Λήμμα στον Απολλώνιο κύκλο

Petros N. · #1

Δίνω μια άσκηση που μου χρειάστηκε σαν λήμμα σε μια άλλη άσκηση. Δεν γνωρίζω αν είναι γνωστή πρόταση.

Έστω τρίγωνο ABC

με

και ο απολλώνιος κύκλος του που περνά από το

. Να δειχθεί ότι για καθε σημεία P,P'

στο εσωτερικό
και το εξωτερικό του απολλώνιου κύκλου αντίστοιχα ισχύει: $\frac{PB}{PC}<\frac{AB}{AC}<\frac{P'B}{P'C}$

S.E.Louridas · #2

Στο σχήμα που ακολουθεί εύκολα παίρνουμε:

Γενικά έχουμε: $AB\leq AC,\;\; T \in AB \Rightarrow \angle BAC \leqslant \angle BTC \Rightarrow MK \leqslant ML \Rightarrow BH \leqslant BQ \Rightarrow$ $\displaystyle{\frac{{TB}}{{TC}} = \frac{{BH}}{{HC}} \leqslant \frac{{BQ}}{{QC}} = \frac{{BA}}{{AC}}.}$
Θεωρώ ότι η παρέμβαση αυτή οδηγεί άμεσα στην απάντηση του προβλήματος.

Λήμμα στον Απολλώνιο κύκλο

Λήμμα στον Απολλώνιο κύκλο

Re: Λήμμα στον Απολλώνιο κύκλο

Μέλη σε σύνδεση