Μιγαδικοί 61

mathxl · #1

Εάν $z = \sqrt {\alpha - 5} + \alpha i,\alpha \geqslant 5$ και $w = 2\sigma \upsilon \nu \theta + 3i\eta \mu \theta ,\theta \in \left[ {0,2\pi } \right)$ τότε
να βρείτε την ελάχιστη τιμή του $\left| {z - w} \right|$ .

Christos.N · #2

$\displaystyle{ \begin{array}{l} |z - w| \ge \left| {|z| - |w|} \right| = |\sqrt {a^2 + a - 5} - \sqrt {4\sigma \upsilon \nu ^2 \theta + 9\eta \mu ^2 \theta } | \\ \\ \alpha \ge 5 \Rightarrow \sqrt {a^2 + a - 5} \ge 5 \\ \\ \left. \begin{array}{l} \sqrt {4\sigma \upsilon \nu ^2 \theta + 9\eta \mu ^2 \theta } = \sqrt {4 + 5\eta \mu ^2 \theta } \\ 0 \le \eta \mu ^2 \theta \le 1 \\ \end{array} \right\} \Rightarrow 2 \le \sqrt {4\sigma \upsilon \nu ^2 \theta + 9\eta \mu ^2 \theta } \le 3 \\ \\ |z - w| \ge \sqrt {a^2 + a - 5} - \sqrt {4\sigma \upsilon \nu ^2 \theta + 9\eta \mu ^2 \theta } \ge 5 - 3 = 2 \\ \end{array} }$

όπου το ελάχιστο επιτυγχάνεται για τους μιγαδικούς: $\displaystyle{ z = 5i }$ και $\displaystyle{ w = 3i }$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ji2mada2006 · #3

Ενδεικτική λύση

$z=\sqrt{a-5}+ai=x+yi\Rightarrow x=\sqrt{a-5}$ με x>0

και $y=a \Rightarrow x^{2}=a-5$ και y=a

Άρα : $x^{2}=y-5\Rightarrow y=x^{2}+5$ . Οι εικόνες των μιγαδικών z ανήκουν σε παραβολή με κορυφή το K(0,5)

και άξονα συμμετρίας τον y'y . Η ελάχιστη τιμή της παραβολής είναι το y=5

για

, άρα : $\left | z \right |_{min}=5$ .

$w=2\sigma \upsilon \nu \vartheta+3i \eta \mu \vartheta =x+yi\Rightarrow x=2\sigma \upsilon \nu \vartheta$ και $y=3\eta \mu \vartheta\Rightarrow x^{2}=4\sigma \upsilon \nu^{2} \vartheta$ και $y^{2}=9\eta \mu^{2} \vartheta$
Άρα : $\frac{x^{2}}{4}=\sigma \upsilon \nu ^{2}\vartheta$ και $\frac{y^{2}}{9}=\eta \mu^{2} \vartheta$ . Οπότε προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$
Οι εικόνες των μιγαδικών w ανήκουν σε έλλειψη με κορυφές τις A' ( 0,-3 ) , A(0,3) , B'( -2,0), B ( 2,0)

και κέντρο το O(0.0)

. Έχουμε μέγιστη διάμετρο την 2a=6

και ελάχιστη την 2b=4

άρα αν Μ ένα σημείο της έλλειψης και Μ΄το συμμετρικό του ως προς το O(0,0)

τότε ισχύει:
$4\leq(MM')\leq 6\Rightarrow 4\leq2(OM)\leq 6\Rightarrow 2\leq(OM)\leq 3\Rightarrow2\leq \left | w \right |\leq 3$
Άρα $\left | w \right |_{max}=3$

Τέλος έχουμε:
$\left | z-w \right |=\left | z+(-w) \right |\geq \left | \left | z \right |-\left |- w \right | \right |\geq \left | \left | z \right |_{min} -\left | w \right |_{max} \right | = 5-3=2 \Rightarrow \left | z-w \right |\geq 2$ .
Άρα $\left | z-w \right |_{min} \right=2$ .

mathxl · #4

Καλό μεσημέρι.
Ευχαριστώ για τις λύσεις τον Χρήστο και τον Δημήτρη. Σκοπό έχω να δημιουργηθεί μια συμπληρωματική συλλογή (30-60;) ασκήσεων στις περσινές 60. Οπότε παρακαλώ για όσο το δυνατόν αναλυτικότερες λύσεις. Το αρχείο στο τέλος θα είναι (φυσικά) διαθέσιμο σε γουορντ αλλά και πι ντι εφ.

Αν θέλει κάποιος ας δώσει και το ΄σχήμα (παραβολή + έλλειψη) σε αυτήν.

PanosG · #5

mathxl έγραψε:Καλό μεσημέρι.

Αν θέλει κάποιος ας δώσει και το ΄σχήμα (παραβολή + έλλειψη) σε αυτήν.

Μιγαδικοί 61

Μιγαδικοί 61

Re: Μιγαδικοί 61

Re: Μιγαδικοί 61

Re: Μιγαδικοί 61

Re: Μιγαδικοί 61

Μέλη σε σύνδεση