Γινόμενο 1 !

nickthegreek · #1

Ανεβάζω μετά από πολύ καιρό μια άσκηση , που μου είπαν σήμερα κάτι φίλοι μου στο φαγητό και με εντυπωσίασε η ομορφιά της...

Πάνω στον μοναδιαίο κύκλο έχουμε

διαφορετικά μεταξύ τους σημεία. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ένα σημείο πάνω στον κύκλο το οποίο έχει γινόμενο αποστάσεων από τα

σημεία ίσο με

.

#2

ασκηση 18 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ σελίδα 291

http://www.slideshare.net/trifonpavlos/1992-34369643

nickthegreek · #3

Κύριε Χρήστο, δεν καταλαβαίνω το πώς ο σύνδεσμός σας έχει σχέση με το πρόβλημα!

Τα σημεία είναι τυχαία στον κύκλο...

Alex1994 · #4

Έστω πως τα σημεία είναι z_1, z_2, ..., z_n

στο μιγαδικό επίπεδο, τότε ορίζουμε f(z) = (z- z_1) ... (z-z_n)

. Η

είναι αναλυτική, άρα αποκτά την μέγιστη απόλυτη τιμή εντός του μοναδιαίου δίσκου πάνω στον μοναδιαίο κύκλο (Maximum modulus principle). Έχουμε |f(0)| = 1

, άρα η μέγιστη απόλυτη τιμή στον κύκλο είναι τουλάχιστον 1. Θεωρούμε $g(t) = | f(e^{it}) |$ , τότε υπάρχει t_1

έτσι ώστε

(καθώς

), και σημείο t_2

έτσι ώστε $g(t_2) \geq 1$ . Καθώς η

είναι συνεχής, υπάρχει

μεταξύ των t_1

και

έτσι ώστε

(θεώρημα μέσης τιμής). Για το αντίστοιχο σημείο $z = e^{it}$ , το γινόμενο των αποστάσεων από τα σημεία z_1, z_2, ..., z_n

είναι 1.

#5

Χρήστο η άσκηση που έβαλες είναι εντελώς διαφορετική αφού εδώ τα

σημεία είναι εντελώς αυθαίρετα πάνω στον κύκλο.

Βάζω άλλη μία λύση που βρήκα, πάλι με μιγαδική ανάλυση:

Με τους συμβολισμούς του Αλέξανδρου, θεωρώ την συνάρτηση $\displaystyle{ g(z) = \frac{(z-z_1) \cdots (z-z_n)}{z}}$

Από Cauchy residue theorem είναι $\displaystyle{ \int_{\mathcal{C}} g(z) \, dz = 2\pi i (-1)^n z_1 \cdots z_n}$ όπου $\mathcal{C}$ η καμπύλη γύρω από τον μοναδιαίο κύκλο. Οπότε

$\displaystyle{ \max_{|z|=1} |(z-z_1) \cdots (z-z_n)| = \max_{|z|=1} |g(z)| \geqslant \frac{1}{2\pi}\left| \int_{\mathcal{C}} g(z) \, dz\right| = 1. }$

nickthegreek · #6

Αλέξανδρε και Δημήτρη,

Σας ευχαριστώ και τους δυο πάρα πολύ για τις όμορφες λύσεις σας (Δημήτρη, η δεύτερη που δίνεις σε αυτό το πρόβλημα!!!

)

#7

κατά ένα περίεργο τρόπο διάβασα κανονικό πολύγωνο.
Δεν έχει όμως σημασία τώρα

Γινόμενο 1 !

Γινόμενο 1 !

Re: Γινόμενο 1 !

Re: Γινόμενο 1 !

Re: Γινόμενο 1 !

Re: Γινόμενο 1 !

Re: Γινόμενο 1 !

Re: Γινόμενο 1 !

Μέλη σε σύνδεση