Βοήθεια σε άσκηση Γ' Λυκείου

antifa13 · #1

Να βρεθεί η αντίστροφη συνάρτηση $f^{-1}$ της συνάρτησης $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ που ικανοποιεί τη συναρτησιακή εξίσωση: $f\left( f(x) \right) = -x, \forall x\in \mathbb{R}$ .

Λάμπρος Μπαλός · #2

Είσαι σίγουρος ότι είναι έτσι δοσμένη η συναρτησιακή σχέση;

antifa13 · #3

Λάμπρος Μπαλός έγραψε:Είσαι σίγουρος ότι είναι έτσι δοσμένη η συναρτησιακή σχέση;

ναι Λάμπρο ακριβώς έτσι!

MarKo · #4

Η f είναι 1-1 κατά τα γνωστά , άρα f αντιστρέψιμη.

Έχει σύνολο τιμών το $\displaystyle{{\Cal R}}$

αφού για $\displaystyle{{x_0} = f\left( { - {y_0}} \right)}$ , $\displaystyle{{y_0} \in {\Cal R}}$

είναι $\displaystyle{f\left( {{x_0}} \right) = f\left( {f\left( { - {y_0}} \right)} \right) = {y_0}}$ .

Για τον τύπο της αντίστροφης είναι

$\displaystyle{f\left( x \right) = y \Leftrightarrow f\left( {f\left( x \right)} \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x = - f\left( y \right)}$ , $\displaystyle{y \in {\Cal R}}$

άρα $\displaystyle{{f^{ - 1}}\left( y \right) = - f\left( y \right),y \in {\Cal R}}$

Υ.Γ.:Μήπως λέει να εκφραστεί η $\displaystyle{{f^{ - 1}}}$ ως συνάρτηση της f ;

Tolaso J Kos · #5

MarKo έγραψε:
Υ.Γ.:Μήπως λέει να εκφραστεί η $\displaystyle{{f^{ - 1}}}$ ως συνάρτηση της f ;

Έτσι πήγα να το γράψω και γω το πρωί, ως υπόδειξη αλλά μετά λέω άστο.
Ερώτηση: Υπάρχει τέτοια

; Αν ναι , ποια είναι ;

Λάμπρος Μπαλός · #6

Σε διάστημα που η

είναι συνεχής θα είναι γνησίως μονότονη.
Η f(f(x))

θα είναι γνησίως αύξουσα. Πώς να ισούται με

;

MarKo · #7

Tolaso J Kos έγραψε: Ερώτηση: Υπάρχει τέτοια ; Αν ναι , ποια είναι ;

Αν δεν υπάρχει τέτοια f , έχουμε ψευδή υπόθεση.

Αν δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση τότε δεν υπάρχει και η αντίστροφη ,
όμως οι ισοδυναμία για να βρούμε την αντίστροφη είναι αληθής .

Αν έχουμε p:Ψευδής και q:Ψευδής τότε $\displaystyle{p \Leftrightarrow q}$ Αληθής.

Οπότε δεν βλέπω να υπάρχει πρόβλημα.

Tolaso J Kos · #8

MarKo έγραψε: Αν δεν υπάρχει τέτοια f , έχουμε ψευδή υπόθεση.

Αν δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση τότε δεν υπάρχει και η αντίστροφη ,
όμως οι ισοδυναμία για να βρούμε την αντίστροφη είναι αληθής .

Αν έχουμε p:Ψευδής και q:Ψευδής τότε $\displaystyle{p \Leftrightarrow q}$ Αληθής.

Οπότε δεν βλέπω να υπάρχει πρόβλημα.

Μάριε συμφωνώ... δεν αντιλέγω.
Πολλά προβλήματα στα μαθηματικά χρησιμοποιούν ψευδή υπόθεση.

Απλά ρωτάω αν όντως υπάρχει τέτοια συνάρτηση.
Νομίζω πως δεν υπάρχει όπως πολύ σωστά τόνισε ο Λάμπρος στο προηγούμενο μήνυμα του.

Επίσης δε βλέπω κλειστή φόρμα για την αντίστροφη , παρά μόνο αυτό που έγραψες εσύ.
Ευχαριστώ για την απάντηση.

MarKo · #9

Tolaso J Kos έγραψε: Αν δεν υπάρχει τέτοια f , έχουμε ψευδή υπόθεση.

Απλά ρωτάω αν όντως υπάρχει τέτοια συνάρτηση.
Νομίζω πως δεν υπάρχει όπως πολύ σωστά τόνισε ο Λάμπρος στο προηγούμενο μήνυμα του.

Επίσης δε βλέπω κλειστή φόρμα για την αντίστροφη , παρά μόνο αυτό που έγραψες εσύ.
Ευχαριστώ για την απάντηση.

Ναι, αν ψάχνουμε για κλειστή φόρμα στην αντίστροφη μάλλον δεν έχει.
Έκτος αν υπάρχει κάτι και δεν το βλέπουμε , αλλά δεν νομίζω.

Tolaso J Kos · #10

viewtopic.php?f=61&t=4930&p=27764#p27764

Προφανώς ή συναρτηση δεν είναι συνεχής, αφού δε θα έχει τέτοια ιδιότητα... όπως είπε ο Λαμπρός.

Λάμπρος Μπαλός · #11

Επί τη ευκαιρία, ας μου επιτραπεί να γράψω κάτι..όχι και τόσο άσχετο.
Επειδή μου αρέσει να φτιάχνω μόνος μου ασκήσεις και λόγω της μεγάλης φούριας που με διέπει υποπέφτω πολλές φορές σε μικρά σφάλματα. Το πιο συνηθισμένο που έκανα παλαιότερα ήταν φυσικά να δίνω ασύμβατες υποθέσεις. Αυτό βέβαια είναι έτσι κι αλλιώς συνηθισμένο. Το είδαμε άλλωστε και στα Μαθηματικά Γενικής. Πολλές φορές μπορεί και να μην ενοχλεί. Κάποτε (και αισθάνθηκα υπερήφανος τρομάρα μου) είχα ένα ερώτημα σε μια άσκηση που έλεγε.. "αν δεν υπάρχει το όριο Α, να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει το όριο Β".
Δέχτηκα επίκριση -και καλώς τη δέχτηκα- από έναν μεγαλύτερο που εκτιμώ πολύ την άποψή του ως προς το εξής.
Μου είπε.."από τη στιγμή που δεν υπάρχει το όριο, δεν μπορείς να το γράφεις".
Πολύ μου άρεσε αυτή η παρατήρηση και την κράτησα.
Εν προκειμένω τώρα για τη συγκεκριμένη αυτής της δημοσίευσης, δεν έχω κάτι να γράψω. Πιστεύω πως πρόκειται για τυπογραφικό. Πάντως δεν με δελεάζει να ασχοληθώ παραπέρα.

Λάμπρος Μπαλός · #12

Tolaso J Kos έγραψε:viewtopic.php?f=61&t=4930&p=27764#p27764

Προφανώς ή συναρτηση δεν είναι συνεχής, αφού δε θα έχει τέτοια ιδιότητα... όπως είπε ο Λαμπρός.

Σαφώς και δεν πρόκειται για συνεχή συνάρτηση.
Παρεμπιπτόντως, η προσέγγιση του Αχιλλέα ήταν για προσκύνημα..

antifa13 · #13

MarKo έγραψε:Η f είναι 1-1 κατά τα γνωστά , άρα f αντιστρέψιμη.

Έχει σύνολο τιμών το $\displaystyle{{\Cal R}}$

αφού για $\displaystyle{{x_0} = f\left( { - {y_0}} \right)}$ , $\displaystyle{{y_0} \in {\Cal R}}$

είναι $\displaystyle{f\left( {{x_0}} \right) = f\left( {f\left( { - {y_0}} \right)} \right) = {y_0}}$ .

Για τον τύπο της αντίστροφης είναι

$\displaystyle{f\left( x \right) = y \Leftrightarrow f\left( {f\left( x \right)} \right) = f\left( y \right) \Leftrightarrow x = - f\left( y \right)}$ , $\displaystyle{y \in {\Cal R}}$

άρα $\displaystyle{{f^{ - 1}}\left( y \right) = - f\left( y \right),y \in {\Cal R}}$

Υ.Γ.:Μήπως λέει να εκφραστεί η $\displaystyle{{f^{ - 1}}}$ ως συνάρτηση της f ;

Καταρχάς σας ευχαριστώ όλους για τις απαντήσεις σας! Κι εγώ ακριβώς μέχρι το ίδιο σημείο με τον MarKo έφτασα, απλά σκέφτηκα ότι δεν αρκεί αφού δεν απαντάει στο ζητούμενο.. Όπως και να'χει ευχαριστώ και πάλι για το χρόνο σας!

Όποιος μπορεί ας δει άλλη μία:

- Να προσδιορίσετε το πολυώνυμο P(x) με P(0)=0 που ικανοποιεί τη συναρτησιακή σχέση: $P\left( f(x)\right) = f\left( P(x)\right), \;\; \forall x\in R$ όπου $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ είναι συνάρτηση τέτοια ώστε $f(x)>x \;\; \forall x\geq 0$

Υ.Γ.: ξέρω ότι προφανής λύση είναι το P(x)=x αλλά δε μπορώ να αποδείξω ότι είναι μοναδικό..

DimitrisH · #14

Πάνω σε αυτό που είπε ο Τolaso J Kos ( ρωτάει αν υπάρχει τέτοια συνάρτηση )

f(1)=2

Αυτή η συνάρτηση πληρεί τις προυποθέσεις .Αφού μπορούμε να έχουμε κάθε φορά 4 τιμές για τις οποίες ισχύει ,είναι λογικό να γενικεύεται και στο R

Το οποίο επιπλέον σημαίνει ότι υπάρχουν άπειρες συνάρτησης αυτής της μορφής γιατί οι τιμές είναι τυχαίες

Μια τέτοια συνάρτηση σίγουρα δεν μπορεί να εκφραστεί μέσα από βασικές συνάρτησης .Αν μπορούσε θα ήταν συνεχής σε ένα διάστημα του Π.Ο. της αρά και γνησίως μονότονη,κάτι τι οποίο είναι άτοπο

alcamus06 · #15

Καλησπέρα σε όλους και συγνώμη αν χαλάω τη ροή των σχολίων , απλά δεν θέλω να ανοίγω καινούργιο θέμα. Είναι και εμένα μια απορία σε άσκηση Γ λυκείου.
Δίνεται συνάρτηση : $\displaystyle{f(x)=-\ln (\sqrt{x+3}+1).}$
Ζητείται να βρεθεί 1)η αντίστροφη της $\displaystyle{f}$ (οκ) , 2) να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{f^{-1}(x)=1}$ (οκ) και
η απορία μου είναι 3) πως γίνεται να βρω κοινά σημεία της $\displaystyle{C_f}$ με την ευθεία $\displaystyle{y=x.}$
Γίνεται να λυθεί το 3 αν κάποιος γνωρίζει μόνο μονοτονία , 1-1 και αντίστροφη ;Ευχαριστώ

Γιώργος Απόκης · #16

alcamus06 έγραψε:Καλησπέρα σε όλους και συγνώμη αν χαλάω τη ροή των σχολίων , απλά δεν θέλω να ανοίγω καινούργιο θέμα. Είναι και εμένα μια απορία σε άσκηση Γ λυκείου.
Δίνεται συνάρτηση : $\displaystyle{f(x)=-\ln (\sqrt{x+3}+1).}$
Ζητείται να βρεθεί 1)η αντίστροφη της $\displaystyle{f}$ (οκ) , 2) να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{f^{-1}(x)=1}$ (οκ) και
η απορία μου είναι 3) πως γίνεται να βρω κοινά σημεία της $\displaystyle{C_f}$ με την ευθεία $\displaystyle{y=x.}$
Γίνεται να λυθεί το 3 αν κάποιος γνωρίζει μόνο μονοτονία , 1-1 και αντίστροφη ;Ευχαριστώ

Η ίδια απορία εδώ

Βοήθεια σε άσκηση Γ' Λυκείου

Βοήθεια σε άσκηση Γ' Λυκείου

Re: Βοήθεια σε άσκηση Γ' Λυκείου

Re: Βοήθεια σε άσκηση Γ' Λυκείου

Re: Βοήθεια σε άσκηση Γ' Λυκείου

Re: Βοήθεια σε άσκηση Γ' Λυκείου

Re: Βοήθεια σε άσκηση Γ' Λυκείου

Re: Βοήθεια σε άσκηση Γ' Λυκείου

Re: Βοήθεια σε άσκηση Γ' Λυκείου

Re: Βοήθεια σε άσκηση Γ' Λυκείου

Re: Βοήθεια σε άσκηση Γ' Λυκείου

Re: Βοήθεια σε άσκηση Γ' Λυκείου

Re: Βοήθεια σε άσκηση Γ' Λυκείου

Re: Βοήθεια σε άσκηση Γ' Λυκείου

Re: Βοήθεια σε άσκηση Γ' Λυκείου

Re: Βοήθεια σε άσκηση Γ' Λυκείου

Re: Βοήθεια σε άσκηση Γ' Λυκείου

Μέλη σε σύνδεση