IMO 2014-Πρόβλημα 1

gavrilos · #1

Έστω $\displaystyle{a_{0}<a_{1}<...}$ μια άπειρη ακολουθία θετικών ακεραίων.

Να δειχθεί ότι υπάρχει μοναδικός θετικός ακέραιος $\displaystyle{n\geq 1}$ τέτοιος ώστε $\displaystyle{a_{n}<\frac{a_{0}+a_{1}+...+a_{n}}{n}\leq a_{n+1}}$ .

Edit: Διόρθωση στην εκφώνηση.Η ακολουθία είναι τελικά γνησίως αύξουσα.

ArgirisM · #2

Διαγραφή. Η εκφώνηση που είχε δωθεί στο aops τροποποιήθηκε. Το σωστό: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... &hilit=imo.

jim.jt · #3

Βασικά λέει ότι η ακολουθία είναι γνησίως αύξουσα. Μάλλον το διορθώσανε.

gavrilos · #4

Σκέφτηκα ως εξής:

Ισχύει $\displaystyle{a_{0}+a_{1}>a_{1}}$ .Αν $\displaystyle{a_{0}+a_{1}\leq a_{2}}$ τότε βρήκαμε ότι υπάρχει τέτοιο $\displaystyle{n}$ και είναι το $\displaystyle{1}$ .Έστω $\displaystyle{a_{0}+a_{1}>a_{2}}$ .

Τότε $\displaystyle{\frac{a_{0}+a_{1}+a_{2}}{2}>\frac{a_{2}+a_{2}}{2}=a_{2}}$ .Αν $\displaystyle{\frac{a_{0}+a_{1}+a_{2}}{2}\leq a_{3}}$ τότε το ζητούμενο $\displaystyle{n}$ είναι το $\displaystyle{2}$ .Έστω και πάλι $\displaystyle{\frac{a_{0}+a_{1}+a_{2}}{2}>a_{3}}$ .

Τότε,επειδή $\displaystyle{a_{2}<a_{3}}$ θα ισχύει $\displaystyle{a_{0}+a_{1}>a_{3}}$ .Συνεχίζοντας βρίσκουμε ότι $\displaystyle{a_{0}+a_{1}>a_{k}}$ για κάθε $\displaystyle{k}$ το οποίο είναι άτοπο αφού η ακολουθία είναι άπειρη και γνησίως αύξουσα.

Έστω τώρα ότι ο $\displaystyle{m}$ επαληθεύει τη σχέση $\displaystyle{a_{m}<\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{m}}{m}\leq a_{m+1}}$ .

Θα είναι $\displaystyle{\frac{a_{0}+a_{1}+..+a_{m+1}}{m+1}\leq \frac{ma_{m+1}+a_{m+1}}{m+1}=a_{m+1}}$ οπότε ο $\displaystyle{m+1}$ δεν επαληθεύει.Από εδώ και μετά είναι επαγωγή ως εξής:

Έστω ότι $\displaystyle{\frac{a_{0}+a_{1}+..+a_{l}}{l}\leq a_{l}}$ .Τότε $\displaystyle{\frac{a_{0}+a_{1}+..+a_{l}+a_{l+1}}{l+1}\leq \frac{la_{l}+a_{l+1}}{l+1}\leq \frac{la_{l+1}+a_{l+1}}{l+1}=a_{l+1}}$ .

Άρα κάθε $\displaystyle{l>m}$ δεν επαληθεύει.

Έχουμε $\displaystyle{\frac{a_{0}+a_{1}+..+a_{m}}{m}>a_{m}}$ .Θα είναι $\displaystyle{\frac{a_{0}+a_{1}+..+a_{m-1}}{m-1}> \frac{ma_{m}-a_{m}}{m-1}=a_{m}}$ άρα ο $\displaystyle{m-1}$ δεν επαληθεύει.

Μια παρόμοια επαγωγή με πριν αποδεικνύει ότι κάθε $\displaystyle{l<m}$ δεν επαληθεύει και το πρόβλημα έχει λυθεί.

Υ.Γ. Δεν έχω δει τις λύσεις του AoPS.Πολύ πιθανόν να έχω κάνει κάπου απροσεξία γιατί μου βγήκε αρκετά εύκολα.Σε τέτοια περίπτωση ας με ενημερώσει κάποιος με π.μ. για να αποσύρω τη λύση.

#5

gavrilos έγραψε:
Υ.Γ. Δεν έχω δει τις λύσεις του AoPS.Πολύ πιθανόν να έχω κάνει κάπου απροσεξία γιατί μου βγήκε αρκετά εύκολα.Σε τέτοια περίπτωση ας με ενημερώσει κάποιος με π.μ. για να αποσύρω τη λύση.

Η άσκηση ήταν όντως αρκετά εύκολη. (Για επίπεδο ΙΜΟ μιλάμε πάντα.) Σωστή βλέπω την λύση σου. Το τελευταίο κομμάτι ότι ο $\ell < m$ δεν επαληθεύει δεν χρειάζεται. Έδειξες ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα

που επαληθεύει. Πάρε το ελάχιστο τέτοιο

. Κανένα μικρότερο δεν επαληθεύει εξ ορισμού. Επίσης έχεις δείξει ότι κανένα μεγαλύτερο δεν επαληθεύει οπότε τελειώσαμε.

IMO 2014-Πρόβλημα 1

IMO 2014-Πρόβλημα 1

Re: IMO 2014-Πρόβλημα 1

Re: IMO 2014-Πρόβλημα 1

Re: IMO 2014-Πρόβλημα 1

Re: IMO 2014-Πρόβλημα 1

Μέλη σε σύνδεση