοιχειωδών συναρτήσεων και όλοι καταλαβαίνουμε ποιες εννοούμε .Σκέψου ότι τέτοιες απαντήσεις δεν είναι δεκτές ούτε στις καν στο μάθημα των διαφορικών εξισώσεων. Φυσικά, σε επίπεδο εφαρμοσμένων μαθηματικών που η ολοκλήρωση γίνεται και αριθμητικά, τέτοια απάντηση μπορεί να είναι δεκτή, στην περίπτωσή μας όμως δίκαια εγείρονται πολλές ενστάσεις.

Αν ο θεματοδότης με τον όρο ''βρείτε '' θέλει τέτοια συνάρτηση, πρέπει να κάνει το ερώτημα αποδεικτικό :'' Να αποδείξετε ότι f(x)=.....

.

Καταλαβαίνω το σκεπτικό σου, δεν το απορρίπτω , απλά το συμπληρώνω.Αυτή είναι ή άποψή μου, διότι διαφορετικά ανοίγουμε έναν άλλο κύκλο ασκήσεων, όπου τα πάντα επιτρέπονται και νόημα δεν θα βγαίνει . Αλλά τότε δεν θα μπορούμε να εποικοινωνήσουμε μεταξύ μας και δεν θα έχει νόημα να κάνουμε μαθηματικά .

Μπάμπης

Tolaso J Kos · #13

k. Μπάμπη καλημέρα.
Αυτό ακριβώς τόνισα και γω παραπάνω, αλλά δεν απέρριψα τη λύση του κ. Διονύση.
Γιατί και αυτή συνάρτηση είναι, και αν πάμε και λίγο παραπέρα και η $\displaystyle{C(x)=\int_{0}^{x}\cos (t^2)dt}$ είναι μία ωραία συνάρτηση, η οποία έχει και όνομα.. (άσχετα αν εγώ τώρα δε ξέρω πού χρησιμεύουν και γιατί έχουν οριστεί. Ίσως του χρόνου το μάθω, ίσως και ποτέ.)

Τώρα , δράττοντας την ευκαιρία θα ήθελα να ρωτήσω. Μου έχει τύχει σε άσκηση να βρω ως συνάρτηση $\displaystyle{f(x)=\int_{0}^{x}e^{-t^2}dt}$ και στη συνέχεια η άσκηση να ρωτάει διάφορα ερωτήματα γύρω από αυτή π.χ μονοτονία - ακρότατα - διάφορα, και τέλος ζητούσε ένα εμβαδόν. Στη περίπτωση αυτή τι κάνουμε; Δε θα τη δεχθούμε ως λύση της διαφορικής και ας μην εκφράζεται στοιχειωδώς; Δεν έχω μπροστά μου την άσκηση να τη δω, διότι έχω δανείσει κάπου το βιβλίο. Αλλά έβγαινε πάντως μία τέτοια μορφή με ολοκλήρωμα. Ήταν η μόνη περίπτωση που είχα δει από ζητούμενη σχέση να μη βγαίνει συνάρτηση με κλειστό τύπο , αλλά με ολοκλήρωμα.

Νομίζω και ο κ. Μπόρης στο βιβλίο του (συναρτήσεις /ανάλυση) σε μία άσκηση ζητάει να δειχθεί ότι η συνάρτηση που βγαίνει είναι με ολοκληρώματα. Δε θυμάμαι όμως, αν είναι έτσι. Ας μας διαφωτίσει αν το δει.Βέβαια ο κ. Μπόρης αν θυμάμαι καλά έλεγε : "Δείξτε ότι .... " και το τύπο της συνάρτησης.

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:
Ευτυχώς βέβαια που είναι έτσι , γιατί με την ίδια λογική σε κάποιο άλλο πρόβλημα ένας μαθητής θα μπορούσε να απαντήσει ότι η ζητούμενη συνάρτηση είναι η

$\displaystyle f(x)=\int_{1}^{x}e^t dt$

κάτι που προφανώς σωστά δεν είναι αποδεκτή ως πλήρης απάντηση.

Τώρα σε αυτό το σημείο γιατί είναι κακό να το αφήσουμε έτσι; Θα μου πείτε βέβαια , και γιατί να μην το γράψεις σε μια πιο απλή μορφή αφού το ολοκλήρωμα υπολογίζεται ώστε η

τελικά να πάρει την τελική απλή μορφής της $\displaystyle{f(x)=\int_{1}^{x}e^t\,dt=\left [ e^t \right ]_1^x=e^x-e}$ .

Κατά τα άλλον συμφωνώ μαζί σας.

#14

Τόλη, καλημέρα !

- Αν το ολοκλήρωμα υπολογίζεται, τότε αφήνοντάς το στην ολοκληρωτική του μορφή,η απάντηση είναι ελλειπής(όχι λάθος).

- Αν στον τύπο μιας ζητούμενης συνάρτησης εμφανιστεί και ολοκλήρωμα που δεν υπολογίζεται, τότε ναι μεν έχουμε μια απάντηση για τη μορφή της ζητούμενης συνάρτησης, αλλά σε σχολικό επίπεδο και σύμφωνα γενικά με τα σχολικά βιβλία δεν συνηθίζουμε(άτυπα ίσως) να ζητάμε τέτοιες συναρτήσεις, οπότε απορρίπτουμε την άσκηση και όχι την απάντηση.

- Να το ξαναπώ: Η απάντηση του Διονύση (ή κάθε παρόμοια) που είναι ίσως η μόνη που έχουμε βρει μέχρι τώρα, δεν είναι λάθος ως απάντηση, μια χαρά είναι μάλιστα, αλλά η άσκηση έχει πρόβλημα στο α) .Εκτός κι αν το ολοκλήρωμα το υπολογίσουμε ...αργότερα , κάτι που δεν μπορούμε να το αποκλείσουμε (με στοιχειώδη τουλάχιστον μέσα)

Σε προβλήματα λοιπόν εύρεσης συνάρτησης , αν ο τύπος περιέχει και μη υπολογίσιμα ολοκληρώματα, το ερώτημα δεν πρέπει να δίνεταιί σε αυτή τη μορφή(ως εύρεση) , αλλά ως αποδεικτικό !

Κάπου εκεί επέρχεται ισορροπία και όλα προχωράνε ήσυχα και ήρεμα, χωρίς κραδασμούς και υπερβολές.

Μπάμπης

makisman · #15

Να θυμίσω ότι στο θέμα 4 του 1998 ζητούνταν η συνάρτηση $\displaystyle F(x)=\int_{1}^{x}{(1+\frac{1}{2t^2})f(t)dt} , x>1$ με $f(x)=e^{1-x^2}$ .Δε νομίζω τότε να ήταν αρκετό η απλή αναγραφή της

η οποία τελικά είχε τύπο $F(x)=\displaystyle \frac{1}{2}- \displaystyle \frac{e^{1-x^2}}{2x}}$ . Στο κάτω κάτω νομίζω οτι ο "τύπος" της συνάρτησης έχει σκοπό να υπολογίζει στοιχειωδώς την τιμή της συνάρτησης έτσι δεν είναι ?

Tolaso J Kos · #16

Καλημέρα σε όλα τα μέλη του

.

κ. Μπάμπη, με καλύψατε πλήρως σε όλα τα ερωτήματα. Κάποια στιγμή θα βρω και την άσκηση και θα τη βάλω... μένει μόνο να πάρω το βιβλίο. Νομίζω πάντως πως το ολοκλήρωμα, με στοιχειώδη μέσα δεν υπολογίζεται. Μόνο να κάνουμε ένα βήμα παραπέρα και να γράψουμε:

$\displaystyle{\int_{1}^{x}\frac{t^2e^{1/t}}{\cos^2 t}dt=\left [ t^2e^{1/t}\tan t \right ]_1^x-\int_{1}^{x}\tan t\left ( t^2e^{1/t} \right )'dt}$
Δε βλέπω πώς μπορεί με στοιχειώδη μέσα να υπολογιστεί το τελευταίο.

Σπύρος Φρόνιμος · #17

Δυσκολεύομαι επίσης να βρώ κάποια λύση, κάποιο κλειστό τύπο δηλαδή για τη συνάρτηση

.
Όλοι καταλήγουμε στη λύση $\displaystyle f(x)=\cfrac{1}{x^2 e^{1/x}}\left(-e+\int_{1}^{x}\cfrac{t^2 e^{1/t}}{cos^2(t)} dt\right)$ οπότε έχουμε το εξής :

Το α ερώτημα της άσκησης να καταλήγει στη συγκεκριμένη λύση, πράγμα που μοιάζει και λογικό γιατί μόνον τότε θα μπορούσε να απευθύνεται σε μαθητές Γ' Λυκείου οπότε
σύμφωνα με τα λεγόμενα του κ. Μπάμπη η εκφώνηση της θα έπρεπε να ζητάει απόδειξη, δηλαδή να καταλήξουμε στο συγκεκριμένο τύπο. Σε αντίθετη περίπτωση θα ανοίξει ένα καινούριο, χαοτικό κεφάλαιο ασκήσεων το οποίο δεν θα οδηγήσει πουθενά.

Θεωρώ σφάλμα δικό μου το να μην εξετάσω εκτενώς το θέμα ώστε να το παραθέσω προς λύση ζητώντας απόδειξη και όχι εύρεση.
Το ολοκλήρωμα δεν υπολογίζεται με στοιχειώδεις μεθόδους και για ερώτημα του 4ου θέματος έχει ήδη αρκετά μεγάλη λύση.
Επίσης, δίνοντας την με αυτό τον τρόπο θα δινόταν η δυνατότητα στους μαθητές να ασχοληθούν με το ερώτημα β για τον υπολογισμό του ορίου με τη χρήση του κανόνα De L'Hospital ακόμα κι αν δεν λύσουν το α ερώτημα.

#18

Σπύρο , Τόλη και Διονύση !

Νομίζω ότι καταλήξαμε σε κάποιο βασικό συμπέρασμα και έτσι το θέμα κλείνει. Η άσκηση έχει καλά στοιχεία , αν και δύσκολη.
Μπορούμε να αλλάξουμε μερικά πράγματα και το τελευταίο ολοκλήρωμα να υπολογίζεται.Έτσι η άσκηση θα γίνει πιο διδακτική. Ας το κάνει, αν επιθυμεί, ο Σπύρος.

Καλή Κυριακή - Μπάμπης

dennys · #19

Kαλησπέρα σε όλους

Δίνω απλά μια σκέψη και θα ήθελα όπως έδειξε και ο κ. Μπάμπης ,η κουβέντα να σταματήσει εδώ.Απλά σύμφωνα με το : <<Σπύρο , Τόλη και Διονύση !

Νομίζω ότι καταλήξαμε σε κάποιο βασικό συμπέρασμα και έτσι το θέμα κλείνει.>> ,που έγραψε ο Μπάμπης ,εγώ δεν συμφώνησα σε τίποτα.

Με όλο το σεβασμό στο Μπάμπη Στεργίου ,και στις γνώσεις του ,δεν καταλαβαίνω γιατί να είναι χαοτικό ,ένα σύνολο ασκήσεων

της περίπτωσης αυτής .πχ. Σε πολλά συγγράματα βοηθήματα υπάρχει $: f(x)=2\int_{0}^{x}\cfrac{dt}{1+3f^2(t)}$

Nα βρεθούν ρίζες της ,πρόσημο,κοίλα, Σ.Κ.της f(x)

κλπ. , άλλες ερωτήσεις με τήν αντίστροφη .Κατά την γνώμη ,μου είναι μια χαρά.

Τώρα ο φίλος που την πρότεινε , από την συζήτηση καταλαβαίνω ότι κάπου μάλλον την βρήκε και την πρότεινε και δεν είναι κακό αυτό.Ίσως να ήθελε και να δεί την λύση .

καλό βράδυ.

Σπύρος Φρόνιμος · #20

Καλησπέρα σε όλους.
Παραθέτω λοιπόν την άσκηση τροποποιημένη, μαζί με τη λύση της ώστε να εστιάσουμε στη μεθοδολογία και να έχουμε κάποιο αποτέλεσμα.

Δίνεται συνάρτηση $f:(0,\pi/2)\rightarrow\mathbb{R}$ συνεχής η οποία ικανοποιεί τη σχέση :
$x^2f(x)+1=\displaystyle\int_{1}^{x}{\left(f(t)+\displaystyle\frac{1}{e^{1/t}\cos^2(\pi t)}\right)dt}$

α) Να δειχθεί οτι η f είναι παραγωγίσιμη και να βρεθεί ο τύπος της.
β) Να υπολογιστεί το όριο $\displaystyle\lim_{x\rightarrow0}{f(x)}$ .

ΛΥΣΗ
A) Έχουμε την αρχική σχέση $x^2f(x)+1=\displaystyle\int_{1}^{x}{\left(f(t)+\displaystyle\frac{1}{e^{1/t}\cos^2(\pi t)}\right)dt}$ στην οποία διαιρούμε και τα δύο μέλη της με το x^2>0

άρα προκύπτει :
$\displaystyle{f(x)+\frac{1}{x^2}=\frac{1}{x^2}\int_{1}^{x}{\left(f(t)+\frac{1}{e^{1/t}\cos^2(\pi t)}\right)dt}}$ .
Οι συναρτησεις $f(x),\displaystyle{\frac{1}{x^2}}$ και $\displaystyle{\frac{1}{e^{1/t}\cos^2(\pi t)}\right)dt}}}$ είναι συνεχείς στο $(0,\pi/2)$ πράγμα που σημαίνει ότι η συνάρτηση $\displaystyle\int_{1}^{x}{\left(f(t)+\displaystyle\frac{1}{e^{1/t}\cos^2(\pi t)}\right)dt}$
είναι παραγωγίσιμη στο $(0,\pi/2)$ άρα και η

παραγωγίσιμη συνάρτηση.

Παραγωγίζοντας την αρχική σχέση προκύπτει :
$x^2f(x)+1=\displaystyle\int_{1}^{x}{\left(f(t)+\displaystyle\frac{1}{e^{1/t}\cos^2(\pi t)}\right)dt\Rightarrow 2xf(x)+x^2f'(x)=f(x)+\frac{1}{e^{1/x}\cos^2(\pi x)}\Rightarrow x^2f'(x)+\left(2x-1\right)f(x)=\frac{1}{e^{1/x}\cos^2(\pi x)}}$

Πολλαπλασιάζοντας και τα 2 μέλη με $e^{1/x}$ προκύπτει :
$\displaystyle{e^{1/x}x^2f'(x)+e^{1/x}\left(2x-1\right)f(x)=\frac{1}{\cos^2(\pi x)}\Rightarrow \left(e^{1/x}x^2f(x)\right)'=\frac{1}{\pi}\left(\tan(\pi x)\right)'}$

Επομένως σύμφωνα με τη συνέπεια του Θ.Μ.Τ. έχουμε : $\displaystyle{e^{1/x}x^2f(x)=\frac{1}{\pi}\tan(\pi x)+c}$ .
Για x=1

από την αρχική σχέση προκύπτει f(1)=-1

άρα $c=\displaystyle{-e}$ .

Η συνάρτηση

λοιπόν θα δίνεται από τον τύπο $\displaystyle{f(x)=\frac{\tan(\pi x)-e\pi}{\pi e^{1/x}x^2}}$

B) Για το όριο έχουμε $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}{f(x)}=\lim_{x\rightarrow0}{\frac{\tan(\pi x)-e\pi}{\pi e^{1/x}x^2}}}$ .
Στον παρονομαστή προκύπτει απροσδιόριστη μορφή $0\cdot\infty$ για την παράσταση $e^{1/x}x^2$ .

Προσπαθώντας όμως να υπολογίσουμε το όριο εφαρμόζοντας απευθείας τον κανόνα De L'Hospital δεν φεύγουμε από την απροσδιόριστη μορφή γιατί όπως φαίνεται από το παρακάτω όριο ο εκθέτης του

συνεχώς θα αυξάνεται.
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}{e^{1/x}x^2}=\lim_{x\rightarrow0}{\frac{x^2}{e^{-1/x}}}=\lim_{x\rightarrow0}{\frac{2x}{-e^{-1/x}\frac{1}{x^2}}}=\lim_{x\rightarrow0}{\frac{2x^3}{-e^{-1/x}}}}$

Για να ξεπεράσουμε αυτό το πρόβλημα θέτουμε $y=\frac{1}{x}$ προκύπτει $x\rightarrow0\Rightarrow y\rightarrow\infty$ άρα το όριο μετατρέπεται :
$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}{e^{1/x}x^2}=\lim_{y\rightarrow\infty}{\frac{e^y}{y^2}\overset{\frac{\infty}{\infty}}{\underset{D.H}{=}}}\lim_{y\rightarrow\infty}{\frac{e^y}{2y}}\overset{\frac{\infty}{\infty}}{\underset{D.H}{=}}\lim_{y\rightarrow\infty}{\frac{e^y}{2}}=+\infty}$

Επομένως το ζητούμενο όριο είναι $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}{\frac{\tan(\pi x)-e\pi}{\pi e^{1/x}x^2}}=\frac{\tan(0)-e\pi}{+\infty}=-\infty}$ .

Εύρεση Συνάρτησης - Όριο.

Εύρεση Συνάρτησης - Όριο.

Re: Εύρεση Συνάρτησης - Όριο.

Re: Εύρεση Συνάρτησης - Όριο.

Re: Εύρεση Συνάρτησης - Όριο.

Re: Εύρεση Συνάρτησης - Όριο.

Re: Εύρεση Συνάρτησης - Όριο.

Re: Εύρεση Συνάρτησης - Όριο.

Re: Εύρεση Συνάρτησης - Όριο.

Re: Εύρεση Συνάρτησης - Όριο.

Re: Εύρεση Συνάρτησης - Όριο.

Re: Εύρεση Συνάρτησης - Όριο.

Re: Εύρεση Συνάρτησης - Όριο.

Re: Εύρεση Συνάρτησης - Όριο.

Re: Εύρεση Συνάρτησης - Όριο.

Re: Εύρεση Συνάρτησης - Όριο.

Re: Εύρεση Συνάρτησης - Όριο.

Re: Εύρεση Συνάρτησης - Όριο.

Re: Εύρεση Συνάρτησης - Όριο.

Re: Εύρεση Συνάρτησης - Όριο.

Re: Εύρεση Συνάρτησης - Όριο.

Μέλη σε σύνδεση