ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Συντονιστής: Μιχάλης Νάννος
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Φαινομενικά το θέμα GI_A_GEO_4_3702 είναι πανομοιότυπο με το προηγούμενό του GI_A_GEO_4_3701.
Κο όμως! Κρύβει παγίδα. Δεν τολμώ να πιστέψω ότι είναι συνειδητή επιλογή της επιτροπής.
ΘΕΜΑ 4
Έστω ότι και είναι τα μέσα των πλευρών και παραλληλογράμμου αντίστοιχα. Αν για το παραλληλόγραμμο επιπλέον ισχύει , να εξετάσετε αν είναι αληθείς οι ακόλουθοι ισχυρισμοί:
Ισχυρισμός 1: Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
Ισχυρισμός 2: Τα τρίγωνα και είναι ίσα.
Ισχυρισμός 3: Τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή.
α) Στην περίπτωση που θεωρείτε ότι κάποιος ισχυρισμός είναι αληθής να τον αποδείξετε. (Μονάδες 16)
β) Στην περίπτωση που κάποιος ισχυρισμός δεν είναι αληθής, να βρείτε τη σχέση των διαδοχικών πλευρών του παραλληλογράμμου ώστε να είναι αληθής. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 9)
α) Είναι και ως μισά τμήματα των ίσων και παραλλήλων , οπότε ο ισχυρισμός 1: Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο είναι σωστός.
Τα και έχουν ως απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου, ως μισά τμήματα των ίσων και τις περιεχόμενες τους γωνίες ίσες, αφού είναι απέναντι γωνίες παραλληλογράμμου, οπότε είναι ίσα, άρα είναι σωστός και ο ισχυρισμός 2.
β) Αν είναι , το είναι ισοσκελές. Το ίδιο για το .
Εδώ όμως είναι η παγίδα. Αυτή είναι μόνο μία από τις δυνατές περιπτώσεις.
Πώς ο μαθητής θα ελέγξει τη σχέση των πλευρών του παραλληλογράμμου για να είναι ή , που επίσης δίνουν ισοσκελές τρίγωνο;
Π.χ. φτιάξτε το τρίγωνο με και θα δείτε ότι το είναι ισοσκελές.
Προτείνω την απόσυρση της άσκησης αυτής από την Τράπεζα Θεμάτων, ως ακατάλληλης για αξιολόγηση των μαθητών.
Θέλω τονίσω ότι την βρίσκω πανέμορφη για εξάσκηση σε βάθος στη διερεύνηση περιπτώσεων. Είναι κατάλληλη μόνο για λάτρεις της Γεωμετρίας.
Την εξήγηση και τη διερεύνηση τη δίνω στο φάκελο του Καθηγητή, γιατί δεν αφορά τους μαθητές της Α΄ Λυκείου.
Κο όμως! Κρύβει παγίδα. Δεν τολμώ να πιστέψω ότι είναι συνειδητή επιλογή της επιτροπής.
ΘΕΜΑ 4
Έστω ότι και είναι τα μέσα των πλευρών και παραλληλογράμμου αντίστοιχα. Αν για το παραλληλόγραμμο επιπλέον ισχύει , να εξετάσετε αν είναι αληθείς οι ακόλουθοι ισχυρισμοί:
Ισχυρισμός 1: Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
Ισχυρισμός 2: Τα τρίγωνα και είναι ίσα.
Ισχυρισμός 3: Τα τρίγωνα και είναι ισοσκελή.
α) Στην περίπτωση που θεωρείτε ότι κάποιος ισχυρισμός είναι αληθής να τον αποδείξετε. (Μονάδες 16)
β) Στην περίπτωση που κάποιος ισχυρισμός δεν είναι αληθής, να βρείτε τη σχέση των διαδοχικών πλευρών του παραλληλογράμμου ώστε να είναι αληθής. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
(Μονάδες 9)
α) Είναι και ως μισά τμήματα των ίσων και παραλλήλων , οπότε ο ισχυρισμός 1: Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο είναι σωστός.
Τα και έχουν ως απέναντι πλευρές παραλληλογράμμου, ως μισά τμήματα των ίσων και τις περιεχόμενες τους γωνίες ίσες, αφού είναι απέναντι γωνίες παραλληλογράμμου, οπότε είναι ίσα, άρα είναι σωστός και ο ισχυρισμός 2.
β) Αν είναι , το είναι ισοσκελές. Το ίδιο για το .
Εδώ όμως είναι η παγίδα. Αυτή είναι μόνο μία από τις δυνατές περιπτώσεις.
Πώς ο μαθητής θα ελέγξει τη σχέση των πλευρών του παραλληλογράμμου για να είναι ή , που επίσης δίνουν ισοσκελές τρίγωνο;
Π.χ. φτιάξτε το τρίγωνο με και θα δείτε ότι το είναι ισοσκελές.
Προτείνω την απόσυρση της άσκησης αυτής από την Τράπεζα Θεμάτων, ως ακατάλληλης για αξιολόγηση των μαθητών.
Θέλω τονίσω ότι την βρίσκω πανέμορφη για εξάσκηση σε βάθος στη διερεύνηση περιπτώσεων. Είναι κατάλληλη μόνο για λάτρεις της Γεωμετρίας.
Την εξήγηση και τη διερεύνηση τη δίνω στο φάκελο του Καθηγητή, γιατί δεν αφορά τους μαθητές της Α΄ Λυκείου.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Πέμ Μάιος 29, 2014 9:06 pm, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
ΘΕΜΑ 6879
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,R). Έστω σημείο Δ του τόξου ΑΒ τέτοιο, ώστε .
α) Να αποδείξετε ότι
(Μονάδες 8)
β) Έστω Η το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΔΒΗ είναι παραλληλόγραμμο.
(Μονάδες 9)
γ) ) Αν Μ είναι το μέσον της ΒΓ, να αποδείξετε ότι
(Μονάδες 8)
Λύση
α) Επειδή η εγγεγραμμένη γωνία ΔΒΓ είναι ορθή , η ΓΔ είναι διάμετρος του κύκλου. Επομένως και η γωνία ΔΑΓ είναι ορθή, αφού βαίνει σε ημικύκλιο. Επομένως
.
β) Επειδή το Η είναι ορθόκεντρο του τριγώνου , είναι .Είναι όμως και , οπότε .
Όμοια, είναι και , οπότε .
Επομένως το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
γ) Επειδή το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, είναι ΔΒ=ΑΗ.Στο τρίγωνο λοιπόν ΓΒΔ το τμήμα ΟΜ ενώνει τα μέσα δύο πλευρών , οπότε :
Αφήνω για το Χρήστο και το Αρχείο Word για κάθε άλλη χρήση !
Μπάμπης
( Αυτή ιστορία με το mathtype που δεν μεταφράζει σε TEX τα κοινά γράμματα της Ελληνικής και Λατινικής, θα με κάνει να μην ξαναγράψω γεωμετρία. Εϊναι απίστευτη ταλαιπωρία να γυρίζεις συνέχεια τη γλώσσα στο πληκτρολόγιο. )
Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,R). Έστω σημείο Δ του τόξου ΑΒ τέτοιο, ώστε .
α) Να αποδείξετε ότι
(Μονάδες 8)
β) Έστω Η το ορθόκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΔΒΗ είναι παραλληλόγραμμο.
(Μονάδες 9)
γ) ) Αν Μ είναι το μέσον της ΒΓ, να αποδείξετε ότι
(Μονάδες 8)
Λύση
α) Επειδή η εγγεγραμμένη γωνία ΔΒΓ είναι ορθή , η ΓΔ είναι διάμετρος του κύκλου. Επομένως και η γωνία ΔΑΓ είναι ορθή, αφού βαίνει σε ημικύκλιο. Επομένως
.
β) Επειδή το Η είναι ορθόκεντρο του τριγώνου , είναι .Είναι όμως και , οπότε .
Όμοια, είναι και , οπότε .
Επομένως το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
γ) Επειδή το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο, είναι ΔΒ=ΑΗ.Στο τρίγωνο λοιπόν ΓΒΔ το τμήμα ΟΜ ενώνει τα μέσα δύο πλευρών , οπότε :
Αφήνω για το Χρήστο και το Αρχείο Word για κάθε άλλη χρήση !
Μπάμπης
( Αυτή ιστορία με το mathtype που δεν μεταφράζει σε TEX τα κοινά γράμματα της Ελληνικής και Λατινικής, θα με κάνει να μην ξαναγράψω γεωμετρία. Εϊναι απίστευτη ταλαιπωρία να γυρίζεις συνέχεια τη γλώσσα στο πληκτρολόγιο. )
- Συνημμένα
-
- ΘΕΜΑ 6879.doc
- (104 KiB) Μεταφορτώθηκε 137 φορές
τελευταία επεξεργασία από Μπάμπης Στεργίου σε Πέμ Μάιος 29, 2014 9:08 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Άσκηση 4756
Δίνεται κύκλος και μια διάμετρός του.
Θεωρούμε τις χορδές . Έστω και τα μέσα των χορδών και αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) Οι χορδές και είναι παράλληλες.
β) Το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο
γ) Η είναι διάμετρος του κύκλου.
δ) Το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.
Λύση
α) Είναι ως εγγεγραμμένες που βαίνουν στα ίσα τόξα και (αφού οι αντίστοιχες χορδές τους είναι ίσες)
Έτσι αφού σχηματίζονται εντός εναλλάξ γωνίες ίσες από την τέμνουσα τους .
β) Τα τρίγωνα και είναι ίσα αφού έχουν:
κοινή πλευρά, από την υπόθεση και ως εγγεγραμμένες σε ημικύκλια.
Οπότε και .
Έτσι το είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο αφού και
γ) Αφού το είναι ορθογώνιο τότε και αφού είναι εγγεγραμμένη θα βαίνει σε ημικύκλιο, δηλαδή η είναι διάμετρος του κύκλου.
δ) Τα τμήματα είναι αποστήματα των χορδών και αντίστοιχα επειδή τα , είναι μέσα των χορδών.
Έτσι και δηλαδή το είναι ορθογώνιο αφού έχει τρείς ορθές γωνίες.
Δίνεται κύκλος και μια διάμετρός του.
Θεωρούμε τις χορδές . Έστω και τα μέσα των χορδών και αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) Οι χορδές και είναι παράλληλες.
β) Το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο
γ) Η είναι διάμετρος του κύκλου.
δ) Το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.
Λύση
α) Είναι ως εγγεγραμμένες που βαίνουν στα ίσα τόξα και (αφού οι αντίστοιχες χορδές τους είναι ίσες)
Έτσι αφού σχηματίζονται εντός εναλλάξ γωνίες ίσες από την τέμνουσα τους .
β) Τα τρίγωνα και είναι ίσα αφού έχουν:
κοινή πλευρά, από την υπόθεση και ως εγγεγραμμένες σε ημικύκλια.
Οπότε και .
Έτσι το είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο αφού και
γ) Αφού το είναι ορθογώνιο τότε και αφού είναι εγγεγραμμένη θα βαίνει σε ημικύκλιο, δηλαδή η είναι διάμετρος του κύκλου.
δ) Τα τμήματα είναι αποστήματα των χορδών και αντίστοιχα επειδή τα , είναι μέσα των χορδών.
Έτσι και δηλαδή το είναι ορθογώνιο αφού έχει τρείς ορθές γωνίες.
- Συνημμένα
-
- 4756.png (25.49 KiB) Προβλήθηκε 2631 φορές
τελευταία επεξεργασία από hlkampel σε Πέμ Μάιος 29, 2014 9:36 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Ηλίας Καμπελής
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Γράφω ποιες έχουν γίνει:
3693-3694-3696-
3701-02-08-3709-3762-
3817-3820-22-24-25-
3903-04-06-08-11-15-19-26-32-38-45-48-54-61-66
4307
4555-62-65-67-69-71-74-79-83-99
4603-06-11-14-16-19-22-26-30-35-40-43-45-46-48-49-50-51-52-53-55
4731-35-37-41-53-56-99
5886
5902-10
6875-79
3693-3694-3696-
3701-02-08-3709-3762-
3817-3820-22-24-25-
3903-04-06-08-11-15-19-26-32-38-45-48-54-61-66
4307
4555-62-65-67-69-71-74-79-83-99
4603-06-11-14-16-19-22-26-30-35-40-43-45-46-48-49-50-51-52-53-55
4731-35-37-41-53-56-99
5886
5902-10
6875-79
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Άσκηση 4757
Στις πλευρές και γωνίας θεωρούμε σημεία και Γ ώστε .
Οι κάθετες στις και στα σημεία και Γ αντίστοιχα, τέμνονται στο .
Αν οι ημιευθείες και χωρίζουν τη γωνία σε τρεις ίσες γωνίες και τέμνουν τις και στα σημεία και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
β) Το ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας .
γ) Οι γωνίες και είναι ίσες.
Λύση
α) Έστω
Τα ορθογώνια τρίγωνα και είναι ίσα επειδή έχουν:
από την υπόθεση και
άρα και δηλαδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
β) Τα ορθογώνια τρίγωνα και είναι ίσα αφού έχουν:
(κάθετες) και κοινή πλευρά (υποτείνουσα)
Έτσι , οπότε το ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας επειδή ισαπέχει από τις πλευρές της.
γ) Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο επειδή οπότε
Παρατήρηση: Νομίζω η άσκηση έχει πρόβλημα κατασκευής (τριχοτόμηση γωνίας). Μπορούσαν να δώσουν "Δίνονται τρεις ίσες διαδοχικές γωνίες ... "
Στις πλευρές και γωνίας θεωρούμε σημεία και Γ ώστε .
Οι κάθετες στις και στα σημεία και Γ αντίστοιχα, τέμνονται στο .
Αν οι ημιευθείες και χωρίζουν τη γωνία σε τρεις ίσες γωνίες και τέμνουν τις και στα σημεία και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
β) Το ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας .
γ) Οι γωνίες και είναι ίσες.
Λύση
α) Έστω
Τα ορθογώνια τρίγωνα και είναι ίσα επειδή έχουν:
από την υπόθεση και
άρα και δηλαδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
β) Τα ορθογώνια τρίγωνα και είναι ίσα αφού έχουν:
(κάθετες) και κοινή πλευρά (υποτείνουσα)
Έτσι , οπότε το ανήκει στη διχοτόμο της γωνίας επειδή ισαπέχει από τις πλευρές της.
γ) Το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο επειδή οπότε
Παρατήρηση: Νομίζω η άσκηση έχει πρόβλημα κατασκευής (τριχοτόμηση γωνίας). Μπορούσαν να δώσουν "Δίνονται τρεις ίσες διαδοχικές γωνίες ... "
- Συνημμένα
-
- 4757.png (25.56 KiB) Προβλήθηκε 2523 φορές
τελευταία επεξεργασία από hlkampel σε Πέμ Μάιος 29, 2014 10:30 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Ηλίας Καμπελής
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13232
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Άσκηση 4762
Στο παρακάτω σχήμα το ορθογώνιο είναι ένα τραπέζι μπιλιάρδου. Ένας παίκτης τοποθετεί μία μπάλα στο σημείο το οποίο ανήκει στη μεσοκάθετο του και απέχει από αυτή απόσταση ίση με . Όταν ο παίκτης χτυπήσει τη μπάλα, αυτή ακολουθεί τη διαδρομή χτυπώντας στους τοίχους του μπιλιάρδου διαδοχικά. Για τη διαδρομή αυτή ισχύει ότι κάθε γωνία πρόσπτωσης (π.χ η γωνία ) είναι ίση με κάθε γωνία ανάκλασης (π.χ η γωνία ) και κάθε μία από αυτές είναι .
α) Να αποδείξετε ότι:
i) Η διαδρομή της μπάλας είναι τετράγωνο. (Μονάδες )
ii) Το σημείο ισαπέχει από τις κορυφές του μπιλιάρδου. (Μονάδες )
β) Αν η είναι διπλάσια από την απόσταση του από τον τοίχο , να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου . (Μονάδες )
Λύση:
Θα απαντήσω πρώτα στο ερώτημα (α. ii)
Οι πλευρές του μπιλιάρδου έχουν την ίδια μεσοκάθετο, άρα το ανήκει και στη μεσοκάθετο του , οπότε
α. i) Από το ισοσκελές τρίγωνο είναι
Εξάλλου είναι , οπότε θα είναι και (άθροισμα γωνιών τριγώνου). Επειδή όμως , τα τρίγωνα θα είναι ίσα. Άρα .
Επειδή τώρα κάθε γωνία πρόσπτωσης και κάθε γωνία ανάκλασης είναι ίση με , προκύπτει άμεσα ότι το είναι ορθογώνιο με δύο διαδοχικές πλευρές ίσες (από την ). Άρα είναι τετράγωνο.
β) Έστω η ορθή προβολή του πάνω στην . Από την υπόθεση έχουμε . Αλλά το
τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Οπότε και κατά συνέπεια
Παρατήρηση: Το στοιχείο ότι το σημείο απέχει από τη απόσταση ίση με δεν χρησιμοποιήθηκε στην απόδειξη. Ωστόσο, είναι υποχρεωτικό στην κατασκευή του σχήματος.
Θα μπορούσε όμως κάλλιστα, να δοθεί σαν αποδεικτικό ερώτημα.
Για σιγουριά, ας το δει και κάποιος άλλος
Στο παρακάτω σχήμα το ορθογώνιο είναι ένα τραπέζι μπιλιάρδου. Ένας παίκτης τοποθετεί μία μπάλα στο σημείο το οποίο ανήκει στη μεσοκάθετο του και απέχει από αυτή απόσταση ίση με . Όταν ο παίκτης χτυπήσει τη μπάλα, αυτή ακολουθεί τη διαδρομή χτυπώντας στους τοίχους του μπιλιάρδου διαδοχικά. Για τη διαδρομή αυτή ισχύει ότι κάθε γωνία πρόσπτωσης (π.χ η γωνία ) είναι ίση με κάθε γωνία ανάκλασης (π.χ η γωνία ) και κάθε μία από αυτές είναι .
α) Να αποδείξετε ότι:
i) Η διαδρομή της μπάλας είναι τετράγωνο. (Μονάδες )
ii) Το σημείο ισαπέχει από τις κορυφές του μπιλιάρδου. (Μονάδες )
β) Αν η είναι διπλάσια από την απόσταση του από τον τοίχο , να υπολογίσετε τις γωνίες του τριγώνου . (Μονάδες )
Λύση:
Θα απαντήσω πρώτα στο ερώτημα (α. ii)
Οι πλευρές του μπιλιάρδου έχουν την ίδια μεσοκάθετο, άρα το ανήκει και στη μεσοκάθετο του , οπότε
α. i) Από το ισοσκελές τρίγωνο είναι
Εξάλλου είναι , οπότε θα είναι και (άθροισμα γωνιών τριγώνου). Επειδή όμως , τα τρίγωνα θα είναι ίσα. Άρα .
Επειδή τώρα κάθε γωνία πρόσπτωσης και κάθε γωνία ανάκλασης είναι ίση με , προκύπτει άμεσα ότι το είναι ορθογώνιο με δύο διαδοχικές πλευρές ίσες (από την ). Άρα είναι τετράγωνο.
β) Έστω η ορθή προβολή του πάνω στην . Από την υπόθεση έχουμε . Αλλά το
τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Οπότε και κατά συνέπεια
Παρατήρηση: Το στοιχείο ότι το σημείο απέχει από τη απόσταση ίση με δεν χρησιμοποιήθηκε στην απόδειξη. Ωστόσο, είναι υποχρεωτικό στην κατασκευή του σχήματος.
Θα μπορούσε όμως κάλλιστα, να δοθεί σαν αποδεικτικό ερώτημα.
Για σιγουριά, ας το δει και κάποιος άλλος
τελευταία επεξεργασία από george visvikis σε Παρ Μάιος 30, 2014 11:32 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Θέμα 4765 (το χρωστάω δύο μέρες τώρα).
Σε τρίγωνο οι διχοτόμοι των γωνιών και τέμνονται στο .Η εξωτερική διχοτόμος της στο .Δίνεται ότι .
i)Να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου .
ii)Να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο είναι τραπέζιο.
iii)Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
i)Εφόσον η είναι διχοτόμος της θα είναι
.
Άρα .
Αφού ,η ,ως εξωτερική στο ισούται με το άθροισμα των απέναντι εσωτερικών δηλαδή με .
Επομένως επομένως κι έτσι .
ii) κι επειδή αυτές οι δύο είναι εντός εναλλάξ των ευθειών θα είναι .
Γνωρίζουμε ότι το σημείο τομής μιας εσωτερικής διχοτόμου ενός τριγώνου με διχοτόμο μια άλλης γωνίας βρίσκεται πάνω στην εξωτερική διχοτόμο της τρίτης γωνίας και είναι το παράκεντρο του τριγώνου.
Επομένως η είναι εξωτερική διχοτόμος της κι έτσι .Για να είναι θα έπρεπε η που είναι εντός εναλλάξ της να είναι ίση με αυτή κάτι που δεν ισχύει αφού άρα η παραλληλία δεν υφίσταται κι έτσι το τετράπλευρο είναι τραπέζιο.
iii) Όπως είδαμε .
Η εξ υποθέσεως ισούται με κι έτσι οι δύο γωνίες είναι ίσες και το ζητούμενο έπεται.
Υ.Γ Αν εντοπιστούν λάθη να ενημερωθώ για να τα διορθώσω.
Υ.Γ.2 Την πρόταση με το παράκεντρο έχω την εντύπωση πως μπορώ να την χρησιμοποιήσω αφού βρίσκεται σε εφαρμογή του σχολικού βιβλίου.Αν όχι,σίγουρα υπάρχει κάποια εύκολη,ακόμη πιο "στοιχειώδης" απόδειξη για το ii)
Edit:Έβαλα σχήμα.
Σε τρίγωνο οι διχοτόμοι των γωνιών και τέμνονται στο .Η εξωτερική διχοτόμος της στο .Δίνεται ότι .
i)Να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου .
ii)Να αποδειχθεί ότι το τετράπλευρο είναι τραπέζιο.
iii)Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
i)Εφόσον η είναι διχοτόμος της θα είναι
.
Άρα .
Αφού ,η ,ως εξωτερική στο ισούται με το άθροισμα των απέναντι εσωτερικών δηλαδή με .
Επομένως επομένως κι έτσι .
ii) κι επειδή αυτές οι δύο είναι εντός εναλλάξ των ευθειών θα είναι .
Γνωρίζουμε ότι το σημείο τομής μιας εσωτερικής διχοτόμου ενός τριγώνου με διχοτόμο μια άλλης γωνίας βρίσκεται πάνω στην εξωτερική διχοτόμο της τρίτης γωνίας και είναι το παράκεντρο του τριγώνου.
Επομένως η είναι εξωτερική διχοτόμος της κι έτσι .Για να είναι θα έπρεπε η που είναι εντός εναλλάξ της να είναι ίση με αυτή κάτι που δεν ισχύει αφού άρα η παραλληλία δεν υφίσταται κι έτσι το τετράπλευρο είναι τραπέζιο.
iii) Όπως είδαμε .
Η εξ υποθέσεως ισούται με κι έτσι οι δύο γωνίες είναι ίσες και το ζητούμενο έπεται.
Υ.Γ Αν εντοπιστούν λάθη να ενημερωθώ για να τα διορθώσω.
Υ.Γ.2 Την πρόταση με το παράκεντρο έχω την εντύπωση πως μπορώ να την χρησιμοποιήσω αφού βρίσκεται σε εφαρμογή του σχολικού βιβλίου.Αν όχι,σίγουρα υπάρχει κάποια εύκολη,ακόμη πιο "στοιχειώδης" απόδειξη για το ii)
Edit:Έβαλα σχήμα.
τελευταία επεξεργασία από gavrilos σε Σάβ Μάιος 31, 2014 8:37 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Γιώργος Γαβριλόπουλος
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Να ρωτήσω αν έχει προσπαθήσει κάποιος την 4800? Φτιάχνω το σχήμα στο geogebra και το ισοσκελές τραπέζιο που ζητάει η άσκηση να αποδειχθεί, μόνο τραπέζιο δεν είναι...
Ανδρέας
Ανδρέας
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Άσκηση 4767
Έστω ορθογώνιο τρίγωνο με . Στην πλευρά θεωρούμε τα σημεία ώστε . Αν τα σημεία και είναι τα μέσα των πλευρών και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
α) Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο (Μονάδες 13)
β) Η διάμεσος του τραπεζίου ισούται με (Μονάδεq 12)
Λύση
α) To ενώνει τα μέσα των πλευρών του τριγώνου άρα και ,άρα το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο γιατί έχει δυο απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες.
β) Έτσι όπως είναι διατυπωμένο το ερώτημα πρέπει να αποδείξουμε ότι το είναι παραλλήλόγραμμο ή εννοείται άραγε;Τέλος πάντων.
Το ενώνει τα μέσα των πλευρών του τριγώνου άρα και .Προφανώς ηδεν είναι παράλληλη στηνάρα το είναι τραπέζιο. Έστω η διάμεσος του τραπεζίου, τότε:
* αφού διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου άρα
Έστω ορθογώνιο τρίγωνο με . Στην πλευρά θεωρούμε τα σημεία ώστε . Αν τα σημεία και είναι τα μέσα των πλευρών και αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
α) Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο (Μονάδες 13)
β) Η διάμεσος του τραπεζίου ισούται με (Μονάδεq 12)
Λύση
α) To ενώνει τα μέσα των πλευρών του τριγώνου άρα και ,άρα το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο γιατί έχει δυο απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες.
β) Έτσι όπως είναι διατυπωμένο το ερώτημα πρέπει να αποδείξουμε ότι το είναι παραλλήλόγραμμο ή εννοείται άραγε;Τέλος πάντων.
Το ενώνει τα μέσα των πλευρών του τριγώνου άρα και .Προφανώς ηδεν είναι παράλληλη στηνάρα το είναι τραπέζιο. Έστω η διάμεσος του τραπεζίου, τότε:
* αφού διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου άρα
τελευταία επεξεργασία από PanosG σε Πέμ Μάιος 29, 2014 11:49 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Γκριμπαβιώτης Παναγιώτης
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Νομίζω έχει δίκιο ο Ανδρέας.tdsotm111 έγραψε:Να ρωτήσω αν έχει προσπαθήσει κάποιος την 4800? Φτιάχνω το σχήμα στο geogebra και το ισοσκελές τραπέζιο που ζητάει η άσκηση να αποδειχθεί, μόνο τραπέζιο δεν είναι...
Ανδρέας
Δεν βλέπω από που μπορεί να προκύψει η παραλληλία των , εκτός βέβαια κάποιας κατάλληλης θέσης...
Είναι το σχήμα από το Θεώρημα του Νότιου Πόλου.
Δεν έχω άλλη αντοχή! Αν μπορεί κάποιος ας το διερευνήσει.
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Γιώργος Ρίζος έγραψε:Νομίζω έχει δίκιο ο Ανδρέας.tdsotm111 έγραψε:Να ρωτήσω αν έχει προσπαθήσει κάποιος την 4800? Φτιάχνω το σχήμα στο geogebra και το ισοσκελές τραπέζιο που ζητάει η άσκηση να αποδειχθεί, μόνο τραπέζιο δεν είναι...
Ανδρέας
Δεν βλέπω από που μπορεί να προκύψει η παραλληλία των , εκτός βέβαια κάποιας κατάλληλης θέσης...
Είναι το σχήμα από το Θεώρημα του Νότιου Πόλου.
Δεν έχω άλλη αντοχή! Αν μπορεί κάποιος ας το διερευνήσει.
Γιώργο καλησπέρα.
Εικάζω ότι δεν υπάρχει περίπτωση να γίνει τραπέζιο , εκτός αν εκφυλιστεί σε ευθύγραμμο τμήμα!! Νίκος
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1733
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Προσοχή
Πριν λύσετε άλλες ασκήσεις να κατεβάσετε το νέο κατάλογο
Από τα 4α θέματα έχουν αφαιρεθεί οι παρακάτω
2789 2809 3703 3719
3731 3767 3803 3813
4574 4614 4741 4778
4794 4800 4808 6876
Πριν λύσετε άλλες ασκήσεις να κατεβάσετε το νέο κατάλογο
Από τα 4α θέματα έχουν αφαιρεθεί οι παρακάτω
2789 2809 3703 3719
3731 3767 3803 3813
4574 4614 4741 4778
4794 4800 4808 6876
Kαλαθάκης Γιώργης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Κρίμα, γιατί αυτή η άσκηση έχει ένα σωρό άλλα ωραία στοιχεία :tdsotm111 έγραψε:Να ρωτήσω αν έχει προσπαθήσει κάποιος την 4800? Φτιάχνω το σχήμα στο geogebra και το ισοσκελές τραπέζιο που ζητάει η άσκηση να αποδειχθεί, μόνο τραπέζιο δεν είναι...
Ανδρέας
α) Τα τετράπλευρα είναι εγγράψιμα.
β) Τα σημεία είναι στην ίδια ευθεία
γ) Το βρίσκεται στον περίκυκλο του τριγώνου κλπ
Μπάμπης
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1733
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Όντως ήταν καλή ....αν αλλάζαμε τα ερωτήματα
Δίνω ένα σχήμα
Δίνω ένα σχήμα
- Συνημμένα
-
- 4800.png (38.52 KiB) Προβλήθηκε 2222 φορές
Kαλαθάκης Γιώργης
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Άσκηση 4769
Έστω ισοσκελές τραπέζιο με και .
Φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας , η οποία τέμνει το στο και η κάθετη από το προς το το τέμνει στο .
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του .
β) Να αποδείξετε ότι:
i. Το τετράπλευρο είναι ρόμβος.
ii. Το σημείο είναι το μέσο του .
Λύση
α) Είναι και ως εντός και επί τα αυτά
Έτσι και
Οπότε και αφού το τραπέζιο είναι ισοσκελές και οι γωνίες των βάσεων του είναι ίσες.
β) i. Η είναι η διχοτόμος της έτσι .
Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο αφού έχει , άρα (από την υπόθεση)
Αφού ισχύει το είναι μέσο του , έτσι:
οπότε το είναι ρόμβος διότι έχει και τις τέσσερεις πλευρές του ίσες.
ii. Επειδή το τρίγωνο είναι ισόπλευρο το ύψος είναι και διάμεσος, έτσι το είναι το μέσο του.
Έστω ισοσκελές τραπέζιο με και .
Φέρουμε τη διχοτόμο της γωνίας , η οποία τέμνει το στο και η κάθετη από το προς το το τέμνει στο .
α) Να υπολογίσετε τις γωνίες του .
β) Να αποδείξετε ότι:
i. Το τετράπλευρο είναι ρόμβος.
ii. Το σημείο είναι το μέσο του .
Λύση
α) Είναι και ως εντός και επί τα αυτά
Έτσι και
Οπότε και αφού το τραπέζιο είναι ισοσκελές και οι γωνίες των βάσεων του είναι ίσες.
β) i. Η είναι η διχοτόμος της έτσι .
Το τρίγωνο είναι ισόπλευρο αφού έχει , άρα (από την υπόθεση)
Αφού ισχύει το είναι μέσο του , έτσι:
οπότε το είναι ρόμβος διότι έχει και τις τέσσερεις πλευρές του ίσες.
ii. Επειδή το τρίγωνο είναι ισόπλευρο το ύψος είναι και διάμεσος, έτσι το είναι το μέσο του.
- Συνημμένα
-
- 4769.png (27.81 KiB) Προβλήθηκε 2203 φορές
Ηλίας Καμπελής
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Άσκηση 4771
Έστω τετράγωνο και το μέσο της πλευράς . Προεκτείνουμε το τμήμα (προς την πλευρά του )κατά τμήμα .
Φέρουμε τα τμήματα και και θεωρούμε τα μέσα τους και αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
β) Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
γ) Το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο.
Λύση
α) Αν είναι η πλευρά του τετραγώνου τότε:
Άρα το είναι παραλληλόγραμμο αφού .
β) Το είναι παραλληλόγραμμο επειδή ως μισά των ίσων και παραλλήλων τμημάτων ,
έτσι οπότε το είναι παραλληλόγραμμο.
γ) ως διάμεσος στην υποτείνουσα του ορθ. τριγώνου .
Το τετράπλευρο έχει και οπότε είναι ισοσκελές τραπέζιο.
(Η τέμνει τη άρα τέμνει και την παράλληλη της , δηλαδή οι ευθείες και τέμνονται)
Έστω τετράγωνο και το μέσο της πλευράς . Προεκτείνουμε το τμήμα (προς την πλευρά του )κατά τμήμα .
Φέρουμε τα τμήματα και και θεωρούμε τα μέσα τους και αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
β) Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
γ) Το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο.
Λύση
α) Αν είναι η πλευρά του τετραγώνου τότε:
Άρα το είναι παραλληλόγραμμο αφού .
β) Το είναι παραλληλόγραμμο επειδή ως μισά των ίσων και παραλλήλων τμημάτων ,
έτσι οπότε το είναι παραλληλόγραμμο.
γ) ως διάμεσος στην υποτείνουσα του ορθ. τριγώνου .
Το τετράπλευρο έχει και οπότε είναι ισοσκελές τραπέζιο.
(Η τέμνει τη άρα τέμνει και την παράλληλη της , δηλαδή οι ευθείες και τέμνονται)
- Συνημμένα
-
- 4771.png (42.92 KiB) Προβλήθηκε 2179 φορές
Ηλίας Καμπελής
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Μια άποψη ( υπάρχουν και άλλες το ίδιο περίπου «επώδυνες» για τους μαθητές λόγω βοηθητικών γραμμών )
α)Πριν χτυπήσουμε την μπάλα φέρνουμε την απόσταση του από τη και τη μεσοκάθετο του η οποία τέμνει την σε σημείο και τη σε σημείο .
Έστω δε , το σημείο τομής των . Στο τετράπλευρο που προέκυψε οι διαγώνιοι τέμνονται κάθετα , είναι ίσες (αφού το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο και έτσι ). Τώρα
στο ορθογώνιο η είναι μεσοκάθετος στο , άρα η μεσοπαράλληλος των ,δηλαδή είναι μεσοκάθετος και στο .Δηλαδή στο τετράπλευρο οι διαγώνιοι διχοτομούνται
και είναι ίσες και κάθετοι.
Το τετράπλευρο λοιπόν είναι ταυτόχρονα ρόμβος και ορθογώνιο άρα και τετράγωνο. Τώρα στο τετράγωνο οι διαγώνιοι του θα χωρίζουν τις ορθές γωνίες του σε δύο ίσες γωνίες και κάθε μια ίση
με .
Τότε όμως προφανές οι πλευρές του θα σχηματίζουν με τις γωνίες από . Συνεπώς αν χτυπήσουμε την μπάλα, αυτή με την προϋπόθεση ότι η γωνία προσπτώσεως ισούται με τη γωνία
ανακλάσεως και ίση με θα ακολουθήση την πορεία
β) Έστω το σημείο τομής των . Αφού η είναι μεσοκάθετος στο θα είναι μεσοκάθετος και στο και άρα, το θα ισαπέχει από τα .
γ) Αφού , στο ορθογώνιο τρίγωνο η γωνία και αφού το είναι ισοσκελές τρίγωνο θα είναι και . Προφανώς δε
Νίκος
α)Πριν χτυπήσουμε την μπάλα φέρνουμε την απόσταση του από τη και τη μεσοκάθετο του η οποία τέμνει την σε σημείο και τη σε σημείο .
Έστω δε , το σημείο τομής των . Στο τετράπλευρο που προέκυψε οι διαγώνιοι τέμνονται κάθετα , είναι ίσες (αφού το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο και έτσι ). Τώρα
στο ορθογώνιο η είναι μεσοκάθετος στο , άρα η μεσοπαράλληλος των ,δηλαδή είναι μεσοκάθετος και στο .Δηλαδή στο τετράπλευρο οι διαγώνιοι διχοτομούνται
και είναι ίσες και κάθετοι.
Το τετράπλευρο λοιπόν είναι ταυτόχρονα ρόμβος και ορθογώνιο άρα και τετράγωνο. Τώρα στο τετράγωνο οι διαγώνιοι του θα χωρίζουν τις ορθές γωνίες του σε δύο ίσες γωνίες και κάθε μια ίση
με .
Τότε όμως προφανές οι πλευρές του θα σχηματίζουν με τις γωνίες από . Συνεπώς αν χτυπήσουμε την μπάλα, αυτή με την προϋπόθεση ότι η γωνία προσπτώσεως ισούται με τη γωνία
ανακλάσεως και ίση με θα ακολουθήση την πορεία
β) Έστω το σημείο τομής των . Αφού η είναι μεσοκάθετος στο θα είναι μεσοκάθετος και στο και άρα, το θα ισαπέχει από τα .
γ) Αφού , στο ορθογώνιο τρίγωνο η γωνία και αφού το είναι ισοσκελές τρίγωνο θα είναι και . Προφανώς δε
Νίκος
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Παρ Μάιος 30, 2014 10:17 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Άσκηση 4774
Έστω κύκλος με κέντρο και δύο κάθετες ακτίνες του και . Έσττω το μέσον
του τόξου . Από το Α φέρω κάθετες στις ακτίνες και που τις τέμνουν στα
και αντίστοιχα. Οι προεκτάσεις των και τέμνουν τον κύκλο στα σημεία και αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) . (Μονάδες 4)
α) Το είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 7)
β) Τα σημεία και είναι αντιδιαμετρικά. (Μονάδες 7)
γ) Το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 7) Λύση
α) Αφού , απόστημα της χορδής . Άρα μέσο του τόξου . Άρα .
Όμοια, δεδομένου ότι μέσο .
Τότε όμως ως χορδές ίσων τόξων ().
β) Από υπόθεση , και . Τότε το τετράπλευρο έχει 3 ορθές γωνίες, άρα είναι ορθογώνιο.
γ)Από το β), έχω . Άρα το τόξο είναι ημικύκλιο, επομένως διάμετρος δηλ. , αντιδιαμετρικά.
δ) Αφού τα τόξα , τότε και .
Αφού , τέμνει .
Συνεπώς είναι ισοσκελές τραπέζιο.
Έστω κύκλος με κέντρο και δύο κάθετες ακτίνες του και . Έσττω το μέσον
του τόξου . Από το Α φέρω κάθετες στις ακτίνες και που τις τέμνουν στα
και αντίστοιχα. Οι προεκτάσεις των και τέμνουν τον κύκλο στα σημεία και αντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) . (Μονάδες 4)
α) Το είναι ορθογώνιο. (Μονάδες 7)
β) Τα σημεία και είναι αντιδιαμετρικά. (Μονάδες 7)
γ) Το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο. (Μονάδες 7) Λύση
α) Αφού , απόστημα της χορδής . Άρα μέσο του τόξου . Άρα .
Όμοια, δεδομένου ότι μέσο .
Τότε όμως ως χορδές ίσων τόξων ().
β) Από υπόθεση , και . Τότε το τετράπλευρο έχει 3 ορθές γωνίες, άρα είναι ορθογώνιο.
γ)Από το β), έχω . Άρα το τόξο είναι ημικύκλιο, επομένως διάμετρος δηλ. , αντιδιαμετρικά.
δ) Αφού τα τόξα , τότε και .
Αφού , τέμνει .
Συνεπώς είναι ισοσκελές τραπέζιο.
τελευταία επεξεργασία από VreAnt σε Παρ Μάιος 30, 2014 4:25 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Βρέντζος Αντώνης
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Άσκηση 4781
Δίνεται τρίγωνο , με διχοτόμο της γωνίας . Στην προέκταση της θεωρούμε σημείο ώστε . Η παράλληλη από το προς την τέμνει τις και στα καιαντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
β) Η είναι μεσοκάθετος της .
γ) Τα τρίγωνα και είναι ίσα.
δ) Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
Λύση
α) Είναι ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων και που τέμνονται από την .
Όμως και οπότε δηλαδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές αφού έχει δύο ίσες γωνίες.
β) Η είναι διάμεσος στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου οπότε είναι μεσοκάθετος της.
γ) Τα τρίγωνα και είναι ίσα από αφού έχουν:
από την υπόθεση
και ως κατακορυφήν.
δ) Από την παραπάνω ισότητα συμπεραίνουμε ότι .
Όμως είναι και
Άρα το είναι παραλληλόγραμμο αφού οι διαγώνιοι του διχοτομούνται
Δίνεται τρίγωνο , με διχοτόμο της γωνίας . Στην προέκταση της θεωρούμε σημείο ώστε . Η παράλληλη από το προς την τέμνει τις και στα καιαντίστοιχα.
Να αποδείξετε ότι:
α) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές.
β) Η είναι μεσοκάθετος της .
γ) Τα τρίγωνα και είναι ίσα.
δ) Το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
Λύση
α) Είναι ως εντός εναλλάξ των παραλλήλων και που τέμνονται από την .
Όμως και οπότε δηλαδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές αφού έχει δύο ίσες γωνίες.
β) Η είναι διάμεσος στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου οπότε είναι μεσοκάθετος της.
γ) Τα τρίγωνα και είναι ίσα από αφού έχουν:
από την υπόθεση
και ως κατακορυφήν.
δ) Από την παραπάνω ισότητα συμπεραίνουμε ότι .
Όμως είναι και
Άρα το είναι παραλληλόγραμμο αφού οι διαγώνιοι του διχοτομούνται
- Συνημμένα
-
- 4781.png (39.53 KiB) Προβλήθηκε 2872 φορές
τελευταία επεξεργασία από hlkampel σε Παρ Μάιος 30, 2014 10:14 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Ηλίας Καμπελής
- Christos.N
- Δημοσιεύσεις: 2105
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 26, 2009 2:28 pm
- Τοποθεσία: Ίλιον
Re: ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ -ΤΕΤΑΡΤΟ ΘΕΜΑ
Γράφω ποιες έχουν γίνει σε αυτήν την σελίδα ως ευρετήριο για τις επόμενες:
3693-3694-3696-
3701-02-08-3709-3762-
3817-3820-22-24-25-
3903-04-06-08-11-15-19-26-32-38-45-48-54-61-66
4307
4555-62-65-67-69-71-74-79-83-99
4603-06-11-14-16-19-22-26-30-35-40-43-45-46-48-49-50-51-52-53-55
4731-35-37-41-53-56-57-62-65-67-69-71-74-81-99
5886
5902-10
6875-79
3693-3694-3696-
3701-02-08-3709-3762-
3817-3820-22-24-25-
3903-04-06-08-11-15-19-26-32-38-45-48-54-61-66
4307
4555-62-65-67-69-71-74-79-83-99
4603-06-11-14-16-19-22-26-30-35-40-43-45-46-48-49-50-51-52-53-55
4731-35-37-41-53-56-57-62-65-67-69-71-74-81-99
5886
5902-10
6875-79
Χρήστος Ντάβας
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Wir müssen wissen — wir werden wissen! D.Hilbert
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες