Ισότητα μέτρων από δευτεροβάθμια

Γιώργος Απόκης · #1

Αν για τους μη μηδενικούς μιγαδικούς $\displaystyle{z_1,z_2}$ ισχύει : $\displaystyle{z_1^2-az_1z_2+z_2^2=0}$

όπου $\displaystyle{a}$ πραγματικός με $\displaystyle{a\in \mathbb [-2,2]}$ , να δείξετε ότι : $\displaystyle{|z_1|=|z_2|}$ .

(Γ' Κατ. - Μέχρι 9/7/14)

maiksoul · #2

Μιας και δεν έχει δοθεί απάντηση, δίνω μια προσέγγιση:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} {\rm E}\sigma \tau \omega \,\,w = \frac{{z_1 }}{{z_2 }} \ne 0\,\,,\alpha \phi o\upsilon \,\,\,z_1 \ne 0,z_2 \ne 0\,\, \\ \\ \tau o\tau \varepsilon \,\,o\,\,\,w\,\,\,\varepsilon \iota \nu \alpha \iota \,\,\rho \iota \zeta \alpha \,\,\tau \eta \varsigma \,\,\varepsilon \xi \iota \sigma \omega \sigma \eta \varsigma \,:\,\,t^2 - at + 1 = 0\,\,\,(3)\,\, \\ \end{array} }$

Διότι αν (1) η αρχική ισότητα

$\displaystyle{ \,\,\,z_1 ^2 - a\,z_1 \,z_2 \, + z_2 ^2 = 0\,\, }$

τότε από αυτήν έχουμε :

$\displaystyle{ \begin{array}{l} \,(1) \Leftrightarrow w^2 - aw + 1 = 0\,\,\,\,(2)\,\, \\ \\ {\rm H}\,\,\,(3)\,\,\,\,\varepsilon \chi \varepsilon \iota \,\,\Delta = \alpha ^2 - 4\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\varepsilon \pi \varepsilon \iota \delta \eta \,\,\alpha \in [ - 2,2]\,\,\varepsilon \iota \nu \alpha \iota \,\,\Delta \le 0\,\,\mu \varepsilon \,\,\tau o\,\, = \\ \\ o\tau \alpha \nu \,\,\mu o\nu o\,\,\alpha = - 2\,\,\,\ \ \ \,\,\,\alpha = 2\,\,. \\ \\ \end{array} }$
$\displaystyle{ \begin{array}{l} {\rm A}\rho \alpha :\, \\ *\alpha \nu \,\,\Delta \prec 0 \Leftrightarrow \alpha \in ( - 2,2)\,\,\tau o\tau \varepsilon \,\,\eta \,\,(3)\,\,\varepsilon \chi \varepsilon \iota \,2\,\,\mu \iota \gamma \alpha \delta \iota \kappa \varepsilon \varsigma \,\sigma \upsilon \zeta \upsilon \gamma \varepsilon \iota \varsigma \,\rho \iota \zeta \varepsilon \varsigma \\ \\ t_1 ,\,\,\,t_2 = \overline {t_1 } \,\,{\rm A}\rho \alpha \,\,t_1 t_2 = \frac{1}{1} \Leftrightarrow \left| {t_1 } \right|^2 = 1 \Leftrightarrow \left| {t_1 } \right| = 1,\alpha \rho \alpha \,\kappa \alpha \iota \,\left| {t_2 } \right| = 1 \\ \\ \varepsilon \pi o\mu \varepsilon \nu \omega \varsigma \,\,\sigma \varepsilon \,\,\kappa \alpha \theta \varepsilon \,\,\pi \varepsilon \rho \iota \pi \tau \omega \sigma \eta \,\,\left| {\frac{{z_1 }}{{z_2 }}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left| {z_1 } \right| = \left| {z_2 } \right|\,\,\pi o\upsilon \,\,\theta \varepsilon \lambda \alpha \mu \varepsilon \\ \end{array} }$

$\displaystyle{ \begin{array}{l} *\alpha \nu \,\,\,\alpha = - 2\,\,\,\tau o\tau \varepsilon \,\,\,\Delta = 0\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,(3) \Leftrightarrow w = - 1 \Leftrightarrow z_1 = - z_2 \,\alpha \rho \alpha \,\,\,\left| {z_1 } \right| = \left| {z_2 } \right| \\ \\ *\,\alpha \nu \,\,\alpha = 2\,\,\,\,\tau o\tau \varepsilon \,\,\Delta \,\, = 0\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,(3) \Leftrightarrow w = 1 \Leftrightarrow z_1 = z_2 \,\alpha \rho \alpha \,\,\,\left| {z_1 } \right| = \left| {z_2 } \right| \\ \end{array} }$

kochris · #3

Κάτι αντίστοιχο έχουμε δει και εδώ viewtopic.php?f=56&t=39793

maiksoul · #4

Κάπως διαφορετικά... χωρίς δευτεροβάθμια εξίσωση .

Έστω (1) η αρχική ισότητα:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} *{\rm A}\nu \,\,\alpha = - 2\,\,\,,\,\,(1) \Leftrightarrow (z_1 + z_2 )^2 = 0 \Leftrightarrow z_1 = - z_2 \\ \\ \alpha \rho \alpha \,\,\left| {z_1 } \right|\, = \left| {z_2 } \right| \\ \\ * {\rm A}\nu \,\,\alpha = 2\,\,,\,\,\,\,\,(1) \Leftrightarrow (z_1 - z_2 )^2 = 0 \Leftrightarrow z_1 = z_2 \\ \\ \alpha \rho \alpha \,\,\,\left| {z_1 } \right| = \left| {z_2 } \right| \\ \end{array} }$

$\displaystyle{ \begin{array}{l} *{\rm A}\nu \,\,\alpha \in ( - 2,2)\,\,\tau o\tau \varepsilon \,\,\gamma \iota \alpha \,\,w = \frac{{z_1 }}{{z_2 }} = x + yi,\,\,\,\,\,\,\,x,y \in \Re \,\, \\ \\ \eta \,\,\,\,(1)\,\,\gamma \iota \nu \varepsilon \tau \alpha \iota \\ \\ \,\,\,w + \frac{1}{w} = a\,\,(2) \\ \end{array} }$

$\displaystyle{ \begin{array}{l} o\pi o\tau \varepsilon \\ \\ (2) \Rightarrow w \notin \Re \,\,\,\delta \iota o\tau \iota \,\,\,\, - 2 \prec a \prec 2\,,\,\,\,\alpha \rho \alpha \,\,y \ne 0 \\ \kappa \alpha \iota \\ \eta \,\,\,\,(2)\,\,\,\gamma \iota \nu \varepsilon \tau \alpha \iota \\ \\ \end{array} }$

$\displaystyle{ \begin{array}{l} w + \frac{{\overline w }}{{\left| w \right|^2 }} = a \Leftrightarrow x + \frac{x}{{\left| w \right|^2 }} + i\,\,y\,(1 - \frac{1}{{\left| w \right|^2 }})\,\, = a \Leftrightarrow \\ \\ x + \frac{x}{{\left| w \right|^2 }} = a\,\,(3)\,\,\, \wedge \,\,\,\,\,1 - \frac{1}{{\left| w \right|^2 }}\,\, = 0\,\,\,(4) \\ \\ (4) \Leftrightarrow \left| w \right|\,\, = 1 \Leftrightarrow \left| {z_1 } \right| = \left| {z_2 } \right|\,\,\,o\pi \omega \varsigma \,\theta \varepsilon \lambda \alpha \mu \varepsilon \\ \end{array} }$

άρα σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει

$\displaystyle{ \,\,\,\,\left| {z_1 } \right| = \left| {z_2 } \right|\,\,\,\,\,\,\,o\pi \omega \varsigma \,\theta \varepsilon \lambda \alpha \mu \varepsilon }$

Γιώργος Απόκης · #5

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις. Δίνω μια εντελώς διαφορετική λύση

$\displaystyle{z_1^2-az_1z_2+z_2^2=0\Leftrightarrow z_1^2-2z_1\frac{az_2}{2}+\frac{a^2z_2^2}{4}=\frac{a^2z_2^2}{4}-z_2^2\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\left(z_1-\frac{az_2}{2}\right)^2=\frac{(a^2-4)z_2^2}{4}\overset{a^2-4\leq 0}\Leftrightarrow \left(z_1-\frac{az_2}{2}\right)^2=\left(\frac{z_2\sqrt{4-a^2}}{2}i\right)^2\Leftrightarrow }$

$\displaystyle{z_1-\frac{az_2}{2}=\pm\frac{z_2\sqrt{4-a^2}}{2}i\Leftrightarrow z_1=\left(\frac{a}{2}\pm\frac{\sqrt{4-a^2}}{2}i\right)z_2 }$

Επομένως $\displaystyle{|z_1|=\left|\frac{a}{2}\pm\frac{\sqrt{4-a^2}}{2}i\right||z_2|=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{4-a^2}{4}}|z_2|=|z_2|}$

Ισότητα μέτρων από δευτεροβάθμια

Ισότητα μέτρων από δευτεροβάθμια

Re: Ισότητα μέτρων από δευτεροβάθμια

Re: Ισότητα μέτρων από δευτεροβάθμια

Re: Ισότητα μέτρων από δευτεροβάθμια

Re: Ισότητα μέτρων από δευτεροβάθμια

Μέλη σε σύνδεση