IMO 2014-Πρόβλημα 3

[gavrilos]

Δίνεται κυρτό τετράπλευρο με .Το σημείο είναι το ίχνος της καθέτου από το στην .Τα σημεία βρίσκονται στα τμήματα αντίστοιχα,έτσι ώστε το να βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου και και .Να αποδειχθεί ότι η είναι εφαπτόμενη στον περιγγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου .

[panos misiakos]

Καλησπέρα Γιώργο ! Ενδιαφέρον πρόβλημα

Αρχικά θεωρούμε τα κέντρα των κύκλων και , αντίστοιχα .
Από τις δοσμένες γωνιακές σχέσεις λαμβάνουμε: . Συνεπώς . Όμοια .
Αρκεί να δείξουμε ότι οι μεσοκάθετοι των τέμνονται πάνω στην ,δηλαδή ότι οι διχοτόμοι των και τέμνονται πάνω στην .
Ισοδύναμα αρκεί να αποδειχθεί ότι .
Όμως αυτό ισχύει αφού ο κύκλος είναι ο Απολλώνιος κύκλος του τμήματος με λόγο .
Πράγματι , αν θεωρήσουμε το κέντρο του με τότε:
, όπως ισχυριστήκαμε .

[Ανδρέας Πούλος]

Έκανα ένα σχήμα για να "βλέπουμε" το πρόβλημα.
Ανδρέας Πούλος

[dimitris pap]

Θα βάλω μια λύση (πιστεύω πρωτότυπη, ειδικά στο τελείωμα) σε αυτό το πολύ όμορφο πρόβλημα, με χρήση αντιστροφής, εξηγώντας όσο μπορώ τη σκέψη μου .

1) Προσπαθούμε να αξιοποιήσουμε την γωνιακή σχέση μεταφράζοντας τη σε κάτι πιο απλό- ουσιαστικά ορμώμενοι από την προσπάθεια να "κατασκευάσουμε" το σημείο .
Φέρνοντας κάθετη (με επί της ) στην , βλέπουμε ότι η γωνιακή σχέση μας δίνει: =, άρα ομοκυκλικά (όμοια ).

2) Τώρα χρησιμοποιούμε αντιστροφή! Η σκέψη αυτή προκύπτει από το γεγονός ότι πολλοί κύκλοι και ευθείες στο σχήμα συντρέχουν στο .

3) Bλέπουμε τι γίνεται στο σχήμα μας (αν το πηγαίνει με την αντιστροφή στο θα σημειώνω -χάριν ευκολίας- από εδώ και πέρα το σαν ). Το παραμένει εγγράψιμο (κύκλος πάει σε κύκλο). Eπίσης (αφού στο αρχικό σχήμα ). Ακόμα, το και το ανήκουν στον κύκλο (αφού ανήκαν στην ευθεία ) και ταυτόχρονα συνευθειακά. Καθώς όμως , βλέπουμε ότι διάμετρος, κι άρα το περνάει από το μέσο της , έστω (αυτή είναι η πρώτη μας σημαντική παρατήρηση). Όμοια όλα για το - to περνάει από το μέσο της .

4) Η συνθήκη μας γίνεται (o εφαπτόμενος κύκλος πήγε στην ευθεία η οποία πρέπει τώρα να είναι παράλληλη της "πρώην εφαπτομένης" ).

5) Αφού αρκεί να δείξουμε ότι . Ισοδύναμα . Ομως κι έτσι αρκεί να δειχτεί ότι .

Αυτή φαίνεται μια αθώα γωνιακή σχέση που πίστευα ότι θα μπορούσα να αποδείξω άμεσα, όμως με ταλαιπώρησε πολύ. Βάζω το βήμα 6- και τελευταίο- σε hint, ελπίζοντας ότι θα το προσπαθήσετε σαν να ήταν ένα λήμμα

6)

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Χρησιμοποιώντας ότι , βλέπουμε ότι όμοιο με . Αρα όπου η διάμεσος του (αυτό είναι και η στιγμή τη φαεινής ιδέας που αναφωνείς "εύρηκα"!). Ομως στο τρίγωνο , το είναι το σημείο στο συναντιούνται οι εφαπτομένες κι άρα συμμετροδιάμεσος! Οπότε: . qed

Πραγματικά όμορφο πρόβλημα, ό,τι πρέπει για πρόβλημα 3.

Y.Γ. extra ερώτημα που προκύπτει (στο αρχικό σχήμα). Να δειχτεί ότι οι κύκλοι , και συντρέχουν (σε σημείο εκτός του ).

[Stefanos Α]

Παραθέτω μια στοιχειώδη λύση.

Οι γωνιακές σχέσεις της άσκησης μας λένε ότι τα περίκεντρα των , ανήκουν στις , , αντίστοιχα. Έστω το μέσο της . Τότε οι διχοτόμοι , των γωνιών είναι παράλληλες των , αντίστοιχα (αυτό έπεται από τη σχέση που μας δίνει το και από το εγγράψιμο ).

Οι μεσοκάθετοι των (που είναι παράλληλες των , αντίστοιχα) τέμνουν τις στα , αντίστοιχα. Τότε τα είναι εξ ορισμού τα μέσα των τόξων των περιγεγραμμένων κύκλων των τριγώνων . Τότε λοιπόν, αν φέρουμε τη κάθετη στη ( πάνω στη ) τότε . Όμοια, αν κάθετη στη ( πάνω στη ) τάτε . Αλλά, είναι κάθετη στη αφού είναι παράλληλη στη . Άρα, . Άρα ταυτίζεται με , και άρα κάθετη στη . Από τις παραλληλίες ωστόσο έχουμε παράλληλη στη .

Άρα λοιπόν είναι κάθετη στη . Θα δείξουμε ότι η είναι ισογώνια της στο τρίγωνο που θα σημαίνει ότι το περίκεντρο του ανήκει στην . Αυτό όμως έπεται αμέσως αν χρησιμοποιήσουμε τις παραλληλίες και μεταφέρουμε τις γωνέες ώστε να εχουν κορυφη το σημείο και χρησιμοποιήσουμε ότι οι είναι οι διχοτόμοι των , αντίστοιχα.