Άλλη λύση;

#1

Στον πίνακα έχουμε γραμμένους τους αριθμούς από το

μέχρι το

. Σε κάθε βήμα δικαιούμαστε να διαγράψουμε οποιουσδήποτε τρεις αριθμούς που είναι γραμμένοι στον πίνακα, έστω τους a,b,c

και να γράψουμε τον a^3 + b^3 + c^3

. Επαναλαμβάνουμε την διαδικασία μέχρι να μείνει μόνο ένας αριθμός γραμμένος στον πίνακα.

Να δειχθεί ότι ο τελικός αριθμός δεν μπορεί να ισούται με 2013^3

.

$\rule{200pt}{1pt}$

Από Καζακστάν. Εκτός από την λύση που πιστεύω ότι είχαν υπόψη οι θεματοθέτες βλέπω ακόμη μία πολύ σύντομη λύση.

asxetos · #2

Ωραία εφαρμογη των αναλοίωτων.

Έστω S_0=1+2+...+25=325

και

το αθροισμα των αριθμών που απομένουν μετά την εφαρμογή της διαδικασίας i φορές.

Παρατηρούμε ότι $S_{i+1}=S_i-a-b-c+a^3+b^3+c^3 \equiv S_i \pmod 3$ , από το μικρό θεώρημα του Fermat. Άρα για κάποιο φυσικό k $2013^3=S_k \equiv S_{k-1}\equiv ...\equiv S_0=325 \pmod 3$ δηλαδή $0\equiv 1 \pmod 3$ , άτοπο.

Και το ζητούμενο αποδείχθηκε.

#3

Αυτή είναι η λύση που πρέπει να ήθελαν οι θεματοθέτες. Υπάρχει και μια άλλη αρκετά σύντομη λύση.

jim.jt · #4

Κε Δημήτρη, μήπως εννοείται την εικασία του Euler, που είναι επέκταση του τελευταίου θεωρήματος του Fermat (εδώ);

ealexiou · #5

Η δική μου απορία είναι γιατί έβαλαν έναν τόσο μικρό αριθμό, τον $2013^{3}$ , ότι δεν μπορεί να ισούται με τον τελικό αριθμό, αφού μόνο π.χ ο

$24^{3}= 2^{3} \times 3^{3} \times 4^{3}=8 \times 27 \times 64>3 \times 11 \times 61(=2013)$ και άρα $( 24^{3} )^{3}> 2013^{3}$

Επίσης $16^{3}=2^3 \times 2^3 \times 4^3=8 \times 8 \times 64=4 \times 16 \times 64>3 \times 9 \times 61(=2013)$

Nick1990 · #6

Αν δε χάνω κάτι, μπορούμε να πάρουμε P_i

το γινόμενο μετά από

βήματα. Τότε από ΑΜ-ΓΜ ο τελικός αριθμός είναι:

$P_{12} \geq 3P_{11} \geq ... \geq 3^{12}P_0 = 81^3\times 25! > 2013^3$ όπως μπορεί να δειχτεί εύκολα.

#7

Ακριβώς αυτό ήθελα να επισημάνω. Πολύ μικρός ο αριθμός. Εγώ το έδειξα με παρόμοιο τρόπο με τον ealexiou. (Νομίζω όμως πως θέλουμε το 23^3

και όχι το 24^3

αφού στο τελευταίο βήμα από τους τρεις αριθμούς που μένουν πιθανώς τα 24,25

να μην έχουν ακόμη χρησιμοποιηθεί.)

Δημήτρη, αυτό που λες δεν νομίζω πως βοηθάει. Γνωρίζουμε πως η x^3 + y^3 = z^3

δεν έχει μη τετριμμένες λύσεις αλλά η x^3 + y^3 + z^3 = w^3

έχει. [Η εικασία για το άθροισμα τριών κύβων λέει πως κάθε ακέραιος

είναι άθροισμα τριών κύβων ακεραίων εκτός και αν $n \equiv 4,5 \bmod 9$ . Επιτρέπεται οι x,y,z

να είναι ακέραιοι οπότε και να αληθεύει η εικασία δεν απαγορεύεται να μην υπάρχουν θετικές ακέραιες λύσεις της x^3 + y^3 + z^3 = 2013^3

.]

Άλλη λύση;

Άλλη λύση;

Re: Άλλη λύση;

Re: Άλλη λύση;

Re: Άλλη λύση;

Re: Άλλη λύση;

Re: Άλλη λύση;

Re: Άλλη λύση;

Μέλη σε σύνδεση