δακτυλιοι-ιδεωδη

#21

Προσπάθησε να το γράψεις σαν γραμμικό συνδυασμό των x-1

και

μαζί με κάποιο πιο «απλό» υπόλοιπο. (Κάνοντας δυο φορές ευκλείδια διαίρεση πολυωνύμων.)

deadly · #22

πώς θα κάνουμε ευκλείδια διαίρεση? αφου τα πολυώνυμα εχουν 2 μεταβλητές??

deadly · #23

ωραία βρήκα το γραμμικό συνδυασμό 13x^3+y^2-14=(13x^2+13x+13)(x-1)+(y+1)(y-1)+0

Άρα θα πω ότι το ιδεωδες J είναι $J = \langle 13x^2+13x+13,y+1\rangle$ ??? δηλ. $J = \langle x^2+x+1,y+1\rangle$ ?

giorgos2 · #24

γεια σου deadly νομίζω το πας καλά μέχρι στιγμής απλά όπως και στο 1ο ερώτημα πρέπει να δειχθεί και το αντίστροφο. εγώ ψάχνοντας για τα ιδεώδη μονωνύμων έπεσα πάνω στο θέμα σου και εγγράφθηκα σε αυτό το φόρουμ γιατί ψάχνω να βρω πως τα βρίσκουμε. Αν μπορούσατε κύριε Demetres να μας δείξετε θα σας ήμουν ευγνώμων!

#25

Όπως το λες Γιώργο. Για τα (3) και (4), υποψιάζομαι πως ο συμβολισμός που χρησιμοποιείται είναι ο εξής:

Για το πολυώνυμο

,

είναι ο μεγιστοβάθμιος όρος του

. Για συναρτήσεις μιας μεταβλητής αυτό είναι απλό. Π.χ. MO(3x^3 + x^2 - 5x + 10) = 3x^3

. Για συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων μεταβλητών πρέπει να επιλεχθεί μια διάταξη στους όρους. Υπάρχει 2-3 διαφορετικές διατάξεις που χρησιμοποιούνται οπότε ανάλογα με την διάταξη πιθανώς να διαφέρει και ο μεγιστοβάθμιος όρος. Από 'κει και πέρα είναι $MO(I) = \{MO(f): f \in I\}$ και μετά πρέπει να ακολουθηθεί η ίδια διαδικασία όπως στα (1) και (2). Θέλει μόνο προσοχή διότι το MO(I)

είναι ένα άπειρο σύνολο.

Leonhard · #26

Διορθώστε με παρακαλώ αν έχω καταλάβει λάθος τα εξής:

Το ιδεώδες

είναι ένα άπειρο σύνολο αλλά πεπερασμένα παραγόμενο. Με την ίδια λογική το MO(I)

είναι άπειρο σύνολο αλλά πεπερασμένα παραγόμενο;
Ουσιαστικά υπάρχει αντιστοιχία μεταξύ κάθε στοιχείου του

και κάθε στοιχείου του MO(I)

;

Αναφέρομαι σε αυτά τα ιδεώδη που είδαμε εδώ ή έστω σε παρόμοια.

Leonhard · #27

Και κάτι ακόμη σχετικά με την "άσκηση":

deadly έγραψε:ωραία βρήκα το γραμμικό συνδυασμό

Όπως καταλαβαίνω εγώ αυτό σημαίνει ότι $f_3 \in \left\langle x-1, y-1\right\rangle$ (τα f_1, f_2

τα δείξαμε ηδη πριν). Άρα και $\left\langle x-1, y-1\right\rangle \supseteq J$ .
Επίσης φαίνεται να ισχύει ότι $I \subseteq J$ άρα $\left\langle x-1, y-1\right\rangle \subseteq J$
Τελικά τα ιδεώδη είναι ίδια;;;

giorgos2 · #28

δηλαδή στο παράδειγμα της κοπέλας που ζητάμε ιδεώδες μονονύμων του Ι ιδεώδους θα πούμε οτι για το $I = \langle x-1,y-1\rangle$ έστω λεξικογραφική διάταξη χ>y οπότε MO(I)

θα είναι $\langle x,y\rangle$ και αντίστοιχα για το J $\langle x^2,y\rangle$ ???

#29

Υπάρχουν κάποια λάθη στα πιο πάνω.

1) Τα x-1

και

δεν είναι μονώνυμα!

2) Αν $I = \langle f,g\ragnle$ δεν ισχύει απαραίτητα ότι $MO(I) = \langle MO(f),MO(g)\rangle$ . Π.χ. αν f = x, g = xy+z

, τότε $z = g(x,y,z) - yf(x,y,z) \in I$ άρα και $z \in MO(I)$ . Αλλά $z \notin \langle x\rangle = \langle x,xy\rangle = \langle MO(f),MO(g)\rangle$ , άτοπο.

giorgos2 · #30

Demetres έγραψε:Υπάρχουν κάποια λάθη στα πιο πάνω.

1) Τα και δεν είναι μονώνυμα!

2) Αν $I = \langle f,g\ragnle$ δεν ισχύει απαραίτητα ότι $MO(I) = \langle MO(f),MO(g)\rangle$ . Π.χ. αν , τότε $z = g(x,y,z) - yf(x,y,z) \in I$ άρα και $z \in MO(I)$ . Αλλά $z \notin \langle x\rangle = \langle x,xy\rangle = \langle MO(f),MO(g)\rangle$ , άτοπο.

θα μπορούσαμε δηλ να πούμε αν f = x-1, g = y-1

, τότε $y=x+g(x,y)-f(x,y) \in I$ και αρα $y \in MO(I)$ ?

deadly · #31

Γιώργο και εγώ αυτό σκέφτηκα αλλά κύριε Δημήτρη είναι σωστό;

#32

Δεν ισχύει ότι $x \in I$ . (Αν χρησιμοποιήσουμε την λεξικογραφική διάταξη, επειδή $x-1 \in I$ τότε και $x \in MO(I)$ .)

giorgos2 · #33

Demetres έγραψε:Δεν ισχύει ότι $x \in I$ . (Αν χρησιμοποιήσουμε την λεξικογραφική διάταξη, επειδή $x-1 \in I$ τότε και $x \in MO(I)$ .)

ναι αλλά δεν θα ισχύει και $y-1 \in I$ τότε και $y \in MO(I)$ ;;

#34

Ναι το συμπέρασμα ότι $y \in MO(I)$ είναι σωστό. Το ίδιο και η απόδειξη που δίνεις τώρα. Η προηγούμενή όμως απόδειξή σου ήταν λανθασμένη.

giorgos2 · #35

άρα συνολικά θα λέγαμε $x,y \in MO(I)$ ? και για το $J = \langle x^2+x+1,y+1\rangle$ θα πούμε όμοια ότι $x^2+x+1 \in J$ άρα $x^2 \in MO(J)$ και $y+1 \in J$ οπότε $y \in MO(J)$ ????

Leonhard · #36

giorgos2 έγραψε:άρα συνολικά θα λέγαμε $x,y \in MO(I)$ ? και για το $J = \langle x^2+x+1,y+1\rangle$ θα πούμε όμοια ότι $x^2+x+1 \in J$ άρα $x^2 \in MO(J)$ και $y+1 \in J$ οπότε $y \in MO(J)$ ????

Συγγνώμη αλλά θα επιμείνω στο γιατί βγάλαμε έτσι το

. Επειδή αν όντως $J = \langle x^2+x+1,y+1\rangle$ τότε πώς στο καλό το f_2

ανήκει στο

;

#37

Leonhard, έχεις δίκιο ότι τα ιδεώδη είναι ίδια. Το x^2+x+1

που έγραψε ο Γιώργος δεν ανήκει καν στο

.

Για το MO(I)

μέχρι στιγμής έχει δειχθεί ότι $\langle MO(I) \rangle \supseteq \langle x,y\rangle$ . Ισχύει και η ισότητα αλλά πρέπει να αποδειχθεί.

giorgos2 · #38

Αρα αφου τα ιδεωδη ειναι ιδια θα ειναι και τα ιδεωδη μονωνυμων ιδια? Δηλ $MO(J) \supseteq \langle x,y\rangle$ ??? Και την ισοτητα πως μπορουμε να τη δειξουμε?

papakakakos · #39

τι εννοεί η άσκηση όταν λέει "να περιγράψετε τα στοιχεία"?

giorgos2 · #40

Αρα αφου τα ιδεωδη ειναι ιδια θα ειναι και τα ιδεωδη μονωνυμων ιδια? Δηλ $MO(J) \supseteq \langle x,y\rangle$ ??? Και την ισοτητα πως μπορουμε να τη δειξουμε?

δακτυλιοι-ιδεωδη

Re: δακτυλιοι-ιδεωδη

Re: δακτυλιοι-ιδεωδη

Re: δακτυλιοι-ιδεωδη

Re: δακτυλιοι-ιδεωδη

Re: δακτυλιοι-ιδεωδη

Re: δακτυλιοι-ιδεωδη

Re: δακτυλιοι-ιδεωδη

Re: δακτυλιοι-ιδεωδη

Re: δακτυλιοι-ιδεωδη

Re: δακτυλιοι-ιδεωδη

Re: δακτυλιοι-ιδεωδη

Re: δακτυλιοι-ιδεωδη

Re: δακτυλιοι-ιδεωδη

Re: δακτυλιοι-ιδεωδη

Re: δακτυλιοι-ιδεωδη

Re: δακτυλιοι-ιδεωδη

Re: δακτυλιοι-ιδεωδη

Re: δακτυλιοι-ιδεωδη

Re: δακτυλιοι-ιδεωδη

Re: δακτυλιοι-ιδεωδη

Μέλη σε σύνδεση