Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

stelmarg · #41

Καλησπέρα. Στο πρώτο θέμα των πανελληνίων αν δε γράψεις ολογράφως ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ και απαντήσεις με Σ - Λ , το δέχονται;
Ευχαριστώ

themata · #42

επιτέλους οι μαθητές αντιμετώπισαν πολύ καλά συνδυαστικά θέματα που θα αναδείξουν όλα τα επίπεδα γνώσεων.

pvnrt58 · #43

πολυ ομορφα θεματα για μαθητες!!!

alkmel · #44

Αλέξανδρε και Θόδωρε στο τέλος έδινε χ(t) >0.

dimitris.ligonis · #45

Καλησπέρα, έγραφα και εγώ σήμερα.Θα έλεγα υπό άλλες συνθήκες ότι τα θέματα ήταν μια χαρά. Οι μαθητές όμως όλοι προετοιμαζόμαστε με βάση τα θέματα των παλαιότερων χρόνων οπότε και με βάση τα περσινά , προπέρσινα. Κατά τη γνώμη μου ένας μαθητής που πέρσι θα έγραφε 18 η 18,5 και ένας μαθητής που πέρσι θα έγραφε 20 ή 19,5 φέτος θα πάρουν τον ίδιο βαθμό. Πέρσι ακούσαμε πολλές φωνές κλπ.Φέτος ; Η μοναδική έγνοια είναι να μην αδικείται ο μέτριος μαθητής ;

#46

Για το Γ4:

Είναι $\phi(x)=e^x\ln \left(\dfrac{2e^x}{e^x+1}\right)$ , οπότε $\phi(0)=0$ . Επίσης, παρατηρούμε ότι $\dfrac{2e^x}{e^x+1}>1$ για x>0

, κι άρα $\phi(x)>0=\phi(0)$ για x>0

.

Με αλλαγή μεταβλητής t=e^x

έχουμε $dt=e^x\,dx$ , και

$\begin{aligned} E:&=\int_0^1 |\phi(x)|\, dx\\ &=\int_0^1\phi(x)\, dx\\ &=\int_1^e \ln \left(\dfrac{2t}{t+1}\right)\,dt\\ &=\int_1^e\ln 2\,dt+\int_1^e\ln t\,dt-\int_1^e\ln(t+1)\,dt\\ &=(e-1)\ln 2+I(0)+I(1)\\ \end{aligned}$

όπου $\displaystyle{I(a):=\int_1^e \ln(t+a)\, dt}$ για $a\geq 0$ . Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες για $a\geq 0$ έχουμε

$\begin{aligned} I(a):=\int_1^e \ln(t+a)\, dt&=\int_1^e (t+a)'\ln(t+a)\, dt\\ &=[(t+a)\ln(t+a)]_{t=1}^{t=e}-\int_1^e 1\,dt\\ &=(e+a)\ln(e+a)-(1+a)\ln(1+a)-(e-1)\\ \end{aligned}$

Συνεπώς, I(0)=1

και $I(1)=(e+1)\ln(e+1)-2\ln 2- e+1$ , οπότε το ζητούμενο εμβαδό είναι

$E=(e-1)\ln 2+1-(e+1)\ln(e+1)+e+2\ln 2-1=\boxed{(e+1)\ln \dfrac{2}{e+1}+e}$ τ.μ.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Edit: Προσθήκη αναλυτικού υπολογισμού βοηθητικού ολοκληρώματος.

cristsuk · #47

Καλό μεσημέρι και καλή συνέχεια σε όλα τα παιδιά
Τα σημερινά θέματα σε Word

karas51 · #48

Μία λύση για το Δ2α
Έστω F(x)

μία αρχική της $f(x) , x \epsilon R$ . Τότε, F'(x)=f(x)>0

(Είναι

απλό μέσω μονοτονίας ή σύνολο τιμών). Τότε, F(x)

γνησίως αύξουσα στο

.
Και
$\int_{1}^{2f'(x)}{f(u)du}=0\Leftrightarrow \left[ F(u)\right]_1^{2f'(x)}=0\Leftrightarrow F(2f'(x))-F(1)=0$

$\Leftrightarrow F(2f'(x))=F(1)\Leftrightarrow 2f'(x)=1\Leftrightarrow x=0$

Edit: Το ξαναδημοσιεύω, αυτή τη φορά με κώδικα.

anastasispk · #49

Καλησπέρα,
εγώ το Δ2 β. το έλυσα έτσι σήμερα:

$x'(t) = 2 y'(t) \Leftrightarrow \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = 2 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \Leftrightarrow \frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow f'(x)=\frac{1}{2} \Leftrightarrow x=0$
από το προηγούμενο ερώτημα..
Είναι σωστό;

abgd · #50

anastasispk έγραψε:Καλησπέρα,
εγώ το Δ2 β. το έλυσα έτσι σήμερα:

$x'(t) = 2 y'(t) \Leftrightarrow \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = 2 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \Leftrightarrow \frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow f'(x)=\frac{1}{2} \Leftrightarrow x=0$
από το προηγούμενο ερώτημα..
Είναι σωστό;

Η τελευταία ισοδυναμία θέλει αιτιολόγηση.

anastasispk · #51

abgd έγραψε:
anastasispk έγραψε:Καλησπέρα,
εγώ το Δ2 β. το έλυσα έτσι σήμερα:

$x'(t) = 2 y'(t) \Leftrightarrow \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = 2 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} \Leftrightarrow \frac{\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow f'(x)=\frac{1}{2} \Leftrightarrow x=0$
από το προηγούμενο ερώτημα..
Είναι σωστό;
Η τελευταία ισοδυναμία θέλει αιτιολόγηση.

Ναι δεν το άφησα έτσι, απλά αυτή ήταν η γενική ιδέα..

#52

Μια προσέγγιση για το Δ3:

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{g\left( x \right) \ge g\left( 1 \right) = g\left( 2 \right) = 0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \left( {0, + \infty } \right),}$ οπότε η

έχει ολικό (άρα και τοπικό) ελάχιστο στα σημεία x_1 = 1

και

.

Από το Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης τιμής για τη συνάρτηση

στο $\displaystyle{[1,2]}$ υπάρχει $\displaystyle{{x_3} \in \left[ {1,2} \right]}$ τέτοιο, ώστε να ισχύει $\displaystyle{g\left( x \right) \le g\left( {{x_3}} \right)}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \left[ {1,2} \right].}$
Αν ήταν $\displaystyle{{x_3} \in \left\{ {1,2} \right\},}$ τότε θα ήταν $\displaystyle{g\left( x \right) = 0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \left[ {1,2} \right],}$ πράγμα άτοπο. Άρα, είναι $\displaystyle{{x_3} \in \left( {1,2} \right),}$ οπότε η

παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x_3

.

#53

emouroukos έγραψε:Μια προσέγγιση για το Δ3:

Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{g\left( x \right) \ge g\left( 1 \right) = g\left( 2 \right) = 0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \left( {0, + \infty } \right),}$ οπότε η έχει ολικό (άρα και τοπικό) ελάχιστο στα σημεία και .

Από το Θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης τιμής για τη συνάρτηση στο $\displaystyle{[1,2]}$ υπάρχει $\displaystyle{{x_3} \in \left[ {1,2} \right]}$ τέτοιο, ώστε να ισχύει $\displaystyle{g\left( x \right) \le g\left( {{x_3}} \right)}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \left[ {1,2} \right].}$
Αν ήταν $\displaystyle{{x_3} \in \left\{ {1,2} \right\},}$ τότε θα ήταν $\displaystyle{g\left( x \right) = 0}$ για κάθε $\displaystyle{x \in \left[ {1,2} \right],}$ πράγμα άτοπο. Άρα, είναι $\displaystyle{{x_3} \in \left( {1,2} \right),}$ οπότε η παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο .

Πολύ ωραία λύση Βαγγέλη!

Δε ζητάει να αποδειχθεί ότι οι μόνες θέσεις ακροτάτων είναι αυτές οι τρεις αλλά απλά ότι υπάρχουν 2 θέσεις τοπικών ελαχίστων και 1 θέση τοπικού μεγίστου.

Αλέξανδρος

antifa13 · #54

Κατά τη γνώμη μου τα θέματα ήταν πολύ καλά για όσους ήθελαν να γράψουν ένα μέτριο βαθμό αλλά δύσκολα (κυρίως από άποψη χρόνου) για τους μαθητές που κυνηγούν το άριστα. Θέλω την γνώμη σας για το πόσες μονάδες μπορούν να στοιχίσουν τα εξής:
--Στο Γ4 έκανα ένα ανόητο λάθος σε ένα πρόσημο. Συγκεκριμένα μετά την παραγοντική ενώ έγραψα σωστά ότι $= ... - \left( ln(e+1) + ln2 \right)$ μετά μου ξέφυγε και έβαλα ανάποδα τα πρόσημα καταλήγοντας στο (λανθασμένο) αποτέλεσμα $= e-(e-1)ln\dfrac{e+1}{2}$
--Στο Δ3 δεν πρόλαβα να ολοκληρώσω την απάντησή μου. Αυτό που πρόλαβα είναι να δείξω ότι στα σημεία 1, 2, x_0

μηδενίζεται η παράγωγος καθώς και να βρω τα πρόσημα των $\varphi (x)=(e^x-e)(x-2), \varphi '(x)= xe^x-e^x-e$ στα διαστήματα $(0,1), (1,x_0), (x_0,2), (2,+\infty)$ και δεν πρόλαβα να κάνω το πινακάκι για να δείξω ότι τα σημεία αυτά αποτελούν τοπικά ακρότατα της $g(x)=[\varphi (x)]^2$ αφού $g'(x)=2\varphi (x) \varphi '(x)$

ΥΓ: Φαντάζομαι ότι στους περισσότερους φαίνεται θέμα μικρής σημασίας, αλλά ΠΑΡΑΚΑΛΩ να μου πείτε τις γνώμες σας γιατί για ως μαθητής έχω μεγάλη αγωνία για το βαθμό! Ευχαριστώ προκαταβολικά

#55

thanasis kopadis έγραψε:Για το Δ2)α) απάντηση μαθητή, που τη θέτω για τη γνώμη σας:
Απέδειξε ότι η είναι διάφορη του μηδενός και συνεχής, άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο, οπότε εν συντομία, θα πρέπει τα άκρα του ολοκληρώματος να είναι ίσα, άρα έλυσε την εξίσωση .

Θανάση δε βλέπω κάποιο πρόβλημα στη λύση του μαθητή αν έχει δικαιολογήσει σωστά το πρόσημο της

και το πως καταλήγει στην εξίσωση 2f'(x)=1

.

Αλέξανδρος

fourdio · #56

Δεν καταλαβαίνω που τα είδατε τα ωραία θέματα. Αν το προσέξατε, δεν υπήρχε ερώτημα που να αφορούσε κάποιο από τα θεωρήματα, αν εξαιρέσουμε το Δ4. Συνεπώς δεν κάλυπταν όλη την ύλη. Επίσης, ήταν το δυσκολότερο 4ο θέμα για εμένα μέχρι στιγμής. Ερωτήματα σαν το Δ2 και το Δ4 δεν υπήρχαν άλλες χρονιές. Το θέμα των μιγαδικών όμως, ήταν αστείο. Τέλος, θεωρώ ότι ήταν πολύ κακά θέματα, αφού μπορούσαν να γράψουν οι μέτρια διαβασμένοι το 10άρι, ενώ απαιτούσαν και πολλές πράξεις ( βλ. Γ4 )

mathxl · #57

Καλό μεσημέρι.

Δεν μου άρεσαν
1) η απουσία της αντιπαραγώγισης (ο πόλεμος κατά των διαφορικών ως τετριμμένο θέμα, επιτέλους δικαιώνεται)
2) η ανεπαρκής εξέταση του κεφαλαίου των ολοκληρωμάτων(κεφάλαιο που καθόριζε το 4ο θέμα...), με ανάδειξη πρωταγωνιστή του διαφορικού.

Μου άρεσαν
1) η μοριοδότηση
2) η μελέτη του διαθέσιμου χρόνου για επίλυση - χρονικά προσεγμένα θέματα
3) τα εύκολα θέματα Α,Β
4) η κλιμάκωση δυσκολίας

Σχόλιο: Μου άρεσαν σαν θέματα εξετάσεων αλλά δεν μου άρεσαν σαν μαθηματικό. Επίσης το κυρτή στο θέμα Δ δεν είναι αναγκαίο να δίνεται αλλά έτσι όπως δόθηκε συντομεύει η λύση (χρονικά).

ΚΟΥΤΣΟΥΚΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ · #58

Για το Δ2 και στην ίδια λογική με τον karas51

Έστω $F(x)=\int_{1}^{x}{f(t)dt}$ , $x \epsilon R$ . Τότε, F'(x)=f(x)>0

άρα η

είναι

Επίσης

άρα η εξίσωση ισοδύναμα γράφεται $F(2f'(x)) = F(1) \Leftrightarrow 2f'(x) = 1 \Leftrightarrow ...$

pavlos_1996 · #59

Από ότι έχω διαβάσει στο διαδύκτιο οι περισσότεροι χαρακτηρίζουν τα θέματα βατά. Μάλιστα αναφέρθηκε προηγουμένως, ότι είναι απο τα ευκολότερα θέματα που έχουνε μπει. Ας αφήσουμε τα αστεία. Τα θέματα έχουν την απαιτούμενη κλιμάκωση ( σε αντίθεση με πέρυσι), όμως το θεμα Δ δεν παύει να έχει δυσκολίες και λεπτά σημεία. Ας περιμένουμε λοιπόν τα αποτελέσματα για να κρίνουμε.

xrimak · #60

fourdio έγραψε:Δεν καταλαβαίνω που τα είδατε τα ωραία θέματα. Αν το προσέξατε, δεν υπήρχε ερώτημα που να αφορούσε κάποιο από τα θεωρήματα, αν εξαιρέσουμε το Δ4. Συνεπώς δεν κάλυπταν όλη την ύλη. Επίσης, ήταν το δυσκολότερο 4ο θέμα για εμένα μέχρι στιγμής. Ερωτήματα σαν το Δ2 και το Δ4 δεν υπήρχαν άλλες χρονιές. Το θέμα των μιγαδικών όμως, ήταν αστείο. Τέλος, θεωρώ ότι ήταν πολύ κακά θέματα, αφού μπορούσαν να γράψουν οι μέτρια διαβασμένοι το 10άρι, ενώ απαιτούσαν και πολλές πράξεις ( βλ. Γ4 )

Οι μετρια διαβασμένοι εγραφαν το δεκαρι. Σωστο δεν είναι αυτό; Μηπως θα επρεπε να γραψουν 3 όπως άλλες χρονιες και να τιμωρηθουν επειδή δεν διαβασαν αριστα;
Ένα συστημα ετσι δεν πρεπει να είναι; Ο μετριος να γραφει περιπου δεκα. Αυτό εγινε λοιπον.

Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Ερώτηση για πανελλήνιες εξετάσεις

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Re: Μαθηματικά κατεύθυνσης 2014

Μέλη σε σύνδεση